01 - Zero de Funções

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 01
ZERO DE FUNÇÕES - 1
INTRODUÇÃO�
A resolução de problemas com métodos numéricos envolve as seguintes fases:
Os resultados obtidos dependem:
	( da precisão dos dados de entrada
	( da forma como estes dados são representados no computador
	( das operações numéricas efetuadas
ERRO ABSOLUTO:
Definimos erro absoluto a diferença entre o valor exato de um número x e de seu valor aproximado 
:
.
ERRO RELATIVO:
É definido como o erro absoluto dividido pelo valor aproximado:
ZEROS REAIS DE FUNÇÕES�
Nas mais diversas áreas das ciências exatas ocorrem, frequentemente, situações que envolvem a resolução de uma equação do tipo f(x) = 0.
As equações algébricas de 1º e 2º graus, algumas de 3º e 4º graus e algumas equações transcendentes podem ter suas raízes calculadas exatamente através de métodos analíticos, mas para polinômios de grau superior a quatro e para a maioria das equações transcedentes o problema só pode ser resolvido por métodos que aproximam as soluções.
Um número real ( é um zero da função f(x) ou uma raiz da equação f(x) = 0 se f(() = 0.
Graficamente, os zeros reaias são representados pelas abcissas dos pontos onde uma curva intercepta o eixo 
�� EMBED Equation.3 .
A idéia central dos métodos para se obter as raízes reais de uma equação qualquer é partir de uma aproximação inicial para a raiz e em seguida refinar essa aproximação através de um processo iterativo.
Por isso, os métodos constam de duas fases:
Fase I:	Localização ou isolamento das raízes, que consiste em obter um intervalo que contém a raiz.
Fase II: Refinamento, que consiste em, escolhidas aproximações iniciais no intervalo encontrado na Fase I, melhorá-las sucessivamente até se obter uma aproximação para a raiz dentro de uma precisão ( prefixada.
FASE I: ISOLAMENTO DAS RAÍZES 
Nesta fase é feita uma análise teórica e gráfica da função f(x).
Teorema:	Seja f(x) uma função contínua num intervalo [a, b]. Se f(a)f(b) < 0 então existe pelo menos um ponto x = ( entre a e b que é zero de f(x). Além disso, se f´(x) não muda de sinal em [a, b] então ( é a única raiz de f(x) nesse intervalo.
Observação:	Sob as hipóteses do teorema anterior, se f´(x) existir e preservar sinal em (a, b), então este intervalo contém um único zero de f(x).
Uma forma de se isolar as raízes de f(x) usando os resultados anteriores é tabelar f(x) para vários valores de x e analisar as mudanças de sinal de f(x) e o sinal da derivada nos intervalos em que f(x) mudou de sinal.
 EXEMPLO: 
a) 
	x
	–100
	–10
	–5
	–3
	–1
	0
	1
	2
	3
	4
	5
	f(x)
	–
	–
	–
	+
	+
	+
	–
	–
	+
	+
	+
I1 = [–5, –3]		I2 = [0, 1]		I3 = [2, 3]
b) 
 	Temos que D(f) = R+
	x
	0
	1
	2
	3
	f(x)
	–
	–
	+
	+
I = [1, 2]
Como 
 podemos concluir que f(x) tem um único zero em todo o seu domínio, e este zero está no intervalo [1, 2].
Observação:	Se f(a)f(b) > 0 então podemos ter várias situações no intervalo [a, b], conforme mostram os gráficos.
Outro método para se localizar os intervalos onde se encontram as raízes da função é o seguinte:
A partir da equação f(x) = 0, obter a equação equivalente g(x) = h(x), esboçar os gráficos das funções g(x) e h(x) no mesmo eixo cartesiano e localizar os pontos x ondes as duas curvas se interceptam, pois neste caso
f(() = 0 ( g(() = h(()
EXEMPLO:
a) 
	 	
	 	
		
		
b) 
		
		
c) 
			ou 	
				
(
	
					
							
							
					
