5 equivalencias

Prévia do material em texto

Prof. Gelfert, IM UFRJ Geometria na˜o Euclidiana
Os seguintes fatos sa˜o equivalentes:
1. (Axioma das paralelas de Hilbert) Para qualquer reta n e para qualquer ponto A que na˜o
pertence na n existe no ma´ximo uma reta m que conte´m A e que e´ paralela a´ n.
2. (Axioma das paralelas de Euclides) Para qualquer reta ` e para qualquer ponto A que na˜o
pertence na ` existe uma u´nica reta m que conte´m A e que e´ paralela a´ `.
3. Se uma reta intersecta uma de duas retas paralelas, enta˜o tambe´m intersecta a outra.
4. Duas retas paralelas cortadas por uma reta transversal tem um par de aˆngulos internos alter-
nados congruentes.
5. t e´ transversal com ` e m, ` ‖ m, t ⊥ `, enta˜o t ⊥ m.
6. k ‖ `,m ⊥ k, n ⊥ `⇒ ou m = n ou m ‖ n.
7. (Postulado de Euclides) Se
←→
BC e´ uma transversal a
←→
AB e
←→
CD de modo que A e D esta˜o do
mesmo lado de
←→
BC e (∠ABC)◦ + (∠DCB)◦ < 180◦ enta˜o −→BA ∩ −−→CD 6= ∅.
8. Dados um aˆngulo ABC e um ponto D que esta´ no seu interior, toda reta que passa por D
intersecta
−→
BA ou
−−→
BC.
9. (Legendre) Para todo aˆngulo agudo ∠ABC e todo ponto D que esta´ no interior do ∠ABC ,
existe uma reta que passa por D e que intersecta ambos os lados
−→
BA e
−−→
BC em pontos distintos
de B.
10. Existe um aˆngulo agudo ∠ABC tal que toda reta que passa por um ponto ponto D ∈ −→BA,
D 6= B, e´ perpendicular a ←→AB tambe´m intersecta −−→BC.
11. (Pita´goras) Dado um triaˆngulo retaˆngulo 4ABC com aˆngulo reto no ve´rtice B, tem-se
(AC)2 = (AB)2 + (BC)2.
12. (Tales) Dado um triaˆngulo 4ABC com B pertencente a` circunfereˆncia de diaˆmetro AC, enta˜o
∠ABC e´ um aˆngulo reto.
13. (Axioma de Wallis) Dado 4ABC e DE, existe 4DEF ∼ 4ABC.
14. Existem dois triaˆngulos semelhantes e na˜o congruentes.
15. As diagonais de um quadrila´tero de Saccheri se intersectam no ponto me´dio de ambas.
16. Todo quadrila´tero de Saccheri e´ um retaˆngulo.
17. Se treˆs aˆngulos num quadrila´tero convexo sa˜o retos, enta˜o o quarto tambe´m e´ reto.
18. Existe um retaˆngulo.
19. A soma dos graus dos treˆs aˆngulos num triaˆngulo e´ 180◦.
20. Todo triaˆngulo tem defeito igual a 0.
21. Existe um triaˆngulo que tem defeito igual a 0.
22. As mediatrizes dos treˆs lados de um triaˆngulo sa˜o retas concorrentes. O ponto de concorreˆncia
e´ chamado circumcentro do triaˆngulo.
23. Existe um u´nico ponto equidistante de quaisquer treˆs pontos na˜o colineares dados.