Geometria Hiperbólica

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LICENCIATURA EM MATEMÁTICA 2017.1 – NOTURNO 
INFORMÁTICA APLICADA AO ENSINO 
ENSINO(GEOMETRIA)– AUXÍLIO DIGITAL: CINDERELLA 
ALUNOS: CARLOS PINHEIRO 
DOUGLAS TIBÚRCIO 
GIOVANI BONIFÁCIO 
JULIANA SEVERINO 
PEDRO PINTO 
UM POUCO DA GEOMETRIA HIPERBÓLICA 
Tomando-se os quatro primeiros grupos de axiomas de Hilbert, a 
saber: 
(i) Axiomas de Incidência; 
(ii) Axiomas de Ordem; 
(iii) Axiomas de Congruência; 
(iv) Axiomas de Continuidade; 
Juntamente com a negação do 5º.Postulado de Euclides conhecida 
como Postulado de Lobachewsky: 
 
Postulado de Lobachewsky 
“Por um ponto não pertencente a uma reta dada, podem ser 
traçadas pelo menos duas retas distintas que não encontram a reta 
dada,” 
Temos o sistema axiomático que origina a chamada Geometria 
Hiperbólica. À semelhança da Geometria Euclidiana, temos que 
ponto, reta e plano na Geometria Hiperbólica são conceitos 
primitivos, portanto, indefiníveis. 
 
Modelo do Disco de Poincaré para a Geometria 
Hiperbólica 
Fixemos um disco euclidiano α de raio 1 e seja H seu interior. 
Dados os pontos não colineares A,B,O (O é o centro de α) existe 
um único círculo euclidiano βr que passa pelos pontos A e B e 
intersecta o bordo de α ortogonalmente. 
 
Veja a Figura: 
 
 
Façamos as seguintes interpretações em H: 
 
Pontos: os pontos hiperbólicos são os pontos de H. 
Retas: as retas hiperbólicas são interseções de H com um 
diâmetro de α ou interseções de H com um círculo perpendicular 
ao bordo de α. 
Plano: O plano hiperbólico é a região de H, interior de α . 
 
Definições: 
Retas Paralelas: retas que se intersectam num ponto chamado 
ideal. 
Ponto ideal (Ω): Ponto no bordo no Modelo do Disco de Poincaré 
para a Geometria Hiperbólica, podemos considerá-lo como o 
“ponto de convergência” de todas as semirretas da classe que o 
define. Ponto ideal não é um ponto do Plano Hiperbólico. 
Ponto ordinário: Pontos do Plano Hiperbólico. 
Retas Hiperparalelas: não se intersectam. 
Vamos construir? ( Auxílio do Cinderella) 
1. Uma reta n; 
2. Duas retas m e m’ paralelas a n passando por P; 
3. Duas retas r e r’ hiperparalelas a n passando por P. 
4. Um perpendicular t a reta r’ passando por P. 
A construção deve ser feita considerando a “Vista Hiperbólica” 
do Cinderella. 
Passo1: No painel superior clicamos em ‘Vista’ e selecionamos 
Vista Hiperbólica. 
Podemos fechar a Vista Euclidiana aberta automaticamente pelo 
Cinderella. 
Passo 2: Para traçar a reta n pedida, clicamos no ícone , e 
traçaremos na parte inferior do nosso plano. 
O software automaticamente nomeará a reta, porém daremos 
outro nome clicando no ícone ABC adicionar texto e clicamos na 
reta. 
Passo 3: No painel inferior escolhemos a opção HYP. 
Passo 4: Para traçarmos as paralelas m e m’, basta clicar no ícone 
 e arrastar o mouse a partir da reta n. 
Passo 5: Agora daremos nome para as retas e para o ponto 
conforme ensinado acima. 
Passo 6: Traçamos as retas r e r’ passando por P clicando no ícone 
 partindo de P. e nomeamos as mesmas. 
Passo 7: Traçamos uma perpendicular t a r passando por P 
clicando no ícone e arrastando o mouse a partir de r. 
Passo 8: Colocamos movimento na reta r’ clicando ícone 
Animação (painel superior) e tocando nesta reta. Assim 
conseguiremos observara região das hiperparalelas, até que r’ 
chegue em m (reta paralela na). 
Passo 9: Criando caixa de texto, podemos destacar a região das 
hiperparalelas, paralelas, hiperpalarelas e os pontos ideais. 
Passo 10: Para salvarmos a construção clicamos em Arquivo 
(painel superior), salvar como. 
Para efeito de conhecimento podemos ver que em nossa 
construção ficou formado um triângulo PΩΩ, chamado de 
Triângulo Generalizado, pois possui vértices que são pontos 
ideais. 
 
