Logaritmo e Integral usando o Graphmatica

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LOGARITMOS
E 
INTEGRAL
USANDO GRAPHMATICA
LOGARITMO
• Surgimento do Logaritmo
• O logaritmo teve a sua origem no século XVII, no ano de 
1614. O conceito foi criado por John Napier, o 
responsável pela elaboração da primeira tábua de 
logaritmo, que era uma tabela com números que 
apresentava o valor das mantissas (parte decimal do 
logaritmo). Outro estudioso muito importante para a 
formalização do logaritmo foi Joost Burgi. Ele 
desenvolveu os seus estudos paralelamente aos de 
Napier, mas divulgou os seus resultados tardiamente, 
pois somente em 1620 que publicou suas tábuas. Nessa 
época, as tábuas de Napier já estavam difundidas por 
todo o continente europeu.
• O logaritmo surgiu para facilitar os cálculos relacionados 
com a trigonometria. A idéia inicial era substituir contas 
mais elaboradas, como divisões por subtrações, 
multiplicação por soma, potenciação por multiplicação e 
radiciação por divisão (expoente fracionário).
• O uso do logaritmo neperiano ou logaritmo natural 
apresentava algumas dificuldades relacionadas com a 
operacionalização dos cálculos. Isso porque utilizava 
como base 1/e, que é um número irracional e tem valor 
aproximado de 2,718... Houve, então, a necessidade de 
se ter uma base em que as operações com logaritmos 
fossem realizadas mais facilmente. Por esse motivo, 
Henry Briggs adaptou a base de logaritmos criada por 
Joost Burgi, tornando-a uma base decimal.
Formulação do logaritmo
• O logaritmo nos dias de hoje possui a sua formulação 
bem definida e estruturada, que é dada por:
• Sejam a e b dois números reais positivos (a ≠ 1, b > 0 e a 
> 0), denomina-se logaritmo de a na base b o expoente x 
(logb a= x ), sendo bx = a:
logb a = x ↔ bx = a
a = logaritmando
b = base do logarítmo
x = logaritmo
Exemplos de cálculos com logaritmos
Encontre o valor dos logaritmos:
a) log3 9 = x
logb a = x → log3 9 = x
b = 3 = base
a = 9 = logaritmando
x = logaritmo
Como logb a = x ↔ bx = a, então:
log3 9 = x ↔ 3x = 9.
3x = 9 → Fatore o logaritmando 9. A fatoração é: 9 = 3 . 3 = 32
3X = 32 → Como a base é o número 3 e temos uma igualdade,
podemos então igualar os expoentes para encontrar o valor de x.
x = 2.
Substituindo x por 2 no log, temos:
log3 9 = x → log3 9 = 2
b) log5 125 = x
logb a = x → log5 125 = x
b = 5 = base
a = 125 = logaritmando
x = logaritmo
Como loga b = x ↔ bx = a, então:
log5 125 = x ↔ 5x = 125.
5x = 125 → Fatore o logaritmando.
5X = 53 → Como a base é o número 5 e temos uma igualdade,
podemos então igualar os expoentes para encontrar o valor de x.
x = 3.
Substituindo x por 3 no log, temos:
log5 125 = x → log5 125 = 3
c) log25 (0,2) = x
logb a = x → log25 0,2 = x
b = 25 = base
a = 0,2 = 1 = logaritmando
 5
x = logaritmo
Como logb a = x ↔ bx = a, então:
log25 0,2 = x ↔ 25 x = 0,2
log25 0,2 = x ↔ 25 x = 1
 5
25 x = 1 → fatore o 25 e revele o expoente de 1
 5 5
(52) x = 5-1 → Como a base é o número 5 e temos uma igualdade, podemos
igualar os expoentes para encontrar o valor de x.
2x = - 1
x = - 1
 2
Substituindo x por - 1 no log, temos:
 2
log25 0,2 = x ↔ log25 0,2 = - 1
 2
Definições
O logaritmo cujo o logaritmando é igual a 1 e a base é
qualquer, é igual a zero:
logb 1 = 0, pois b0 =1
O logaritmo cujo a base e o logaritmando são iguais é igual
a um:
logb b = 1, pois b1 =b
A potência de base “b" e expoente logb a é igual a “a”:
 logb a
b = a
Dois logaritmos são iguais, numa mesma base, se os
logaritmandos são iguais:
logb a= logb c ↔ a=c
Propriedade dos logaritmos
• 1. Logaritmo do produto : O logaritmo do produto de dois fatores 
"a" e "b", em qualquer base "c", é igual à soma dos logaritmos de 
cada um desses fatores.
Se c > 0 e c≠1, a > 0, b > 0, então:
logc (a.b)= logc a + logc b
Exemplo: log3 (9.27)= log3 9 + log3 27 = 2+3=5
• 2. Logaritmo do quociente: O logaritmo do quociente de dois 
fatores a e b, em qualquer base c, é igual à diferença dos 
logaritmos de cada um desses fatores.
Se c > 0 e c≠1, a > 0, b > 0, então:
logc (a/b )= logc a - logc b
Exemplo: log3 (27/9 )= log3 27- log3 9 = 3-2=1
• 3. Logaritmo da potência: O logaritmo de uma potência, em qualquer 
base c, é igual ao produto entre o expoente da potência e o logaritmo 
cujo logaritmando é a base da potência.
Se a > 0 e a≠1, b > 0, c R, então:∈
 c
loga b = c.loga b
 5
 Exemplo: log3 9 = 5.log3 9 =5.2= 10
• 4. Logaritmo de uma raiz: O logaritmo da raiz enésima de um número 
