P3 CalculoI

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FCA - Unicamp - LE101 - Ca´lculo I - 2012
Prova 3: 01/06/2012
Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 Total
40 50 40 30 40 200
Nome: RA:
Questa˜o 1 [40 pts] - Calcule as seguintes integrais:
a)
∫
x
(1− x2)2dx; b)
∫
x2ln(x)dx;
c)
∫
cos(x)2dx d)
∫
1√
2− 5x2dx;
.
Questa˜o 2 [50 pts] - Considere a regia˜o A definida por
A = {(x, y) ∈ R2;x2 + 1 ≤ y ≤ −x2 + 3.
a=20) Esboce a regia˜o A e calcule sua a´rea;
b=20) Calcule o volume do so´lido de revoluc¸a˜o formado pela rotac¸a˜o da regia˜o A em
torno da reta y = −2.
c=10) Escreva, mas na˜o resolva, uma integral que expresse a a´rea de superf´ıcie externa
do so´lido definido no item b).
.
Questa˜o 3 [40 pts] - Considere a func¸a˜o f(x) =
4
x
+ x + 1.
a=20) Esboce o gra´fico de f(x) destacando pontos cr´ıticos e assintotas;
b=10) Encontre o maior e o menor valor que f(x) assume no intervalo [1,3]. Justifique
sua resposta.
c=10) Encontre a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de f(x) no ponto (4, 6).
.
Questa˜o 4 [30 pts] - Um fabricante afirma que a frac¸a˜o de suas lampadas que duram
mais do que t meses e´ dada pela integral∫ ∞
t
0.008e−0.008xdx.
Com base nesta informac¸a˜o:
a=15) Calcule o valor de
∫ ∞
0
0.008e−0.008xdx. Porque este valor era esperado e qual o
significado deste nu´mero para o problema pra´tico?
b=15) Usando integrais, calcule a probabilidade de uma lampada, escolhida ao acaso,
durar mais do que 5 anos (60 meses).
Dados: e−60 ≈ 0, e−0.96 ≈ 0.38, e−0.48 ≈ 0.62.
Questa˜o 5 [40 pts] Encontre o volume comum a duas esferas, cada qual com raio r,
se o centro de cada esfera esta´ na superf´ıcie da outra esfera.
FCA - Unicamp - LE101 - Ca´lculo I - 2012
Prova 3: 01/06/2012
Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 Total
40 50 40 30 40 200
Nome: RA:
Questa˜o 1 [40 pts] - Calcule as seguintes integrais:
a)
∫ −2x
(1− x2)2dx; b)
∫
x2ln(x)dx;
c)
∫
sin(x)2dx d)
∫
1√
3− 2x2dx;
.
Questa˜o 2 [50 pts] - Considere a regia˜o A definida por
A = {(x, y) ∈ R2;x2 ≤ y ≤ −x2 + 2.
a=20) Esboce a regia˜o A e calcule sua a´rea;
b=20) Calcule o volume do so´lido de revoluc¸a˜o formado pela rotac¸a˜o da regia˜o A em
torno da reta y = 5.
c=10) Escreva, mas na˜o resolva, uma integral que expresse a a´rea de superf´ıcie externa
do so´lido definido no item b).
.
Questa˜o 3 [40 pts] - Considere a func¸a˜o f(x) =
9
x
+ x + 1.
a=20) Esboce o gra´fico de f(x) destacando pontos cr´ıticos e assintotas;
b=10) Encontre o maior e o menor valor que f(x) assume no intervalo [-5,-1]. Justifique
sua resposta.
c=10) Encontre a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de f(x) no ponto (1, 11).
.
Questa˜o 4 [30 pts] - Um fabricante afirma que a frac¸a˜o de suas lampadas que duram
mais do que t meses e´ dada pela integral∫ ∞
t
0.008e−0.008xdx.
Com base nesta informac¸a˜o:
a=15) Calcule o valor de
∫ ∞
0
0.008e−0.008xdx. Porque este valor era esperado e qual o
significado deste nu´mero para o problema pra´tico?
b=15) Usando integrais, calcule a probabilidade de uma lampada, escolhida ao acaso,
durar mais do que 5 anos (60 meses).
Dados: e−60 ≈ 0, e−0.96 ≈ 0.38, e−0.48 ≈ 0.62.
Questa˜o 5 [40 pts] Encontre o volume comum a duas esferas, cada qual com raio r,
se o centro de cada esfera esta´ na superf´ıcie da outra esfera.