Funções Matemáticas

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LICENCIATURA EM MATEMÁTICA 2017.1 – NOTURNO 
INFORMÁTICA APLICADA AO ENSINO 
ENSINO DE FUNÇÕES – AUXÍLIO DIGITAL: GRAPHMATICA 
ALUNOS : CARLOS PINHEIRO 
DOUGLAS TIBÚRCIO 
GIOVANI BONIFÁCIO 
JULIANA SEVERINO 
PEDRO PINTO 
FUNÇÃO DE 1º GRAU 
 
Definição: São chamadas funções de 1º grau, funções de R em R tendo como lei de 
formação a expressão y= ax+b, onde “a“ e “b”, são números Reais com “a” diferente de 
0. 
Graficamente funções do 1º caracterizam-se como retas, retas essas que mudam de 
posição em função dos coeficientes “a” e “b”. 
O coeficiente “a” é chamado de coeficiente angular, à medida que ele cresce ou diminui, 
temos retas mais abertas ou fechadas em relação ao eixo X. 
Para a>0 temos retas crescentes, onde o angulo em relação ao eixo X está entre 0º e 90º 
Para a<0 temos retas decrescentes, onde o angulo em relação ao eixo X está entre 90º e 
180º 
 
O coeficiente “b” é chamado de termo independente, ele determina o ponto em que o 
gráfico corta o eixo Y. 
Raiz de uma função do 1º grau: para determinar a raiz dessa função basta fazer y=0, 
sendo assim, 0=ax+b  ax=-bx=-b/a. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FUNÇÃO DO 2º GRAU 
 
Definição: São funções do 2º grau, funções de R em R que estão sobre a lei de formação 
Y=ax²+bx+c, onde “a”,”b” e “c” são números reais com “a” diferente de 0 
O gráfico de uma função de 2º grau é uma curva chamada Parábola (que receberá mais 
definições em matérias futuras), que é moldada de acordo com os coeficientes “a”,”b” e 
“c”. 
“a” é o coeficiente que determina a concavidade da função, se a>0 a concavidade é para 
cima, e tem ponto de mínimo, se a<0 o gráfico tem concavidade para cima e tem um 
ponto de máximo. 
“b” é o coeficiente que determina se após cortar o eixo Y o gráfico estará crescendo ou 
decrescendo, se b>0 o gráfico passa pelo eixo Y crescendo, se b<0 o gráfico passa pelo 
eixo Y decrescendo. 
“c” é chamado de termo independente, assim como o “b” na função do 1º grau, c é o 
ponto em que a parábola corta o eixo Y. 
Raízes de uma função do 2º grau: Para determinar as raízes dessa função utilizamos a 
formula de Bháskara. 
𝑥 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
 
Onde b²-4ac é chamado de delta (Δ) 
Características do Δ. 
Se Δ>0, então a função tem 2 raízes distintas 
Se Δ<0, a função não tem raízes 
Se Δ=0 a função tem apenas uma única raiz 
 
Determinando ponto de máximo e mínimo 
Para isso utilizamos das seguintes expressões 
Xv= -b/2a , onde Xv é o ponto do eixo X em que o gráfico atinge seu maior valor ou 
seja f(Xv)=Y 
E Yv= - Δ/4ª, onde Yv é o ponto em que o gráfico tem seu maior valor ou seja 
f(Xv)=YV. 
 
 
 
 
 
FUNÇÃO INVERSA 
 
Definição 
 Dada a função f:A => B, bijetora, A função inversa de f é a função f –1 : B =>A, tal que 
se o par ordenado (a,b) ∈ f, então o par (b,a) ∈ f –1 
OBS: D(f)=Im (f –1 ) e D(f –1 )=Im( f) 
Exemplo utilizando a função f(x)=2x-4 e sua inversa f –1(x)= (x+4)/2 
Tabelas com as coordenadas dos pontos da função f(x)=2x-4 e sua inversa f –1(x)= 
(x+4)/2 
OBS: A função f e f –1 são simétricas em relação a bissetriz dos quadrantes impares 
Mostrando no graphmatica as funções acima e a bissetriz dos quadrantes ímpares 
 
 
Exercícios de fixação 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FUNÇÃO EXPONENCIAL 
 
