prova p3 gab geom 2013 1 mat

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Universidade Federal do Rio de Janeiro
INSTITUTO DE MATEMA´TICA
Departamento de Me´todos Matema´ticos
Gabarito da 3a Prova de Geometria I - Matema´tica - Monica
08/07/2013
1a Questa˜o: (4 pontos)
Deˆ uma prova ou um contra-exemplo:
1. No espac¸o, se uma reta r e´ perpendicular a duas retas paralelas s1 e s2 distintas de
um plano α, enta˜o ela esta´ contida no plano α.
Soluc¸a˜o
Verdadeiro.
Como r e´ perpendicular a s1 e s2, r intersecta s1 e s2 em pontos distintos, A ∈ s1 e
B ∈ s2, respectivamente. Como A e B pertencem a α, enta˜o a reta determinada por
A e B, que coincide com r esta´ contida em α.
2. Cinco pontos na˜o coplanares no espac¸o determinam no ma´ximo quatro planos.
Soluc¸a˜o
Falso.
Com quatro pontos na˜o coplanares, A, B C e D, podemos compor quatro planos,
determinados por {A,B,C}, {A,C,D}, {B,C,D} e {A,B,D}. Como e´ poss´ıvel
escolher um ponto que na˜o pertence a nenhum dos planos anteriores, poder´ıamos
determinar pelo menos mais um plano, contrariando a afirmac¸a˜o.
3. Dadas duas retas reversas r e s no espac¸o, existe um plano paralelo a ambas.
Soluc¸a˜o
Verdadeiro.
Dadas duas retas reversas r e s no espac¸o, vimos que existem planos paralelos α e β,
tais que r ⊂ α e s ⊂ β. Dado um ponto P fora destes planos α e β, existe um u´nico
plano passando por P e paralelo a α e β, e portanto paralelo a r e s, como quer´ıamos
mostrar.
4. Sejam α um plano contendo os pontos A, B, C e D e um pontoM /∈ α. Se ABC e´ um
triaˆngulo equila´tero, D e´ um ponto equidistante de A, B e C e MA =MB =MC,
enta˜o o segmento MD e´ perpendicular ao plano α.
Soluc¸a˜o
Verdadeiro.
Trac¸amos pelo ponto M uma reta r perpendicular ao plano α, que o corta no ponto
E. Repare que nos triaˆngulos MEA, MEB e MEC, temos:
• MA =MB =MB;
• ME lado comum;
• MÊA =MÊB =MÊC sa˜o aˆngulos retos.
Logo, por congrueˆncia LLA para triaˆngulos retaˆngulos,MEA =MEB =MEC. Em
particular, EA = EB = EC, o que mostra que o ponto E e´ um ponto em α equidis-
tante ao ve´rtices de ABC. Portanto E = D e assim MD = ME e´ perpendicular ao
plano α.
2a Questa˜o: (2 pontos)
Seja ABCD um retaˆngulo com AB = a e BC = b. Trace a diagonal BD e sejam
M e N pontos entre B e D tais que DM = MN = NB. Calcule a a´rea do triaˆngulo
MNC.
Soluc¸a˜o
Como DM =MN = NB e a distaˆncia de C ao segmento DB e´ a altura dos 3 triaˆmgulos
DMC, MNC e NBC, os 3 triaˆngulos tem mesma a´rea. Logo, o retaˆngulo ABCD pode
ser dividido em 6 triaˆngulos de mesma a´rea e a a´rea de MNC e´
ab
6
.
3a Questa˜o: (2 pontos)
Calcule a a´rea da regia˜o entre os c´ırculo circunscrito e inscrito a um quadrado de lado
de comprimento a.
Soluc¸a˜o
Sejam R e r os raios do c´ırculo circunscrito e inscrito, respectivamente. Como o c´ırculo
inscrito tangencia o quadrado em quatro pontos, temos a situac¸a˜o da figura e:
• O raio r = a/2.
• Por Pita´goras: R2 = r2 + r2 = 2a
2
4
=
a2
2
.
Logo a a´rea da regia˜o entre os c´ırculo circunscrito e inscrito a um quadrado e´:
piR2 − pir2 = pia
2
4
.
4a Questa˜o: (2 pontos)
Considere um aˆngulo secante AP̂C, cujo ve´rtice P fica fora de um c´ırculo, intersectando-o
em quatro pontos, como na figura. Mostre que
AP · PB = CP · PD.
2
Soluc¸a˜o
Observe que:
• Os aˆngulos PÂD = BÂD = BĈD = BĈP , pois sa˜o aˆngulos inscritos que subtendem
o mesmo arco.
• Os aˆngulos DP̂A = BP̂C, pois sa˜o comuns.
Logo, os triaˆngulos APD e CPB sa˜o semelhantes e em particular
AP
CP
=
PD
PB
,
o que prova o desejado.
3