1 Axiomas de Euclides

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Prof. Gelfert, IM UFRJ Geometria na˜o Euclidiana
Axiomas de Euclides
Exerc´ıcio. Quais dos seguintes fatos sa˜o verdadeiros:
• O postulado das paralelas de Euclides diz: Para qualquer reta ` e para qualquer ponto A que
na˜o pertence na `, existe uma u´nica reta m que e´ paralela a `.
• Pela definic¸a˜o, uma reta m e´ paralela com uma reta ` se para quaisquer pontos A,B em m a
distaˆncia perpendicular de A a ` e´ igual a distaˆncia perpendicular de B a `.
• Na˜o foi necessa´rio para Euclides assumir o postulado das paralelas, pois Legendre ja´ o mostrou.
• Pela definic¸a˜o, um aˆngulo reto e´ um de 90◦.
• Axiomas e postulados sa˜o fatos que assumimos sem justificativa, enquanto teoremas e proposic¸o˜es
sa˜o fatos que precisam demonstrac¸o˜es usando os axiomas e postulados.
Exerc´ıcio. Usando os postulados de Euclides, defina os seguintes objetos:
1. ponto me´dio do segmento AB
2. bissetriz perpendicular do segmento AB
3. raio bisector
−−→
BD do aˆngulo ∠ABC (supondo que D esta´ entre A e C
4. pontos A, B e C sa˜o colinear
5. triaˆngulo 4ABC formado por treˆs pontos A,B,C na˜o colineares
Exerc´ıcio. Usando os postulados de Euclides, possvel mostrar os seguintes fatos?
1. Dados pontos A e B e um ponto C “entre eles” (note que ainda na˜o definimos “entre”), voceˆ
poderia mostrar, usando os postulados, que C esta´ na reta
←→
AB? Supondo que voceˆ consegue
mostrar que C esta´ em
←→
AB, usando a definic¸a˜o de “raio” e os postulados, voceˆ pode mostrar
que
−→
AB =
−→
AC?
2. Se S, T sa˜o dois conjuntos definimos a sua unia˜o S ∪ T como: um ponto pertence a S ∪ T se, e
somente se, ele pertence a S e ele pertence a T . Definimos a intersec¸a˜o S ∩T como: um ponto
pertence a S ∩ T se, e somente se, ele pertence ambos S e T .
Dado dois pontos A,B, fac¸a um diagrama para verificar que
−→
AB∪−→BA =←→AB e −→AB∩−→BA = AB.
Quais axiomas sa˜o necessa´rios para mostrar essas fo´rmulas?
3. (a) Existe um ponto que esta´ em `?
(b) Existe um ponto que na˜o esta´ `?