Vida de Poincaré

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO 
INSTITUTO DE MATEMÁTICA 
EVOLUÇÃO DA CIÊNCIA E DA MATEMÁTICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
POINCARÉ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RIO DE JANEIRO 
2016 
Sumário 
POINCARÉ – 1ª Parte ....................................................................... 3 
1. A Vida de Poincaré .................................................................. 4 
2. Influência de Poincaré na Matemática, Física e Filosofia... 4 
3. Mecânica Celeste: Teoria do caos e os Sistemas 
Dinâmicos ......................................................................................... 6 
3.1. O problema dos três corpos ............................................................... 7 
POINCARÉ – 2ª Parte ....................................................................... 8 
4. Funções Fuchsianas ............................................................... 9 
5. A Conjectura de Poincaré .................................................... 10 
6. Bibliografia ............................................................................. 11 
 
 
 
DÉBORA CARDOSO DO AMARAL - 114085542 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
POINCARÉ – 1ª Parte 
 
 
 
 
 
 
 
Trabalho apresentado no curso de 
graduação em Licenciatura em Matemática 
da Universidade Federal do Rio de Janeiro, 
Instituto de Matemática, como forma de 
composição de nota na disciplina de 
Evolução da Ciência e da Matemática. 
 
Prof. Responsável: Gérard Émile Grimberg 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RIO DE JANEIRO 
2016 
1. A Vida de Poincaré 
Jules Henri Poincaré nasceu em 29 de abril de 1854, em Nancy, França. 
Foi matemático, físico e filósofo, falecendo em 17 de julho de 1912, em Paris, 
França. Um dos mais importantes cientistas do final do século XIX e início do 
XX. As contribuições científicas e filosóficas de Poincaré são inúmeras, com 
impacto em muitas áreas do conhecimento. 
Filho de uma família influente na sociedade da época. Seu pai era 
professor na Universidade de Nancy e o tio, Antoine, engenheiro. Vários 
membros de sua família tornaram-se conhecidos, tanto na política quanto na 
vida intelectual da França, principalmente Raymond Poincaré (primo 6 anos 
mais novo de Jules Henri), presidente da França durante a Primeira Guerra 
Mundial. Suas habilidades matemáticas começaram a ser vistas quando ainda 
estudava no Liceu de Nancy, ao participar, e vencer, um concurso entre todos 
os liceus da França, além de destacar em todas as disciplinas que estudava. 
Ingressou na Escola Politécnica em 1873 e, em 1875 continuou seus 
estudos na Escola Nacional Superior de Minas (École des Mines). Em 1879 
obteve seu doutorado em ciências matemáticas com uma tese sobre equações 
diferenciais. Seu trabalho foi feito com a orientação de Charles Hermite e fazia 
parte da banca, Gabriel Darboux, conhecido por seus trabalhos com geometria 
não-euclidiana. Foi nomeado professor na Universidade de Paris, em 1881, 
assumindo a cadeira de física matemática, onde permaneceu até a sua morte. 
Durante toda sua vida, Poincaré publicou mais de 500 trabalhos, entre 
livros e artigos, além de notas de aula. Seu pensamento influenciou a 
matemática, a física matemática e a filosofia, desde a teoria de funções e 
topologia, até um modo particular de pensar o mundo e sua lógica. 
 