real positivo é o produto entre o inverso do índice da raiz pelo logaritmo 
cujo o logaritmando é o radicando:
Se a > 0 e a≠1, b > 0, n N , então:∈ ∗
 1/n
loga √b= loga b = 1/n. loga b
Exemplo: log5 √25 = 1/2. log5 √25 = ½.2= 1
Mudança de Base
• Algumas vezes, os logaritmos com bases diferentes precisam ser 
transformados para outra base, de forma que ela seja a mesma para ambos.
• Se a, b e c são números reais positivos, então:
loga b= logc b ,a≠1 e c≠1
 logc a
Exemplo: log3 5 transformado para a base 2 fica:
log3 5= log2 5 
 log2 3
• Se a e b são reais positivos e quisermos transformar loga b para a base
b, temos:
loga b= logb b ,a≠1 e b≠1
 logb a
Exemplo: log3 4= 1____ 
 log4 3
• Se a e b são reais positivos, temos que:
 log b = 1/ β. loga b , a≠1 e β≠0
 aβ 
Exemplo: log 10 = 1/ 5. log3 10
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Exercícios:
http://exercicios.mundoeducacao.bol.uol.com.br/exercicios-matematica/exercici
os-sobre-equacao-logaritmica.htm#
questao-1235
1)Descubra o valor de x para que a igualdade abaixo seja válida
log2 (3x + 10) – log2 x = log2 5
2)Resolva a equação logarítmica logx + 3 (5x – 1) = 1.
3)(Fuvest) O número real x que satisfaz a equação log2 (12 - 2x) = 2x é:
a) log2 5
b) log2 √3
c) 2
d) log2 √5
e) log2 3
Integral indefinida
Integral indefnida
• O teorema a seguir, que é uma consequência do TVM, conta – 
nos que se f tier deriiada zero em todos os pontos de um 
interialo, então f será constante nesse interialo.
Integral indefnida
• Como consequência desse teorema, o corolário a seguir diz 
que se duas funções tierem deriiadas iguais num interialo, 
então, neste interialo, elas diferirão por uma constante.
Exemplos
1)
2)
3)
4)
5) 
Integral definida
• Sejam f uma função defnida em [a,b] e L um número real. 
Dizemos que tende a L, quando máx , e 
escreiemos:
Integral definida
• se para todo ε > 0 dado, existr um δ > 0 que só dependa de ε 
mas não da partcular escolha dos ci, tal que:
para toda partção P de , com máx 
Propriedades da integral
• Teorema. Sejam f, g integráveis em [a, b] e k 
uma constante. Então:
a) f + g é integrável em [a,b] e 
b) kf é integrável em [a,b] e 
c) Se em [a,b], então 
d) Se f é integrável em [a,c] e em [c,b] então:
Teorema fundamental do cálculo
• Teorema fundamental do cálculo, parte 1: Se f for 
contínua em [a,b], então a função g é definida por: 
Teorema fundamental do cálculo
• Teorema fundamental do cálculo, parte 2: Se f for 
integrável em [a,b] e se F for uma primitiva de f em [a,b], 
então:
Exemplos
1)
2)
3)
4) 
Área entre curvas
Área ente curvas 
Exemplos
1) Calcule a área do conjuntodo plano limitado pelas 
retas x = 0, x = 1, y = 0 e pelo gráfico de f(x) = x².
2) A é conjunto do plano limitado pela reta y = 0 e pelo 
gráfico de y = 3 – 2x – x², com
3) Calcule a área entre os gráficos de y = x + 2 e y = x².
4) Determinar a área limitada pelo eixo y e pela curva x = 
4 – y². 
Aplicações na física
• Antes de resolver alguns exemplos, será enunciado a 
seguir o teorema da variação total no qual pode ser 
aplicado para todas as taxas de variação nas ciências 
naturais e sociais.
• Teorema da variação total: A integral de uma taxa de 
variação é a variação total. Ou seja: 
Aplicação em cinemátca
1) Uma partícula desloca - se sobre o eixo x com 
velocidade v(t) = 2t – 3, . Calcule o deslocamento 
entre os instantes t = 1 e t = 3.
2) Uma partícula desloca – se sobre o eixo x com 
velocidade v(t) = t + 3, . Sabe – se que no 
instante t = 0, a partícula encontra – se na posição x = 
2.
a) Qual a posição da partícula no instante t?
b) Determine a posição da partícula no instante t = 2.
Aplicação em dinâmica
1) Sobre uma partícula que se desloca sobre o eixo Ox atua uma 
força paralela ao deslocamento e de componente . Calcule 
o trabalho realizado pela força no deslocamento de x = 1 até x = 
2.
2) Sobre uma partícula que se desloca sobre o eixo Ox atua uma 
força de intensidade 3x e que forma com o eixo Ox um ângulo 
constante de 30°. Calcule o trabalho realizado por quando a 
partícula se desloca de x = 0 a x = 3.
 
Aplicação no cálculo de massa e volume
1) A densidade linear de uma barra de comprimento 4m é 
dada por medida em quilogramas por 
metro, onde x é medida em metros a partir de um 
extremo da barra. Ache a massa total da barra.
2) A água flui do fundo de um tanque de armazenamento 
a uma taxa de litros por minutos, onde 
 
 Encontre a quantidade de água que flui do tanque 
durante os primeiros dez minutos.
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