 
 
Atividade: 
Explore a figura e observe o seu comportamento: 
 
1) Como são as retas no Plano Euclidiano? E no Plano 
Hiperbólico? E os Pontos? E os segmentos? 
2) Por um ponto não pertencente a uma reta dada podem ser 
traçadas quantas retas distintas que não encontram a reta 
dada, na Geometria Euclidiana, e na Geometria 
Hiperbólica? 
Respostas: 
1) São retas do plano formadas por infinitos pontos. No plano 
hiperbólico as retas hiperbólicas são interseções de H com 
um diâmetro de α ou interseções de H com um círculo 
perpendicular ao bordo de α. 
Os pontos na geometria hiperbólica, são pontos pertencentes 
ao modelo do disco de Poincaré. Os segmentos são como 
“arcos” de circunferência da geometria euclidiana. 
 
2) Na geometria euclidiana, como é válido o V Postulado, 
sabemos que por um ponto fora de uma reta podemos traçar 
uma ÚNICA reta paralela a reta dada. 
Já na geometria hiperbólica vimos que não vale o V 
Postulado e portanto vale o Postulado de Lobacheswky, 
logo por um ponto fora de uma reta, passam pelo menos 2 
retas paralelas a reta dada. 
 
 
 
 
Medida de ângulo: 
A medida de um ângulo hiperbólico m(AÔB) coincide com a 
medida euclidiana do ângulo formado pelas retas tangentes aos 
seus lados. 
 
Obs: se o ângulo formado pelas retas tangentes for reto, então AO 
e BO são ortogonais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PONTOS NOTÁVEIS DO TRIÂNGULO 
 
Cevianas 
 É qualquer segmento de reta que une um dos vértices do 
triângulo à reta suporte do seu respectivo lado oposto. 
 
Vamos construir? ( Auxílio do Cinderella) 
 Passo1: Criar 3 pontos através do ícone (adicionar um 
ponto) 
 Passo 2: Criar as arestas do triângulo através do ícone 
(traçar um segmento) 
 Passo3: Definir um triângulo com cores, letras (pontos, 
arestas). Ícones: . Podendo configurar também cada 
componente simplesmente selecionando com o botão direito do 
mouse e escolhendo a opção de information( ctrl i: no teclado) 
 Passo 4: Criar a reta suporte para um determinado lado do 
triângulo. Ícone: (traçar linha de conexão). 
 Passo 5: E por fim criar as cevianas com o mesmo ícone do 
passo 2 (traçar segmento). 
 
**Como se trata de uma Geometria Euclidiana, tal opção já 
encontra-se aberta automaticamente pelo Cinderella, caso 
contrário teríamos que colocar Na Vista Euclidiana. 
Cujo caminho é: Configuration => geometria=> Geometria 
Euclidiana. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Principais cevianas 
a) ALTURA: tem a característica de ser perpendicular à reta 
suporte do lado oposto. 
 