2. Influência de Poincaré na Matemática, Física e Filosofia. 
 
A profundidade e variedade das obras de Henri Poincaré são 
extraordinárias, mas a assimilação de suas ideias ocorreu lentamente ao longo 
de todo o século XX. 
Um dos itens mais importantes, no desenvolvimento da matemática, 
durante o século 19, foi a geometria não euclidiana. A geometria não euclidiana 
levava a existência de um espaço diferente do que era acreditado desde 
Euclides. As noções de reta, plano e distância num espaço não euclidiano 
eram completamente diferentes e não podiam ser observadas diretamente 
como a geometria euclidiana. Devido a essa questão da não existência 
concreta da geometria não euclidiana, ela demorou a ser aceita entre os 
matemáticos e só foi considerada de grande importância com o trabalho de 
Bernhard Riemann, publicado em 1867. 
Com a obra de Riemann, passou-se a aceitar a existência de um espaço 
em que não precisavam valer os postulados de Euclides, mas que, no limite do 
extremamente pequeno, a geometria euclidiana poderia ser considerada. É 
nesse contexto que se encontra a obra matemática de Poincaré. 
Os estudos sobre equações diferenciais, que em grande parte faziam 
referência à geometria diferencial, chamaram a atenção de Poincaré na 
resolução de problemas da mecânica, principalmente na solução do problema 
de interação de mais de três corpos. 
Na solução deste problema, Poincaré começou com as equações gerais: 
 
 
 
 , onde são polinômios reais arbitrários em , . Para 
considerar todos os possíveis caminhos das integrais de curva, ele projeta o 
plano sobre a esfera, a partir do centro desta, trabalhando, pela primeira 
vez, com uma integral de curva de um campo vetorial sobre uma multiplicidade 
compacta. 
Ele participou do desenvolvimento de quase todas as áreas da 
matemática existentes em sua época – como equações diferenciais, aritmética, 
teoria dos grupos e probabilidade – e criou outras novas – funções automorfas, 
sistemas dinâmicos, topologia algébrica. Além disso, abriu caminho para a 
teoria das funções de várias variáveis complexas e à teoria dos 
desenvolvimentos assintóticos; renovou completamente a mecânica celeste, 
tendo lançado as bases para a formulação das teorias sobre o caos 
determinista. 
A principal contribuição de Poincaré para a física matemática foi na área 
de mecânica celeste, que pode ser vista no tratado de 3 volumes Les méthodes 
nouvelles de la mécanique céleste, publicados entre 1892 e 1899. As equações 
que solucionavam o problema de três corpos foram usadas nesse caso no 
estudo de soluções periódicas, quando as massas de dois corpos são muito 
pequenas quando comparadas com a do terceiro, o que acontece no caso do 
sistema solar. Esse trabalho serviu para Poincaré ganhar o primeiro prêmio 
numa competição realizada pelo rei da Suécia em 1885 entre matemáticos de 
vários países. 
A associação das ideias de espaço não euclidiano, com suas pesquisas 
em eletromagnetismo e mecânica celeste, leva alguns historiadores a 
considerarem que Poincaré teria introduzido princípios básicos da relatividade 
antes de Einstein. O principal aspecto da relatividade é considerar um espaço 
não euclidiano, em que a curvatura é importante (num plano, em que o espaço 
é euclidiano, a curvatura é nula; numa esfera, é positiva e num espaço 
hiperbólico, é negativa) e modifica a distância entre dois pontos. 
No campo da filosofia, Poincaré inovou, propondo considerações, 
usualmente inseridas dentro da perspectiva do convencionalismo, mas que 
nem por isso são antirrealistas. Percebendo que as ciências naturais passavam 
por transformações profundas, resultado das inovações provocadas pelo 
surgimento da termodinâmica, do eletromagnetismo e das novas radiações, 
Poincaré preocupou-se em tentar avaliar as mudanças que ocorreriam no 
futuro, afetando as ciências naturais, particularmente a física. Outra faceta 
importante de Poincaré encontra-se na sua produção bibliográfica, que não se 
restringe a artigos científicos originais. Em seus cursos na Sorbonne, Poincaré 
introduziu idéias novas e teorias pouco disseminadas em seu país natal, como 
seu curso sobre o eletromagnetismo de Maxwell, que fez com que ele fosse um 
dos principais responsáveis pela renovação do cenário científico francês. 
Poincaré foi um sucessoeditorial na França e em outros países, incluindo-se o 
Brasil. Suas obras destinadas ao grande público, nas quais ele discorria sobre 
temas diversos, encontram-se entre as mais lidas na primeira metade do 
século XX. No caso específico do nosso país, Poincaré foi muito importante 
para os fundadores da atual Academia Brasileira de Ciências. Em particular, 
Manoel Amoroso Costa - talvez o mais profundo conhecedor das idéias de 
Poincaré no Brasil daquela época - recorreu às ideias do savant francês para 
defender a necessidade de incentivar a ciência pura em nosso país. Esse 
movimento em prol da ciência pura esteve na origem Academia Brasileira de 
Ciências. Em todas as áreas em que atuou, Poincaré continua a ser, mesmo 
cem anos após o seu desaparecimento, uma referência obrigatória, não 
apenas para historiadores, como também para cientistas ativos. 
Por necessidade, mas também por gosto, o próprio Poincaré sempre se 
colocou em posições que poderiam ser vistas como interdisciplinares ou, se 
usarmos um tempo da sua língua natal, no carrefour de ideias, tendências e 
escolas diversas. Seria difícil entender e desfrutar do pensamento de Poincaré 
sem respeitarmos a sua capacidade de interação com as múltiplas facetas que 
constituem a ciência. Tal dificuldade enfraquece as tentativas de resolver 
dificuldades causadas pela excessiva especialização em nosso tempo. Mais do 
que por palavras, mas principalmente pelas suas ações, concretizadas em 
seus livros e artigos, Poincaré merece ser compreendido como um pensador 
que se posicionou, clara e resolutamente, contra a especialização. 
 
