p2 poli 2002

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Em todas as questo˜es, esta´ fixado um sistema de coordenadas
ortogonal (0,~i,~j,~k), com base {~i,~j,~k} positiva.
a2Q1: Considere as retas:
r : X = (1, 2, 3) + λ(−2, 1,−3), λ ∈ IR
s :

x = −1− 2λ
y = 3 + λ
z = −3λ
(λ ∈ IR)
t :
1− x
2
= y − 2 = 3− z
3
Assinale a alternativa correta:
a) s 6= r pois (−1, 3, 0) ∈ s mas (−1, 3, 0) /∈ r.
b) ~u = (2, 1, 3) e´ um vetor diretor de t;
c) s 6= r pois ~v = (−1, 3, 0) e´ um vetor diretor de s e ~v na˜o e´
paralelo a r;
d) r 6= t pois ~u = (−2, 1,−3) na˜o e´ paralelo a t;
e) r = s = t;
a2Q2: A reta que passa por A = (2,−1, 0) e e´ perpendicular ao
plano pi : X = (1, 3,−1) + λ(1, 0, 1) + µ(−1, 1, 2) e´:
a)

x = 2 + λ
y = 1− 3λ
z = −λ
b) 2− x = −y − 1
3
= z
c) X = (2,−1, 0) + λ(0, 1, 3)
d) 2− x = 1− y
3
=
z
2
e) X = (2,−1, 0) + λ(3, 1,−1)
2
a2Q3: O plano pi que conte´m a reta r : x−12 = y + 2 =
z
3 e e´
paralelo a` reta
s :

x = 2 + λ
y = −2λ
z = 1− λ
e´ dado por:
a) 2x+ y + 3z = 0
b)

x = 2 + λ− µ
y = 1− 2λ+ 2µ
z = 3− λ
c) X = (3,−1, 3) + λ(2, 1, 3) + µ(1,−2,−1)
d) X = (1,−2, 0) + λ(2, 1, 3) + µ(2,−1, 2)
e) 2x+ y + 3z + 1 = 0
a2Q4: As retas reversas r : X = (2, 3, 1) + λ(1,−1, 0) e
s : X = (1, 1, 1)+λ(0, 0, 1) sa˜o paralelas a um plano pi que conte´m
o ponto P = (2, 1,−1). Uma equac¸a˜o geral para pi e´:
a) x− 2y + z + 1 = 0
b) x− y + z = 0
c) x+ y − z − 4 = 0
d) x+ 2y + 2z − 2 = 0
e) x+ y − 3 = 0
a2Q5: Sejam pi um plano e P um ponto tal que P /∈ T . Assinale
a alternativa FALSA:
a) Se A ∈ pi, enta˜o d(P, pi) = d(A, pi).
b) Se A,B,C ∈ pi sa˜o tais que { ~AB, ~AC} e´ l.i., enta˜o d(P, pi) e´ a
altura do tetraedro A,B,C, P .
c) Se {~u,~v} e´ l.i., ~u e ~v sa˜o paralelos a pi, ~w = ~w ∧ ~v e r e´ a
reta dada por r : X = P + λ~w enta˜o d(P, pi) =‖ ~P,Q ‖, sendo
Q = r ∩ pi.
d) Se ax+ by+ cz+d = 0 e´ uma equac¸a˜o geral para pi e r e´ a reta
que passa por P e e´ paralela a ~v = (a, b, c), enta˜o d(P, pi) = d(P,Q)
sendo Q = r ∩ pi.
e) Se A ∈ pi, {~u,~v} e´ l.i., ~u e ~v sa˜o paralelos a pi e ~w = ~u∧~v, enta˜o
d(P, pi) =‖ proj~w ~AP ‖
3
a2Q6: Considere os planos pi1 : 2x − y + 2z + 9 = 0 e
pi2 : 4x− 2y + 4z − 21 = 0. Assinale a alternativa CORRETA:
a) d(pi1, pi2) = 15
b) d(pi1, pi2) = 132
c) d(pi1, pi2) = 8
d) d(pi1, pi2) = 30
e) d(pi1, pi2) = 7
a2Q7: Considere as retas
r :

