Exercicios Semana 4

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cálculo I
exercícios das aulas 13 a 16
Samuel Rocha Oliveira e Adolfo Maia Jr.
exercícios da aula 13
1.  Numa cultura de células, a população é modelada pela função 
A população inicial (em t =0) é de 20 células e cresce (neste instante t 
=0) à razão de 12 células/hora. Calcule os parâmetros a e b do modelo. 
O que acontece à população, se esta é deixada indefinidamente 
na cultura? 
2.  Um reservatório cônico, de base circular, com raio 1m e altura 2m,é 
preenchido com água a uma taxa de 0, 1m3/seg. Calcule a velocidade com 
que a água sobe no cone, quando ele fica completamente cheio. 
3.  Seja a função f(x)= x3 − x. Encontre os intervalos de crescimento e 
decrescimento de f. Faça um esboço do gráfico de f. 
exercícios da aula 14
1.  Estude a técnica de Derivada Logarítmica e calcule a derivada da função: 
2.  Se a função y(x) é definida implicitamente pela equação xy= yx. 
 Cal cule 
Cálculo / Exercícios das aulas 13 a 16 2
3.  Calcule o limite das seguintes formas indeterminadas: 
a.  
b.  
exercícios da aula 15
1.  Use a Regra da Cadeia para calcular a derivada das seguintes funções:
 
a.  
b.  
2.  Em que ponto a reta normal à parábola y = x−x2, no ponto P = (1, 0), 
intersecta a parábola pela segunda vez? 
3.  Use derivação implícita para achar a equação da reta tangente à elipse 
x2 + xy + y2 =3, no ponto P = (1, 1). 
4.  Define-se y = arcsec x ⇔ sec y = x, para 0 ≤ y ≤ π, e y ≠ 0. Mostre que, 
com esta definição 
Sugestão: Use Derivação Implícita. 
exercícios da aula 16
1.  Seja f(x)=(x − 3)−2. Mostre que não há nenhum valor c no intervalo I = 
(1, 4) tal que f(4) −f(1) = f ′ (c)(4 −1). Por que isto não contradiz o Teorema 
do Valor Médio? 
2.  Use o Teorema do Valor Médio para provar que 
3.  Mostre que a equação 2x − 1 − sin x =0 tem exatamente uma raiz real.