3. Mecânica Celeste: Teoria do caos e os Sistemas 
Dinâmicos 
O movimento dos corpos celestes há muito tempo encanta os homens. 
Como funciona tal movimento foi uma das primeiras perguntas da dinâmica. 
Com o intuito de responder a essa pergunta diversos modelos foram criados, 
dois destes seguem abaixo: 
 Os gregos teocêntricos diziam que a terra ocupava o centro 
geométrico do universo e os corpos celestes moviam-se ao seu 
redor. Primeiro sugeriram que o movimento se dava sobre círculos 
concêntricos e; em 200 a.E.C. o astrônomo Ptolomeu de 
Alexandria propõe o uso de epiciclos; 
 Na primeira parte do século XVI Nicolau Copérnico (1473-1543) faz 
a hipótese de que a terra e os demais planetas giravam ao redor do 
sol. Este modelo já havia sido sugerido 2000 anos antes pelo 
astrônomo grego Aristarco. As ideias de Aristarco e Copérnico 
aproximam melhor o movimento dos corpos celestes, como é 
sabido hoje. 
Estes pensamentos serviram para os trabalhos de Galileu Galilei (1564-
1642) e de Kepler, os quais dão início a estudos qualitativos da mecânica. Em 
seguida temos uma era quantitativa da mecânica que começa com Newton, 
quando ele resolve o problema de dois corpos. 
 