Problema Motivador: As bactérias são seres vivos que possuem a capacidade de se 
duplicar. Nas colônias de bactérias, quando o número de componentes dobra , a nova 
colônia mantém as mesmas características da anterior, duplicando em número no 
mesmo período de tempo que o anterior. 
Sabendo que determinada colônia iniciada por uma única bactéria, dobra seu número a 
cada 10 minutos, quantas bactérias existirão após 1hora e 20 minutos? 
Resposta: Após o período de 10 minutos, teremos 2 (21) bactérias. Após dois períodos de 
10 minutos, ou seja, 20 minutos, teremos 4 (22) bactérias. Após 1 hora e 20 minutos, 
ou seja, 8 períodos de 10 minutos , teremos 256(28) bactérias. 
Da mesma forma, após x períodos de 10 minutos, o número n de bactérias será dado por 
n= 2x. Esse é um exemplo de função com variável no expoente. 
 
Definição: Chama-se função exponencial qualquer função f de R em R dada por uma lei 
de formação 
f(x) = ax , em que a é um número real dado, a > 0 e a diferente de 1. 
 
Neste tipo de função como podemos observar em f(x) = ax , a variável independente x 
está no expoente, daí a razão da sua denominação. É importante também observar que 
a base é um valor real constante, isto é, um número real. 
 
Representação da função exponencial no plano cartesiano 
Para representarmos graficamente uma função exponencial, arbitramos alguns valores 
para x , e montamos uma tabela com os respectivos valores de f(x). Localizamos os 
pontos no plano e traçamos a curva do gráfico. 
Para a representação gráfica de f(x)=3x , arbitraremos os seguintes valores para 
x: -3 ,-1, 0 ,1 ,2. 
 
Note que temos algumas restrições, visto que temos a > 0 e a diferente de 1: 
 
1. Se a= 1 teríamos uma função constante e não exponencial. 
2. Se a=0 teríamos f(x) =0x e quando x=0 , f(x) seria indeterminado. 
3. Se a<0 não devemos nos esquecer de que não existe raiz real de um radicando 
negativo e índice par portanto se tivermos por exemplo 
a= -3 e x = 1/4 o valor de f(x) não será um número real . 
 
Função Exponencial Crescente 
Se a > 1 temos uma função exponencial crescente seja qual for o valor real de x. 
Verifiquemos f(x) = 2x . 
 
No gráfico desta função podemos observar que à medida que x aumenta, f(x) também 
aumenta. Graficamente vem os que a curva da função é crescente. 
Portanto dados reais x1 e x2 temos: se x1 < x2, então a
x1< ax2 . 
 
 
 
 
 
 
 
Função Exponencial Decrescente 
Se 0 < a < 1 temos uma função exponencial decrescente em todo domínio da função. 
Verifiquemos f(x) = (1/2)x . 
No gráfico desta função podemos observar que quando x aumenta, f(x) diminui. 
Graficamente observamos que a curva é uma função decrescente. 
Portanto dados x1 e x2 reais, temos: se x1< x2 então a
x1> ax2. 
 
 
Note também que independente da função ser crescente ou decrescente, o gráfico da 
função sempre cruza o eixo das ordenadas no ponto (0,1). Além de nunca cruzar o eixo 
das abscissas. 
 
Na função exponencial y= ax, temos : 
x=0 -> y=a0 = 1, ou seja , o par ordenado (0,1) satisfaz a lei y= ax para todo a ( a>0 e a 
diferente de 0) . 
 
Exercícios Propostos: 
1. ( UF-PI) Utilizando um microscópio, um técnico constatou que cada célula de uma 
bactéria subdivide-se em duas ao final de 20 minutos. Ao final de dez horas, qual será 
o total de células produzidas a partir de uma célula ? 
 
2. A partir dos gráficos das funções f(x) = 2x, g(x)= 2x + 2 e h(x) = 2-x, descreva o que 
ocorre com g(x) e h(x) em relação a f(x). 
Tracemos os gráficos com o auxílio do Graphmatica. 
 
 
Análise dos gráficos do exercício proposto 2: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FUNÇÕES CONTÍNUAS 
Definição 
 Dizemos que uma função é contínua no ponto 
0x
 se : 
1) 
0x
 

 domínio dessa função 
2) 
0
lim ( )
x x
f x

 existir 
3) 
0
0lim ( ) ( )
x x
f x f x


 
 Então uma função é contínua quando ela é contínua em todos os pontos de seu 
domínio. 
 
