4 Equivalencia Axioma Paralelas

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Prof. Gelfert, IM UFRJ Geometria na˜o Euclidiana
Lista 4 – Equivaleˆncias com o axioma das paralelas de Hilbert
Exerc´ıcio 1 (*). Mostrar que o axioma das paralelas de Hilbert vale se, e somente se, uma reta
intersecta uma de duas retas paralelas, enta˜o tambe´m intersecta a outra.
Exerc´ıcio 2 (*). Mostrar que o axioma das paralelas de Hilbert vale se e somente se duas retas
paralelas cortadas por uma reta transversal tem um par de aˆngulos internos alternos congruentes.
Exerc´ıcio 3 (*). Mostrar que o axioma das paralelas de Hilbert vale se, e somente se,
k ‖ `,m ⊥ k, n ⊥ `⇒ ou m = n ou m ‖ n
Exerc´ıcio 4 (*). Mostrar que se o axioma das paralelas de Hilbert vale, enta˜o a soma dos graus dos
treˆs aˆngulos num triaˆngulo e´ 180◦.
Lista 5 – Defeito e quadrilaterais de Saccheri e Lambert
Exerc´ıcio 5. Na geometria Euclideana, mostre o teorema de Thales.
Exerc´ıcio 6. Em geometria neutra, mostre que este fato e´ implica a existeˆncia de um triaˆngulo reto
com defeito zero.
Os seguintes exerc´ıcios tratam temas da aula na terc¸a feira.
Exerc´ıcio 7. Dado um quadrilateral �ABCD de Saccheri tais que ∠A e ∠B sa˜o aˆngulos retos e
AD ∼= BC (ver figura). Mostre que ∠C ∼= ∠D. (Dica: mostre primeiro 4ABD ∼= 4BAC e depois
4CDB ∼= 4CDA.)
A B
CD
Exerc´ıcio 8 (*). Mostre que existe um quadrilateral �ABCD de Saccheri.
Exerc´ıcio 9. Seja �ABCD um quadrilateral cujos aˆngulos na base ∠A e ∠B sa˜o aˆngulos retos (ver
figura). Mostre que se AD < BC enta˜o (∠C)◦ < (∠D)◦. (Dica: Se AD ∼= BE e B ∗E ∗ C, enta˜o E
esta´ no interior de ∠ADC. Aplique o exerc´ıcio anterior e o teorema de aˆngulo externo.)
A B
C
D E
A B
CD
?
Exerc´ıcio 10 (*). O matema´tico Lambert considerou quadrilaterais com treˆs aˆngulos ∠A,∠B,∠D
sendo aˆngulos retos, os chamados quadrilaterais de Lambert (ver figura). Mostre que o quarto aˆngulo
∠C nunca e´ obtuso. Mostre que se ∠C e´ reto enta˜o lados opostos de �ABCD sa˜o congruentes.
(Dica: usar o exerc´ıcio anterior.)