3.1. O problema dos três corpos 
A partir do século XVII, muitos cientistas procuraram demonstrar se a lei 
da gravitação universal era capaz de promover um entendimento completo do 
universo. Uma questão bastante abordada era a estabilidade do sistema solar, 
que foi analisada por Laplace usando expansão em série. Laplace provou que 
o sistema solar é estável, outros também o fizeram como Lagrange, Poisson, 
Dirichlet e Haretu, entre outros. Esse problema ficou conhecido como problema 
dos n corpos da Mecânica Celeste que estuda o movimento dos corpos 
celetes. Apesar de o problema dos dois corpos, que envolve um sistema de 
equações diferenciais de ordem doze, ser totalmente integrável, o problema 
dos três corpos, movimento conjunto do Sol, da Terra e da Lua, se mostrou 
muito mais complicado. Durante os dois séculos seguintes, astrônomos e 
matemáticos procuraram desenvolver métodos analíticos que fornecessem 
aproximações para as coordenadas dos três corpos. A partir da segunda 
metade do século XIX, começou a ficar claro que os métodos tradicionais, que 
procuravam resolver o problema por meio de séries infinitas, não eram 
suficientes. A partir de 1881, Henri Poincaré publica uma série de trabalhos 
introduzindo novas ferramentas, de natureza qualitativa, que permitiriam um 
novo tratamento da questão. 
Em 1887, Poincaré respondeu a um concurso do reino da Suécia e da 
Noruega que atribuía um prémio por ocasião da comemoração dos 60 anos do 
rei Óscar II. Pedia-se uma resposta à questão de encontrar uma solução na 
forma de uma série convergente para o problema de três corpos, o que seria 
um importante passo para conhecer a estabilidade em longo prazo do sistema 
solar. Ele não resolveu completamente o problema proposto, mas o seu 
trabalho sobre o problema de três corpos restrito foi distinguido. Um dos 
membros do júri, o matemático alemão Karl Weierstrass, afirmou: “Este 
trabalho não pode ser considerado realmente como fornecedor da solução 
completa para a questão proposta, mas o que de mais importante tem esta 
publicação é que ela inaugura uma nova era na história da mecânica 
celeste“. Com efeito, Poincaré, ao embrenhar-se na complexidade do problema 
considerado, tornou-se, sem ter consciência disso, o pai da moderna teoria do 
caos... 
Esta pesquisa culminou com a publicação, em 1890, de um artigo que se 
tornou célebre pela quantidade de novas ferramentas que introduz. Para 
Poincaré, um entendimento global do comportamento de todas as soluções de 
um sistema era mais importante do que o comportamento local de soluções 
descritas analiticamente. Essa visão proporcionou, posteriormente, o 
desenvolvimento da Teoria dos Sistemas Dinâmicos. 
Enquanto a abordagem utilizada até então ia no sentido de resolver as 
equações diferenciais do movimento, analítica ou numericamente, Poincaré 
propõe a utilização de ferramentas vindas de outras áreas, tais como a 
Topologia, a Geometria, a Álgebra e Análise, para obter uma descrição 
qualitativa e, quando possível, quantitativa do comportamento do sistema, o 
que torna possível obter informações sobre as soluções de problemas, que 
como o de n-corpos, não tem solução explícita. Esta proposta, que remonta à 
sua tese, marca o nascimento de Sistemas Dinâmicos como disciplina 
matemática, tendo como objetivo desenvolver uma teoria capaz de prever a 
evolução dos fenômenos naturais e humanos observados nos diversos ramos 
do conhecimento. 
PEDRO MACHADO - 112077292 
 
 
 
 
 
 
 
POINCARÉ – 2ª Parte 
 
 
 
 
 
 
 
Trabalho apresentado no curso de 
graduação em Licenciatura em Matemática 
da Universidade Federal do Rio de Janeiro, 
Instituto de Matemática, como forma de 
composição de nota na disciplina de 
Evolução da Ciência e da Matemática. 
 
Prof. Responsável: Gérard Émile Grimberg 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RIO DE JANEIRO 
2016 
4. Funções Fuchsianas 
A teoria de funções automórficas (ou funções Fuchsianas, como Poincaré 
chamou) é resultado do uso da teoria de funções complexas na análise de 
Equações Diferenciais Ordinárias (EDO's). 
Lazarus Fuchs considerou a EDO linear de segunda ordem da seguinte 
forma: 
 