FASE II: REFINAMENTO 
Os métodos numéricos de refinamento de raiz pertencem à classe dos métodos iterativos. Um método iterativo consiste em uma sequência de instruções que são executadas passo a passo, algumas das quais são repetidas em ciclos.
Critérios de Parada:
Todos os testes iterativos para obter zero de funções efetuam um teste para verificar se xk está suficientemente próximo da raiz exata.
Dizemos que 
 é a raiz aproximada com precisão ( se:
a) 
 ou
b) 
Como não conhecemos (, o objetivo é reduzir o intervalo que contém a raiz a cada iteração, de modo a se conseguir um intervalo [a, b] tal que:
 ( ( [a, b] e (b – a) < ( 
então 
.Portanto, qualquer x ( [a, b] pode ser tomado como 
.
Nem sempre é possível ter as duas exigências anteriores satisfeitas simultaneamente, como podemos ver nos gráficos a seguir:
 
MÉTODO DA BISSECÇÃO
Seja a função f(x) contínua no intervalo [a, b] e tal que f(a)f(b) < 0.
Vamos supor, para simplificar, que o intervalo (a, b) contenha uma única raiz da equação f(x) = 0.
O objetivo deste método é reduzir a amplitude do intervalo que contém a raiz até se atingir a precisão requerida: (b – a) < (, usando para isto a sucessiva divisão de [a, b] ao meio
Graficamente:
As iterações são realizadas da seguinte forma:
		
		(		
		
		(		
		
		(		
EXEMPLO: 		
		I = (2, 3):
	
	(	
	
	(	
ALGORITMO
Seja f(x) contínua em [a, b] e tal que f(a)f(b)<0.
1) Dados iniciais:
	a) intervalo inicial [a, b]
	b) precisão (
2) Se (b – a) < (, então escolha para 
 qualquer x ( [a, b]. FIM.
3) K = 1
4) M = f(a)
5) 
 
6) Se Mf(x) > 0, faça a = x. Vá para o passo 8.
7) b = x
8) Se (b – a) < (, então escolha para 
 qualquer x ( [a, b]. FIM.
9) K = K + 1. Volte para o passo 4.
Terminado o processo, teremos um intervalo [a, b] que contém a raiz (e tal que (b –a) < () e uma aproximação 
 para a raiz exata.
EXEMPLO: 
		 I = [0, 1]		( = 10-3 
	Iteração
	x
	a
	b
	f(a)
	f(x)
	f(b)
	b-a
	0
	0,5
	0
	1
	3
	-1,375
	-5
	1
	1
	0,25
	0
	0,5
	3
	0,765625
	-1,375
	0,5
	2
	0,375
	0,25
	0,5
	0,765625
	-0,322266
	-1,375
	0,25
	3
	0,3125
	0,25
	0,375
	0,765625
	0,2180176
	-0,322266
	0,125
	4
	0,34375
	0,3125
	0,375
	0,2180176
	-0,053131
	-0,322266
	0,0625
	5
	0,328125
	0,3125
	0,34375
	0,2180176
	0,0822029
	-0,053131
	0,03125
	6
	0,3359375
	0,328125
	0,34375
	0,0822029
	0,0144744
	-0,053131
	0,015625
	7
	0,3398438
	0,3359375
	0,34375
	0,0144744
	-0,019344
	-0,053131
	0,0078125
	8
	0,3378906
	0,3359375
	0,3398438
	0,0144744
	-0,002439
	-0,019344
	0,0039063
	9
	0,3369141
	0,3359375
	0,3378906
	0,0144744
	0,0060169
	-0,002439
	0,0019531
	10
	0,33740234
	0,3369141
	0,3378906
	0,0060169
	0,0017889
	-0,002439
	0,0009766
EXERCÍCIOS
Encontrar a raiz das funções a seguir:
a) 
		( ( (1, 2)	( = 10-4 
		Resposta:	
 = 1,44741821
				14 Iterações
b) 
		( ( (1, 2)	( = 10-6 
	Resposta: 	
 = 1,324718
				20 Iterações
c) 
		( ( (0, 1)	( = 10-5 
		Resposta:	
 = 0,370555878
				17 Iterações
d) 
		( ( (2, 3)	( = 10-7 
		Resposta:	
 = 2,506184413
				24 Iterações
MÉTODO DA POSIÇÃO FALSA
Seja f(x) contínua no intervalo [a, b] e tal que f(a)f(b)<0.
Supor que o intervalo (a, b) contenha uma única raiz da equação f(x) = 0.
Em vez de tomar a média aritmética entre a e b, o método da posição falsa toma a média aritmética ponderada entre a e b com pesos f(b) e f(a), respectivamente:
--------------------------------------------------------------------------------------------------------Demonstração:
Seja a reta r(x) = Ax + B que passa pelos pontos (a, f(a)) e (b, f(b)). Logo
	(		
		(	
em (i) ( 
 
