Resolucao teste III Integral de linha

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CA´LCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III
Resoluc¸a˜o Teste 3
Questa˜o 1: Estamos interessados em saber a a´rea entre H(x, y) e o plano xy, pois essa sera´ a
a´rea de um dos lados da cerca, logo
Atot = 2Ac = 2
∫
C
H(x, y)dl
Podemos parametrizar C com x = 10 cos θ, y = 10senθ com 0 ≤ θ ≤ 2pi. Temos, enta˜o, que a
a´rea sera´
Atot = 2
∫ 2pi
0
(4 + 1)
√
(−10senθ)2 + (10 cos θ)2dθ = 200pim2
Uma regra de 3 simples mostra que precisamos de 2pil de tinta para pintar a cerca. Portanto,
6, 28l.
Questa˜o 2: Acharemos, primeiramente, a projec¸a˜o da intersec¸a˜o em xy, igualando as equac¸o˜es
e eliminando z:
2x2 + y2 = 2 + (x− 1)2 → (x+ 1)2 + y2 = 4
Podemos parametrizar esse elemento com x = 2 cos θ − 1 e y = 2senθ, lembrando que, por se
tratar do sentido anti-hora´rio, 0 ≤ θ ≤ 2pi. Acharemos a componente z da curva substituindo essa
parametrizac¸a˜o no plano. Portanto, z = 2 cos θ − 2.∫ 2pi
0
[(2 cos θ − 1)(2 cos θ) + 2(2 cos θ − 1)(2senθ)(−2senθ)]dθ = 12pi
Questa˜o 3: Utilizaremos o teorema de Pappus
A(S) = 2pi
∫
C
|raio|dS
1
Como a rotac¸a˜o se da´ em torno do eixo y, o raio sera´ fornecido pela coordenada x. Uma
parametrizac¸a˜o para C e´: x = a cos3 θ e y = asen3θ com 0 ≤ θ ≤ 2pi.
Observe que a curva C esta´ nos 4 quadrantes. Para utilizarmos o teorema de Pappus vamos
considerar apenas a parte superior, ou seja, 0 ≤ θ ≤ pi/2. Para retirarmos o mo´dulo vamos
considerar apenas a parte com x positivo e multiplicar o resultado por 2, logo 0 ≤ θ ≤ pi/2.
dS =
√(
dx
dθ
)2
+
(
dy
dθ
)2
dθ = 3a cos θsenθ
Temos, enta˜o, que a a´rea pedida sera´
A(S) = 12pia2
∫ pi/2
0
cos4 θsenθdθ =
12pia2
5
2