 
onde A e B são funções holomorfas de variável complexa z em uma região S. 
Existem duas soluções independentes, y1(z) e y2(z) e considera-se a função F 
= y1 / y2. Fuchs estava interessado no comportamento das soluções próximo a 
pontos singulares das funções A e B. Ele realizou continuação analítica de 
y1(z) e y2(z) ao longo de uma curva fechada em torno de tal singularidade e 
inversão da função F(z). 
Esse processo levou ele a considerar uma certa transformação linear de 
F, e mais geral olhar para funções que são invariantes sob a substituição da 
forma: 
z → (az + b) / (cz + d), com coeficientes complexos a,b,c,d. 
Então temos: 
f((az + b) / (cz + d)) = f(z). 
Essas funções formam um grupo descontínuo. 
Poincaré tomou por base esse trabalho e descobriu algumas funções quesatisfazem essas propriedades e a elas chamou de Funções Fuchsianas. O 
nome não permaneceu e hoje são chamadas de Funções Automorfas. O 
desenvolvimento dos conceitos dessas funções fez parte da tese de doutorado 
de Poincaré. De acordo com sua definição, uma forma automórfica é aquela 
que é analítica em seu domínio e é invariante sob um inumerável grupo infinito 
de transformações lineares fracionais. Ele explica como como descobriu tais 
funções: 
"Por quinze dias eu me esforcei para provar que não podiam existir 
quaisquer funções como as que tenho chamado de funções Fuchsianas. Eu era 
então muito ignorante; todos os dias eu sentava sozinho em minha mesa de 
trabalho, permanecendo uma hora ou duas, tentando um grande número de 
combinações e não obtendo qualquer resultado. Uma noite, contrário aos meus 
hábitos, eu bebia café e não conseguia dormir. Ideias brotaram em multidões; 
as senti até olidindo em pares interligados, por assim dizer, produzindo uma 
combinação estável. Pela manhã seguinte eu tinha estabelecido a existência 
de uma classe de funções Fuchsianas, estas advindo das séries 
hipergeométricas; Eu apenas tinha que escrever os resultados, os quais 
tomaram apenas uma poucas horas." 
As funções automórficas possuem seu 
domínio num espaço não euclidiano e também 
eram objeto de pesquisa de Klein em 1884, porém 
a conexão com o espaço não euclidiano não havido 
sido feita. Utilizando as ideias de multiplicidade de 
Riemann, Poincaré foi o primeiro a introduzir a ideia 
de preencher tal multiplicidade por uma sequência 
de regiões compactas e obter o mapeamento por 
um processo de limite. 
 
5. A Conjectura de Poincaré 
A Conjectura de Poincaré afirma que qualquer variedade tridimensional 
fechada e com grupo fundamental trivial é homeomorfa a uma esfera 
tridimensional. Em outras palavras: Uma superfície fechada sem buracos pode 
ser deformada continuamente até produzir uma esfera. 
Na verdade era um problema para dimensão n que surgiu durante o 
estudo de Poincaré acerca de variedades. Em 1904 Poincaré formulou o 
problema para o caso de dimensão 3. Durante muito tempo diversas tentativas 
de demonstração foram surgindo e, ao final da década de 1950 e início da 
década de 1960 foi descoberto que trabalhar com variedades em dimensões 
maiores que 3 era um problema mais fácil. 
Em 1961 Stephen Smale conseguiu mostrar o resultado de uma 
generalização da conjectura para uma dimensão igual ou superior a 5. Stephen 
Smale é um matemático nascido em 15 de Julho de 1930 em Michigan, nos 
Estados Unidos. Suas áreas de interesse são a topologia, sistemas dinâmicos 
e economia matemática. Possui uma extensa lista de trabalhos importantes, 
como a generalização da conjectura de Poincaré para dimensão igual ou 
superior a 5. Esse trabalho lhe rendeu a Medalha Fields em 1966. Smale é 
atualmente professor no Instituto Tecnológico Toyota em Chicago, uma 
instituição de ensino estreitamente relacionada com a Universidade de 
Chicago. 
Em 1982 o matemático norte americano Michael Freedman demonstrou o 
resultado da conjectura de Poincaré para uma variedade 4-dimensional. Esse 
trabalho lhe rendeu a Medalha Fields em 1986. Michael Freedman nasceu em 
21 de Abril de 1951 na Califórnia, nos Estados Unidos. Atualmente trabalha na 
"Microsoft Station Q" na Universidade da Califórnia em Santa Bárbara, onde ele 
e sua equipe estão envolvidos no desenvolvimento de um "topological quantum 
computer" 
Em 2000 o Clay Mathematics Institute selecionou 7 problemas para 
compor uma lista de "problemas do milênio". A resolução de algum desses 
problemas dá ao autor da resposta um prêmio de 1 milhão de dólares. Um dos 
problemas selecionados para a lista foi exatamente a Conjectura de Poincaré 
em seu enunciado "original" (para dimensão 3). Dos 7 problemas apenas 1 foi 
resolvido até hoje, que foi exatamente a Conjectura de Poincaré. 
Como dito anteriormente, a Conjectura de Poincaré foi finalmente 
demonstrada em 2003 pelo matemático russo Grigori Perelman. Ele nasceu em 
13 de Junho de 1966 em Leningrado na União Soviética. Seu trabalho sobre a 
Conjectura de Poincaré lhe rendeu a Medalha Fields em 2006, mas ele recusou 
o prêmio, alegando que não estava interessado em dinheiro ou fama. Em 2010 
ele também recusou o prêmio de 1 milhão de dólares oferecido pelo Clay 
Mathematics Institute pela sua resolução da Conjectura de Poincaré, um dos 7 
"Problemas do Milênio". Pouco se sabe sobre a vida de Perelman atualmente. 
Há relatos de que ele largou a matemática e hoje está desempregado e 
morando com a mãe. 
 
