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NU´MEROS
Lista de Exerc´ıcios - 04
1. Prove que em R:
(a) a2 + b2 = 0 se, e so´ se, a = b = 0.
(b) |x− 1|+ |x− 2| ≥ 1.
(c) |a− b| < � =⇒ |b| − � < |a| < |b|+ �.
(d) |a− b| < � =⇒ |a| < |b|+ �.
2. Sejam A ⊂ B ⊂ R na˜o vazios e limitados. Mostre que
Inf B ≤ Inf A ≤ SupA ≤ SupB.
3. Sejam A e B subconjuntos de R na˜o vazios e limitados.
Mostre que A + B e´ limitado e que Sup (A + B) =
SupA + SupB.
4. Mostre que Q e´ denso em R.
5. Mostre que os seguintes nu´meros na˜o sa˜o racionais.
(a) 3
√
3.
(b) 3
√
4.
(c)
√
2 +
√
3.
6. Mostre a desigualdade de Bernoulli: Se h ∈ R e h >
−1, enta˜o (1 + h)n ≥ 1 + nh para todo n ∈ N.
7. Sejam B ⊂ A ⊂ R na˜o vazios. Suponha que para cada
x ∈ A, exista um y ∈ B tal que x ≤ y. Mostre que
sup(B) = sup(A).
8. Mostre que se q e´ um nu´mero racional e x na˜o e´ racional,
enta˜o r + x e rx na˜o sa˜o racionais.
9. Prove que todo subconjunto finito dos nu´meros reais
tem supremo e ı´nfimo. ( Use induc¸a˜o finita. )