Aula070_PolosZeros

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Automação e Controle
Polos e Zeros
Daniel Guerra
daniel.guerra@escolar.ifrn.edu.br
Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Rio Grande do Norte
Professor do Ensino Básico, Técnico e Tecnológico
ENERG 6M – Automação e Controle
Daniel Guerra
2016.2
ENERG 6M – AUTOMAÇÃO E CONTROLE
‹nº›
2016.1
Introdução
Daniel Guerra
2016.2
ENERG 6M – AUTOMAÇÃO E CONTROLE
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2016.1
A questão mais importante no funcionamento de um sistema físico (ou planta) é predizer seu comportamento quanto à estabilidade. Em princípio, um sistema físico somente é construído quando irá comportar-se de maneira estável. Portanto, conhecer a priori o comportamento no que diz respeito à estabilidade é de suma importância para o projetista de sistemas de controle. 
Um dos critérios de estabilidade afirma que “um sistema é estável quando, para uma entrada limitada, a sua saída também é limitada (em inglês: “Bounded Input, Bounded Output”); este critério é aplicável a os modelos entrada/saída (ou modelo externo) e é conhecido como critério BIBO. 
Introdução
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A análise de estabilidade de um sistema é feita com base na Função de Transferência, G(s), do sistema. Suponha que G(s) possa ser colocada na forma:
em que z1, z2 , ... , zm são as raízes do polinômio do numerador, denominadas de ZEROS.
 e p1, p2 , ... , pn são as raízes do polinômio do denominador (ou polinômio característico), denominadas de PÓLOS. 
É fácil verificar que m é o grau do polinômio do numerador e n é o grau do polinômio do denominador, portanto, o sistema terá m zeros e n pólos. Constata-se também que o zero de um sistema é o valor de s no qual G(s) se anula e o pólo é o valor de s no qual G(s) torna-se infinito. 
Introdução
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Polos e Zeros
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Ex.: Calcular os zeros e os pólos do sistema abaixo:
Solução: Os zeros são 0 e 1; os pólos são -2, -3 e 5 
Ex.: Calcular os zeros e os pólos do sistema de malha fechada dado a seguir:
Polos e Zeros
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Solução: Cálculo da FT de malha fechada
Cálculo dos zeros: como o grau do numerador é nulo (m=0), o sistema não tem zeros.
Cálculo dos pólos: o pólos do sistema são as raízes do polinômio do denominador, que é chamado de polinômio característico. Vamos então calcular as raízes da equação s2 +2s+5 = 0.
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(2 raízes complexas conjugadas)
Aplicando a fórmula de Bhaskara para calcular as raízes de uma equação do 2o grau, virá:
Assim, os pólos do sistema de malha fechada valem -1+2j e -1-2j.
Nota: Em toda equação com coeficientes reais, as raízes complexas sempre ocorrem em pares conjugados, ou seja, o número de raízes complexas é par e, se A+Bj for uma raiz, então A-Bj também será uma raiz. 
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Diagrama de polos e zeros
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Considerando que os pólos e os zeros são as raízes de um polinômio em função de s, podemos representá-las por:
s = (parte real)  (parte imaginária)j
em que: 
( j é chamada de constante imaginária).
Ex.: s = -5+8j  parte real = -5 e parte imaginária = +8
Simbolicamente, a Teoria de Controle usa a seguinte notação para a variável s:
s =   j
em que  (lê-se sigma) é a parte real e  (lê-se ômega) é a parte imaginária. Para o exemplo acima tem-se: =-5 e =8.
Diagrama de polos e zeros
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O Diagrama de Pólos e Zeros (DPZ) é a representação gráfica dos pólos e zeros de um sistema no plano cartesiano, colocando a parte real no eixo horizontal e a parte imaginária no eixo vertical. Nesta representação, o pólo é representado por um X e o zero por um O.
Zeros: 0 e 1
Pólos: -2, -3 e 5
Diagrama de polos e zeros
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Polo vs Velocidade do sistema
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A posição dos pólos em relação ao eixo real () permite avaliar a velocidade da resposta do sistema a uma dada entrada. De um modo geral, quanto mais afastado estiver o pólo em relação ao eixo imaginário mais rápido é o sistema.
Podemos então concluir: o efeito do pólo rápido extingue-se logo, enquanto o efeito do pólo lento demora mais para extinguir-se;
em outras palavras: o pólo mais lento domina todo o funcionamento do sistema. Por este motivo, chama-se o pólo lento de pólo dominante.
Polo vs Velocidade do sistema	
Polo rápido, Polo lento e Polo dominante
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