6. Bibliografia 
[1] VERHUST, Ferdinand. Henri Poincaré: Impatient Genius. 1 ed. New 
York: Springer, 2012. 
[2] PRAZERES, Roberta Fonseca dos. Métodos clássicos e qualitativos 
no estudo do problema dos três corpos. Dissertação de Mestrado. Rio de 
Janeiro: IM/UFRJ, 2010. 
[3] FERNANDES, Antônio Carlos. Introdução ao Estudo do Problema 
de -corpos. Relatório de Iniciação Científica. Itajubá: ICE/UFI, 2006. 
[4] IMPA. Colóquio em homenagem ao centenário da morte de Henri 
Poincaré.http://www.impa.br/opencms/pt/eventos/extra/2012_henri_poincare/at
tach/resumo.pdf. Acessado em 04 de dezembro de 2016. 
[5] IMPA. Áreas de Pesquisa: Sistemas Dinâmicos e Teoria Ergódica. 
http://www.impa.br/opencms/pt/pesquisa/pesquisa_areas_de_pesquisa/pesquis
a_areas_de_pesquisa_sistemas_dinamicos/. 
[6] Clay Mathematics Institute. Poincaré Conjecture. 
http://www.claymath.org/millennium-problems/poincar%C3%A9-conjecture. 
Acessado em 06 de dezembro de 2016. 
[7] MILNOR, John. The Poincaré Conjecture. 
http://www.claymath.org/sites/default/files/poincare.pdf. Acessado em 06 de 
dezembro de 2016. 
[8] FIOLHAIS, Carlos. O Problema dos três corpos e o caos. 
http://dererummundi.blogspot.com.br/2011/03/o-problema-dos-tres-corpos-e-o-
caos.html. Acessado em 06 de dezembro de 2016. 
[9] GHTC - USP. Biografias - Poincaré. 
http://www.ghtc.usp.br/Biografias/Poincare/Poincare3.html. Acessado em 04 de 
dezembro de 2016. 
[10] WIKIPÉDIA. Henri Poincaré. 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Henri_Poincar%C3%A9. Aceessado em 04 de 
dezembro de 2016. 
[11] WIKIPEDIA. Automorphic Form. 
https://en.wikipedia.org/wiki/Automorphic_form#Poincar.C3.A9_on_discovery_a
nd_his_work_on_automorphic_function. Acessado em 06 de dezembro de 
2016. 
[12] WIKIPEDIA. Poincaré Conjecture. 
https://en.wikipedia.org/wiki/Poincar%C3%A9_conjecture. Acessado em 06 de 
dezembro de 2016. 
[13] WIKIPEDIA. Stephen Smale. 
https://en.wikipedia.org/wiki/Stephen_Smale. Acessado em 06 de dezembro de 
2016. 
[14] WIKIPEDIA. Michel Freedman. 
https://en.wikipedia.org/wiki/Michael_Freedman. Acessado em 06 de dezembro 
de 2016. 
[15] WIKIPEDIA. Clay Mathematics Institute. 
https://en.wikipedia.org/wiki/Clay_Mathematics_Institute. Acessado em 06 de 
dezembro de 2016.