Etapas de verificação 
 Para analisarmos se uma função é contínua ou não, temos que verificar o domíniodessa função. Assim poderemos achar alguma restrição ou concluir que o domínio é o 
conjunto dos números reais. Como por exemplo: 
a) 
2( ) 3 1f x x 
 , o domínio = 
b) 2 1
( )
1
x
f x
x



 , o domínio = - {1} , 1

 domínio de f 
c) 
2( ) 4f x x 
, o domínio pertence ao intervalo [-2,2] 
d) 
( )
( )
sen x
f x
x

, o domínio = - {0} , 0 

domínio de f 
 
 Após a verificação do domínio, saberemos dizer se um determinado ponto 
0x
 
pertence ou não ao mesmo. Em seguida iremos ver se o limite da 
( )f x
 existe quando 
x
 
tende a um determinado ponto 
0x
 e se existir o limite será 
0( )f x
 para 
( )f x
 ser 
contínua. 
 
Limites Laterais 
 Esse conceito será utilizado para a verificação da continuidade de uma função, pois 
garantiremos se o limite de 
( )f x
 quando 
x
 tende a um determinado ponto 
0x
 ,tanto 
pela esquerda quanto pela direita, existe ou não. 
 
lim ( )
x a
f x

existe e será igual a L se e somente se 
lim ( )
x a
f x

=
lim ( )
x a
f x

= L 
 
 
Como por exemplo: 
a) 
1 1
lim 1 2 lim 1
x x
x x
  
   
 
b) 
1 1
lim 3 2 1 lim 3 2
x x
x x
  
   
 
c) 
1 1
lim 2 1 3 lim 2 1
x x
x x
  
   
 
 
Descontinuidade removível e descontinuidade essencial 
 Suponha que 
f
 seja uma função descontínua em um número 
0x
, mas para a qual 
0
lim ( )
x x
f x

. Assim 
0
0( ) lim ( )
x x
f x f x


ou então 
0( )f x
não existe. 
 Tal descontinuidade é chamada removível, pois se 
f
 for redefinida em 
0x
 de tal 
forma que 
0( )f x
 seja igual ao 
0
lim ( )
x x
f x

, a nova função se tornará contínua em 
0x
. 
 Se a descontinuidade não for removível, ela será chamada de descontinuidade 
essencial. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Utilizando o Graphmatica 
 
a) 2 1
( )
1
x
f x
x



 
 
 
 
 Ao plotarmos o gráfico no Graphmatica, verificamos que 
existe uma descontinuidade apenas visualizando a “bola 
aberta” na reta que representa o gráfico da função. 
 Ao utilizarmos a ferramenta “point tables” verificamos 
que não existe valor de y quando x é igual a 1. Logo, o 1 não 
pertence ao domínio dessa função. 
 2
1 1 1
1 ( 1)( 1)
lim lim lim 1 2
1 1x x x
x x x
x
x x    
  
   
 
 
 2
11 1
1 ( 1)( 1)
lim lim lim 1 2
1 1 xx x
x x x
x
x x    
  
   
 
 
Mas como 1 não pertence ao domínio dessa função, o limite 
não existe. Logo, a função tem uma descontinuidade 
removível. 
 
b) 
3 2, 1
( )
2 1,1
x x
f x
x x
 

 
 
 
 
 
 
 Ao plotarmos o gráfico no Graphmatica, verificamos que 
existe uma descontinuidade apenas visualizando a “bola 
aberta” em uma das retas que representam o gráfico da função. 
 Ao utilizarmos a ferramenta “point tables” verificamos que 
o valor de y quando x é igual a 1. Ou seja, o ponto (1,1) 
pertence ao gráfico da função diferentemente do ponto (1,3). 
 Apesar do domínio da função não ter nenhuma restrição, 
como 
11
(lim 3 2 1) (lim 2 1 3)
xx
x x
  
    
, logo existe uma 
descontinuidade. E será chamada de descontinuidade 
essencial. 
 
 
 
 
 
 
FUNÇÕES MONÓTONAS 
 
 Uma função entre dois conjuntos ordenados é monótona quando ela preserva (ou 
inverte) a relação de ordem. Quando a função preserva a relação, ela é chamada 
de função crescente. Quando ela inverte a relação, ela é chamada de função decrescente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Referências bibliográficas: 
 
http://www.matematicadidatica.com.br/FuncaoExponencial.aspx 
 
http://www.ajudamatematica.com/viewtopic.php?f=107&t=8111 
 
Leithold,Louis - Cálculo com geometria analítica 
 
Iezzi,Gelson -Fundamentos de matemática elementar