 
 
 
b) MEDIANA: é toda ceviana que tem uma das extremidades 
no ponto médio do respectivo lado oposto. 
 
c) BISSETRIZ INTERNA: divide um ângulo interno em dois 
ângulos adjacentes e congruentes. 
 
 
d) BISSETRIZ EXTERNA: divide o ângulo externo em dois 
ângulos adjacentes e congruentes. 
 
 
 
 **OBS: porém a 
bissetriz externa 
não será ceviana em 
todos os triângulos 
e sim em casos 
particulares. Como 
podemos observar o 
exemplo ao lado. 
 
e) MEDIATRIZ: é o lugar geométrico dos pontos do plano que 
equidistam de dois pontos distintos. 
 
**OBS: porém a mediatriz não será ceviana em todos os 
triângulos e sim em casos particulares. Como podemos 
observar nos exemplos acima. 
 
 
 
Vamos construir? ( Auxílio do Cinderella) 
 
 Os ícones utilizados serão todos os que utilizamos para 
construir as cevianas, porém será utilizado o ícone 
(traçar linha perpendicular) para achar as alturas; será 
utilizado o ícone (construir 2 pontos e seu ponto 
médio) para achar as medianas e mediatrizes; será utilizado 
o ícone (definir bissetriz) para achar as bissetrizes. 
 
PONTOS NOTÁVEIS 
 
a) CIRCUNCENTRO: as mediatrizesdos lados de um 
triângulo interceptam-se num mesmo ponto que está a igual 
distância dos vértices do triângulo; o circuncentro é o centro 
de circunferência circunscrita ao triângulo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) BARICENTRO: as medianas de um triângulo interceptam-
se num mesmo ponto que divide cada mediana em duas 
partes tais que a parte que contém o vértice é o dobro da 
outra. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) ORTOCENTRO: as alturas de um triângulo interceptam-se 
num mesmo ponto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
**OBS: cada “pé da altura” formada em cada aresta do 
triângulo, totalizam 3, logo se unirmos esses 3 pontos 
formaremos um outro triângulo, chamado triângulo órtico. 
 
d) INCENTRO: as bissetrizes internas de um triângulo 
interceptam-se num mesmo ponto que está a igual distância 
dos lados do triângulo; o incentro é o centro da 
circunferência inscrita no triângulo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) EX-INCENTRO: a bissetriz interna de um ângulo 
intercepta-se com as bissetrizes externas dos outros ângulos, 
que é o centro do círculo tangente a um dos lados e aos 
prolongamentos dos outros dois. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vamos construir? ( Auxílio do Cinderella) 
 Os ícones utilizados serão todos os que utilizamos para 
construir as cevianas, medianas, mediatrizes, bissetrizes e alturas, 
porém será utilizado o ícone (traçar circunferência ao 
redor de um ponto) para nos auxiliar a criar o circuncentro, o 
incentro e o ex-incentro. 
 
 
 
 
 
Relação entre os pontos notáveis 
a) CIRCUNCENTRO E ORTOCENTRO: o simétrico do 
ortocentro em relação a um dos lados está sobre o círculo 
circunscrito ao triângulo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) INCENTRO E ORTOCENTRO: o ortocentro de um 
triângulo é o incentro de seu triângulo órtico. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Desigualdade triangular 
 A desigualdade triangular diz respeito a condição de existência 
de um triângulo, ou seja, não se pode formar triângulos a partir de 
quaisquer 3 lados, é preciso obedecer a seguinte definição: 
Sendo os lados de um triângulo qualquer dados como a,b e c, 
sendo a>b, e a>c, podendo b>c ou b<c, para que este triângulo 
exista, a seguinte propriedade deve ser respeitada 
a<b+c. 
"a" pode ser igual a b+c ? 
Iremos analisar isso a partir das atividades a seguir. 
 