quando r(x) intercepta 
, r(x) = 0
 
 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------
Graficamente, este ponto x é a intersecção entre o eixo OX e a reta r(x) que passa por (a, f(a)) e (b, f(b)):
E as iterações são feitas assim:
EXEMPLO: O Método da posição falsa aplicado a xlog(x) – 1 em 
[a0, b0] = [2, 3], fica:
 ( 
Como f(a0) e f(x0) tem o mesmo sinal,
a1 = x0 = 2,4798		f(a1) = –0,0219 < 0
b1 = b0 = 3			f(b1) = 0,4314 > 0
 ( 
Como f(a1) e f(x1) tem o mesmo sinal,
a2 = x1 = 2,5049
b2 = b1 = 3
ALGORITMO
Seja f(x) contínua em [a, b] e tal que f(a)f(b)<0.
1) Dados iniciais:
	a) intervalo inicial [a, b]
	b) precisôes (1 e (2 
2) Se (b – a) < (1, então escolha para 
 qualquer x ( [a, b]. FIM.
	
 escolha a ou b como 
. FIM.
3) K = 1
4) M = f(a)
5) 
 
6) Se	
 escolha 
 = x. FIM.
7) Se Mf(x) > 0, faça a = x. Vá para o passo 9.
8) b = x
9) Se (b – a) < (1, então escolha para 
 qualquer x ( [a, b]. FIM.
10) K = K + 1. Volte para o passo 4.
EXEMPLO: 
		 I = [0, 1]		(1 = (2 = 5x10-4 
	Iteração
	x
	a
	b
	f(a)
	f(x)
	f(b)
	b-a
	0
	0,375
	0
	1
	3
	-0,322266
	-5
	1
	1
	0,3386243
	0
	0,375
	3
	-0,00879
	-0,322266
	0,375
	2
	0,337635
	0
	0,3386243
	3
	0,000226
	-0,00879
	0,3386243
EXERCÍCIOS
Encontrar a raiz das funções a seguir:
a) 
		( ( (1, 2)	( = 10-4 
		Resposta:	
 = 1,44735707
				6 Iterações
b) 
		( ( (1, 2)	( = 10-6 
	Resposta: 	
 = 1,324718
				17 Iterações
c) 
		( ( (0, 1)	( = 10-5 
		Resposta:	
 = 0,370558828
				8 Iterações
d) 
		( ( (2, 3)	( = 10-7 
		Resposta:	
 = 2,50618403
				5 Iterações
Problema Real
Levantamento de Dados
Construção do
Modelo Matemático
Escolha do Método
Numérico Adequado
Implementação Computacional
Deste Método
Análise dos
Resultados Obtidos
Se Necessário: Reformular o Modelo Matemático
e / ou Escolher Novo Método Numérico
f(x)
x
(1
(2
(3
(1
(2
f(x)
x
(1
(3
(2
f(x)
x
a
b
(
f(x)
x
a
b
b
(1
a
(2
f(x)
x
a
(
f(x)
x
b
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
a
a
(
f(x)
x
b
(1
f(x)
x
b
(2
(1
(
a
f(x)
x
b
a
f(x)
x
b
a
(
f(x)
x
b
(
x
(
f(x)
x
f(x)
� EMBED Equation.3 ���(
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���(
� EMBED Equation.3 ���
(
f(x)
x
� EMBED Equation.3 ���(
� EMBED Equation.3 ���
f(x)
x
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
x1
x2
x0
a2
a3
(
(
f(x)
x
(
y
x
f(x)
a
r(x)
x
b
a0
f(x)
a2
a1
x0
x1
b2
x1
b2
b0
b1
x2
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