x = 1 + 2λ
y = −λ
z = −5λ
e s :
{
x− 2y + z = 0
2x+ y + z = 0
.
Assinale a alternativa FALSA.
a) ~w = (−3, 1, 5) e´ um vetor diretor de s.
b) o plano pi que conte´m o ponto A = (0, 0, 0) e a reta r e´ perpen-
dicular a` reta s.
c) ~u = (−3, 1, 5) e´ paralelo a s.
d) ~v = (1,−2, 1) e´ ortogonal a s.
e) r e s sa˜o reversas.
a2Q8: As retas r : X = (1,m, 3) + λ(m, 0, 1) e
s : X = (2, n, 4) + λ(1, 0, 2) sa˜o reversas se, e somente se,
a) n = m ou n = 12
b) m = n = 12
c) m 6= 12 e n 6= m
d) n = m ou m = 12
e) n 6= 12 e n 6= m
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a2Q9: A reta r : ~X = (1,−1, 2) + t(0, 2, 1) e´ perpendicular a`s
retas:
p :
{
x− 1
m
= 1− y = z − 3
2
q :
{
y = mx−m− 3,
z = −4x+ 5
e intersecta elas se:
a) m = 32
b) m = −1
c) m = 2
d) m = 3
e) m = 23
a2Q10:Considere a reta r : X = (1, 2, 3) + λ(1,−1, 2) e o plano
pi : x− y − z + 2 = 0. Assinale a alternativa correta:
a) o aˆngulo entre a reta r e o plano pi e´ pi3
b) o aˆngulo entre a reta r e o plano pi e´ pi4
c) r e pi sa˜o perpendiculares.
d) r esta´ contida em pi.
e) existe uma reta s paralela a` reta r e contida no plano pi.
a2Q11: Sejam a, b, c, d ∈ IR tais que a2 + b2 + c2 = 6. Para que
a medida do aˆngulo entre os planos pi1 : ax + by + cz + d = 0 e
pi2 : x − y + 2z + 3 = 0 seja pi3 , os coeficientes a, b, c e d devem
satisfazer:
a) b = a+ c+ d ou b = −a− c− d
b) b = 2a+ c− 2 ou b = 2a+ c+ 2
c) b = a+ 2c− 3 ou b = a+ 2c+ 3
d) b = a+ 2c+ d ou b = −a− 2c− d
e) b = a+ 2c+ 1 ou b = a+ 2c− 1
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a2Q12: A distaˆncia do ponto P = (1, 0, 1) ao plano
pi : x− 2y + z + 3 = 0 e´:
a) 6√
5
b)
√
5
6
c) 5
√
6
d)
√
6
5
e) 5√
6
a2Q13: O plano x+ 2y −mz = 0 e´ paralelo a`s retas r e s,
r : x− 2y = z − 2x = 2z − y
x− 1
2
=
1− y
3
= kz + 2
se e somente se:
a) m =
3
2
e k = 5
b) m = −10 e k = 8
c) m = 5 e k = 72
d) m = −13 e k = 134
e) m = −11 e k = 112
a2Q14: Assinale a alternativa FALSA:
a) Se pi1 : a1x+ b1y+ c1z+d1 = 0 e pi2 : a2x+ b2y+ c2z+d2 = 0
sa˜o dois planos concorrentes, ~n1 = (a1, b1, c1), ~n2 = (a2, b2, c2) e
r = pi1 ∩ pi2, enta˜o r e´ uma reta e ~n1 ∧ ~n2 e´ um vetor paralelo a r;
b) Se pi1 : a1x+ b1y+ c1z+d1 = 0 e pi2 : a2x+ b2y+ c2z+d2 = 0
sa˜o dois planos concorrentes, ~n1 = (a1, b1, c1) e ~n2 = (a2, b2, c2),
enta˜o ~n1 ∧ ~n2 e´ um vetor paralelo a pi1;
c) O plano pi : ax+ by + cz + d = 0 e a reta r : X = (x0, y0, z0) +
λ(m,n, p) sa˜o perpendiculares se, e somente se, existe α ∈ IR tal
que a = αm, b = αn e c = αp;
d) O plano pi1 : a1x+ b1y+ c1z+ d1 = 0 e´ perpendicular ao plano
pi2 : a2x+b2y+c2z+d2 = 0 se, e somente se, a1a2+b1b2+c1c2 = 0.
e) Se ~n1, ~n2 e ~n3 sa˜o vetores normais aos planos pi1, pi2 e pi3, respec-
tivamente, sendo {~n1, ~n2, ~n3} um conjunto l.i., enta˜o pi1 ∩ pi2 ∩ pi3
e´ vazio;
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a2Q15: A reta
s :

x = 2 + 3λ
y = 1 + 2λ
z = λ
esta´ contida no plano pi : ax+ by + cz + d = 0 se, e somente se,
a) 2a+ b+ d = 0 e 3a+ 2b+ c+ d 6= 0
b) 2a+ b+ d 6= 0 e 3a+ 2b+ c = 0
c) 2a+ b+ d = 0 e 3a+ 2b+ c = 0
d) 2a+ b+ d = 0 e 3a+ 2b+ c 6= 0
e) 2a+ b+ d = 0 e 3a+ 2b+ c+ d = 0
a2Q16: A reta s que passa pelo ponto P = (1, 2,−1), e´ paralela
ao plano pi : x − 2y − 3z + 1 = 0 e concorrente com a reta
r : X = (1, 0,−1) + λ(2,−1, 1) e´:
a) −x− 1 = y + 2 = −z + 1
b) s : X = (1, 2,−1) + λ(1,−1, 1)
c) s : X = (1, 2,−1) + λ(2, 1, 0)
d)
x− 1
3
=
y − 2
2
=
z + 1
2
e) s :

x = 1− 4λ
y = 2 + λ
z = −1− 2λ
a2Q17: O ponto Q do plano pi : x− 2y+ z − 1 = 0 mais pro´ximo
do ponto P = (1, 1,−1) e´:
a) Q = (0, 1, 3)
b) Q = (−12 , 0,
3
2)
c) Q = (3, 1, 0)
d) Q = (1, 1, 2)
e) Q = (32 , 0,
−1
2 )
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a2Q18: As retas
r :
x+ 1
2
=
y
3
=
z − 1
2
s : X = (1, 1, 1) + λ(1, 2, 0)
t : X = (0, 1,−1) + λ(1, 1,m)
sa˜o paralelas a um mesmo plano se, e somente se:
a) m = −1
b) m = 3
c) m = 2
d) m = −2
e) m = 1
a2Q19: A distaˆncia do ponto P = (1, 1, 1) a` reta
r :
{
x− y + 2z = 0
3x− y − 2z = 0 e´
a)
√
2
3
b)
√
2
3
c)
√
3
2
d) 23
e)
√
3
2
a2Q20: O plano pi que conte´m o ponto A = (2, 1, 0) e e´ perpendi
cular aos planos pi1 : x+2y−3z+4 = 0 e pi2 : 8x−4y+16z−1 = 0
e´ dado por:
a) X = (2, 1, 0) + α(1, 2,−3) + β(2,−1, 4), α, β ∈ IR
b) 2x− y − 3 = 0
c) x+ y + z − 3 = 0
d) −x+ 2y + z = 0
e) 3x− 2y + z − 4 = 0