PRIMEIRA ATIVIDADE : pedir para que os alunos construam 
triângulos quaisquer e analisem seus lados; como exemplo 
construiremos 2 triângulos. 
 
a) o primeiro é o triangulo de lados a=12; b=13 e c=3 
A primeira pergunta a se fazer é : Este triângulo existe ? 
Sim pois pegando o maior lado que é b, temos que b<a+c. 
 
 
b) agora iremos verificar um segundo triângulo de lados 
a=3,47; b=10,71; c=7,31 
Da mesma forma verificaremos se ele existe. 
Sim ele existe pois b<a+c 
 
 
 
Vamos construir? ( Auxílio do Cinderella) 
 Através do ícone (traçar circunferência com raio fixo) e 
os ícones anteriormente utilizados( pontos notáveis do triângulo), 
podemos construir arestas de triângulos com valores fixos e fazer 
uma ligação entre elas quando as circunferências tiverem pontos 
de interseção(no qual utilizaremos o ícone )Verificando 
assim que é possível construir um triângulo com as medidas 
propostas. 
 Caso as circunferências estejam atrapalhando a visualização do 
triângulo, podemos selecioná-las com o botão direito do mouse e 
escolhendo a opção de information( ctrl i: no teclado) podemos 
configurar a ferramenta de visibilidade e torná-las invisíveis. 
 
 
e também faremos uma outra análise, que seria , percebemos que 
a soma dos lados a+c, é bem proxima do lado. Percebemos que a 
medida que a soma dos lados a+c se aproxima do lado b o 
triângulo vai se aproximando do lado b e deixando de existir. 
 
SEGUNDA ATIVIDADE : construir uma triângulo e verificar o 
que acontece com seus lados a medida que aproximamos a soma 
de dois deles com o maior, ou seja a=b+c. 
tomemos o triangulo 3 de lados a=14,06, b=11,72, e c=9,81. 
traçamos a altura desde triângulo, obtendo o seguimento CG, com 
o auxilio do recurso animation no cinderela, iremos fazer com que 
o ponto C, percorra o segumento CG, até a base AB parando no 
ponto G, fazendo isso veremos como se comportam os lados c e b 
a medida que a soma deste se aproxima do a, fazendo isso 
percebemos que quando a=b+c, o triângulo deixa de existir e 
torna-se apenas o seguimento AB ou " a ". 
TRIÂNGULOS CONGRUENTES 
 
SÃO TRIÂNGULOS CUJOS LADOS E ÂNGULOS 
CORRESPONDENTES SÃO IGUAIS. 
 
 
 
CASOS DE CONGRUÊNCIA DE TRIÂNGULOS 
1)LAL 
2)ALA 
3)LLL 
4)LAAº 
5)CATETO-HIPOTENUSA 
1)LAL 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2)ALA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3)LLL 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4)LAA° 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5)CATETO-HIPOTENUSA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
POLÍGONOS REGULARES 
 
Definição: um polígono regular é definido por possuir todos 
os lados iguais e todos os ângulos iguais. 
1ª propriedade: Todo polígono regular pode ser inscrito numa 
circunferência, ou seja, todos os vértices desse polígono devem 
estar contidos numa mesma circunferência. 
2ª propriedade: todo polígono pode ser circunscrito. 
 
 
Vamos construir? ( Auxílio do Cinderella) 
 Podemos construir os polígono regulares através do caminho: 
MODOS => POLIGON e selecionar a quantidade de lados. 
E com os ícones de circunferência conseguiremos visualizar as 
propriedades descritas acima. 
 
 
 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
A.C.Morgado; E.Wagner; M.Jorge. Geometria 1 e 2: 2º 
grau,exames supletivo e vestibulares. 5 ed. Rio de Janeiro: 
livraria francisco alves editora, 1990. 
Dolce,Osvaldo; Pompeo, José Nicolau. Fundamentos de 
matemática elementar : geometria plana. 8 ed. São 
Paulo:Atual, 2005. 
Andrade,Placido. Introduçãoà geometria hiperbólica, o 
modelo de Poincaré. Textos Universitários. SBM