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UERJ - Universidade do Estado do Rio de Janeiro 
Instituto de Matemática e Estatística 
Departamento de Matemática Aplicada 
Disciplina: Matemática Discreta 
Professor: Augusto César de Castro Barbosa 
2a lista de exercícios 
__________________________________________________________________ 
 
Somatório – Produtório 
 
1 – Expandir as seguintes somas: 
 
(a) ∑
=
6
1i
2i 
(b) ∑
=
6
0i
ix 
(c) ∑
=
7
3i
5 
(d) ∑
=
−−
6
2j 6
2)1)(jj(j
 
(e) ∑
=
+
10
5i
2)(3i 
(f) ∑
=
+
3
3i
2
1i
3i
 
 
 
 
2 – Escreva as expressões que seguem, usando a notação somatório. 
 
(a) 97531 ++++ 
(b) 362516941 +−+−+− 
(c) 42352821147 +++++ 
(d) 
75
1
64
1
53
1
42
1
31
1
⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
 
 
 
3 – Avalie )a(a 1-i
n
1i
i −∑
=
, considerando 0a0 = . 
 
4 – Use o resultado do exercício 3 para provar que 
 
(a) ∑
=
+
=
n
1i 2
1)n(ni 
(b) ∑
=
++
=+
n
1i 3
2)1)(nn(n1)i(i 
 
 
5 – Determine o valor de ∑
=
n
1i
2i , usando os resultados obtidos no exercício 4. 
 
 
6 – Calcule a soma dos quadrados dos n primeiros números ímpares positivos. 
 
Dica: Note que ∑∑
==
+−=−=−++++
n
1i
2
n
1i
22222 )1i4(4i)1(2i)1n2(...531 
 
 
7 – Calcule ∑
=
++
n
1i
2)1)(ii(i . 
 
Dica: ∑∑∑
===
+++=++
n
1i
n
1i
2
n
1i
1)i(i21)(ii2)1)(ii(i e use o resultado do exemplo 
1.3 do caderno. 
 
 
8 – Expandir os seguintes produtos: 
 
(a) ∏
=
+
n
2j
7)(3j 
(b) ∏
=
+−
4
1i
3 3)7i(i 
(c) ∏
=






+
n
1j
2j
11 
(d) ∏
=
3
1j
26j 
9 – Expandir e simplificar: 
 
(a) 
∑
∏
=
=
+
n
1i
n
0j
i
1)(j
 
(b) 
∏∏
∏
=+=
=
⋅
p
1k
1-n
1pi
n
1j
ki
j
 
 
 
10 – Escreva as expressões que seguem usando a notação produtório. 
 
(a) 97531 ⋅⋅⋅⋅ 
(b) n)(p...2)(p1)(pp +⋅⋅+⋅+⋅ 
(c) 
7
6
6
5
5
4
4
3
3
2
2
1
⋅⋅⋅⋅⋅ 
(d) 108642 xxxxx ⋅⋅⋅⋅ 
 
 
11 – Verifique se as afirmações são verdadeiras: 
 
(a) 3
5
1j
3 )!5(j =∏
=
 
(b) ∏
∏
∏
−
=
=
= +=
pn
1i
p
1k
n
1j i)(p
k
j
, pn > 
(c) !733j 6
7
2j
⋅=∏
=
 
(d) 180k
4
1n
n
1k
=




∏ ∑
= =
 
 
 
12 – Determine o valor de: 
 
(a) ∏
=
n
1i
ix 
(b) ∏
=
+
n
1i
1)i(ix 
(c) ∏
=






+
−
n
1i
21)(i
11 
(d) ∏
=
+
n
1i 1i
i
 
(e) ∏
=
n
1i 1-i
i
x
x
 
(f) ∏
=
n
1i
i3x Dica: Utilize o exemplo 1.3 do caderno 
 
 
13 – Dê a forma simplificada e calcule o valor de : 
 
(a) ∏ ∑
= =








+
3
1i
3
1j
1)j(j 
(b) ∑
∏∏
∏
=
−
==
=












−⋅
j
1-jm
1n
m
m
1k
n
1i
)(nk
i
l
l
 
(c) 
∏∏
∏
−
−==
+
=
−⋅
1n
1ji
j
1m
1n
1k
i)(nm
k
 
 
14 – Determine o valor de ∏ ∑
= =





5
1n
n
1k
k . 
 
 
 
 
Respostas 
 
1 – (a) 625242322212 ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅ 
(b) 65432 xxxxxx1 ++++++ 
(c) 55 ⋅ 
(d) 
6
456
6
345
6
234
6
123
6
012 ⋅⋅
+
⋅⋅
+
⋅⋅
+
⋅⋅
+
⋅⋅
 
(e) 322926232017 +++++ 
(f) 
4
27
 
 
2 – (a) ∑
=
−
5
1k
1)(2k (c) ∑
=
6
1n
7n 
 (b) ∑
=
−
6
1i
2i i)1( (d) ∑
=
+
5
1n 2)n(n
1
 
 
3 – ∑
=
−
=−
n
1i
n1ii a)a(a 
 
4 – (a) Sugestão: faça 
2
1)i(i
a i
+
= e mostre que iaa 1ii =− − . 
(b) Sugestão: faça 
3
2)1)(ii(i
a i
++
= e mostre que 1)i(iaa 1ii +=− − . 
 
5 – Sugestão: use o fato que i1)i(ii2 −+= e mostre que 1)i(iaa 1ii +=− − e, 
portanto, 
6
1)1)(2nn(ni1)i(ii
n
1i
n
1i
n
1i
2 ++
=−+= ∑∑∑
===
. 
 
6 – 
3
1)n(4n2 −
 
 
7 – 
4
6)n51)(nn(n 2 +++
 
 
8 – (a) )7n3(...22191613 +⋅⋅⋅⋅⋅ 
(b) )39()9()3()3( ⋅⋅−⋅− 
 
(c) 





+⋅⋅





+⋅





+⋅+ 2n
11...
8
11
4
11)11( 
(d) 9463 ⋅⋅ 
 
9 – (a) 1)!(n2 −⋅ (b) n 
 
10 – (a) ∏
=
−
5
1j
1)(2j (c) ∏
=
+
6
1j 1j
j
 
 (b) ∏
=
+
n
0j
j)(p (d) ∏
=
5
1j
2jx 
 
11 – (a) verdadeira (b) verdadeira (c) verdadeira (d) verdadeira 
 
12 – (a) 2
1)n(n
x
+
 (b) 3
2)1)(nn(n
x
++
 (c) 
1)2(n
)2n(
+
+
 
 (d) 
1n
1
+
 (e) 
0
n
x
x
 (f) 4
1)(nn 22
x
+
 
 
13 – (a) 3)54( ⋅ (b) j)!(nj!
n!
1)!j(n1)!(j
n!
−
+
+−−
 (c) 
1)!j(nj!
1)!(n
+−
+
 
 
14 - 2700
2
!5!6
5 =