md_aula8_2014_1

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3.1 – Combinações com repetição 
 
 
Exemplo 3.8 
 
 Suponha que em um parque de diversões existam 4 tipos de brinquedos – 
d, c, b, a, e que uma pessoa queira comprar 2 bilhetes. Temos 10 possibilidades: 
 
 
 
aa bb cc dd 
 ab bc cd 
 ac bd 
 ad 
 
 
 Suponha agora que, em vez de 2, a pessoa queira comprar 5 bilhetes. 
Algumas possibilidades seriam: 
 
 
aaaaa abbbc aacbb bbccd . 
 
 
Estamos interessados em contar o número de maneiras que podemos 
comprar os 5 bilhetes. Se chamarmos de 1x o número de bilhetes para o 
brinquedo a , de 2x o número para b , de 3x o número para c e de 4x o número 
para d , estaremos procurando o número de soluções inteiras não negativas para 
a equação 
 
5xxxx 4321 =+++ , 
 
que é 56C38 = . Denotamos isto por 54CR - combinação com repetição de 4 
elementos, 5 a 5. 
 
 
Observação 
 
 Se o número de brinquedos fosse 3 e decidíssemos comprar 6 bilhetes, 
teríamos que contar o número de soluções inteiras não negativas de 
 
6xxx 321 =++ , 
 
ou seja, 28CCR 2863 == . 
 
p
nCR (ou pn,CR ) é o número total de maneiras de selecionarmos p objetos 
dentre n objetos distintos, onde cada objeto pode ser tomado até p vezes. Este 
número é igual ao número de soluções inteiras não-negativas da equação 
 
 
px...xx n21 =+++ , 
 
ou seja, 
 
)!1n(!p
)!1pn(CCCR p 1pn1n 1pnpn
−
−+
===
−+
−
−+ . 
 
 
 
 
Exemplo 3.9 
 
 De quantas formas podemos comprar 4 refrigerantes em um bar que vende 
2 tipos de refrigerantes? 
 
Solução 
 
5CCCR 454 14242 === −+ , 
 
 
 
Observação 
 
 Estamos interessados no número de soluções inteiras não negativas de 
 
4xx 21 =+ . 
 
Denotando por a e b os refrigerantes, as possibilidades seriam: 
 
aaaa aaab aabb abbb bbbb . 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.2 – Permutações com repetição 
 
 
Exemplo 3.10 
 
 De quantas maneiras podemos colocar em fila 7 letras, sendo 3 letras a , 2 
letras b e 2 letras c ? 
 
Solução 
 
 Temos 7 lugares e devemos escolher três para neles colocarmos as três 
letras a , dois lugares para as duas letras b e dois lugares para os dois c . 
 Podemos escolher os três lugares para a letra a de 37C maneiras 
diferentes. Com isso, temos quatro lugares vagos. A escolha de dois lugares para 
as duas letras b pode ser feita de 24C maneiras diferentes. Resta, assim, apenas 
uma maneira para se colocar as duas letras c . O número total de possibilidades 
de colocarmos as sete letras em fila é então 
 
210
!2!2!3
!7
!2!2
!4
!4!3
!71CCn 24
3
7 ===⋅⋅= . 
 
 
 
Exemplo 3.11 
 
 De quantas maneiras podemos distribuir 7 pessoas em dois quartos a e b , 
sendo 4 colocadas no quarto a ? 
 
Solução 
 
 Da mesma forma que o exemplo anterior, 
 
70
!3!4
!7CCn 33
4
7 ==⋅= . 
 
 
 
Exemplo 3.12 
 
 Determinar o número de números de 6 dígitos formados com três 
algarismos 1, dois 3 e um 8. 
 
 
 
Solução 
 
 Nesse caso, temos que 
 
60
!1!2!3
!6
!1!2
!3
!3!3
!6CCCn 112336 ===⋅⋅= . 
 
 
 
Queremos determinar o número de permutações que podemos realizar com 
n elementos, sendo 1n iguais a 1a , 2n iguais a 2a , ..., rn iguais a ra . 
Precisamos escolher 1n lugares para a colocação dos 1a . Dos 1nn − lugares 
restantes, escolhemos 2n lugares para a colocação dos 2a e assim por diante. 
Obtemos assim, 
 
r
1r21
3
21
2
1
1 n
n...nnn
n
nnn
n
nn
n
nr21 C...CCC)n,...,n,nPR(n;
−
−−−−−−−
⋅⋅⋅⋅= 
 ...)!nnn(n!n
)!nn(n
)!nn(n!n
)!n(n
)!n(n!n
n!
3213
21
212
1
11
⋅
−−−
−−
⋅
−−
−
⋅
−
= 
 )!n...nn(n!n
)!n...nn(n
r21r
1r21
−−−−
−−−−
⋅
−
 
 
!!...nn!n!n
n!
r321
= . 
 
 
 
Exemplo 3.13 
 
 Se um time de futebol jogou 13 partidas, tendo perdido 5, empatado 2 e 
vencido 6, de quantos modos isto pode ter ocorrido? 
 
Solução 
 
36036
5!2!6!
13!)n,...,n,nPR(n; r21 == .