Lista TFTD

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Universidade Federal do Rio Grande do Norte
Departamento de Engenharia de Computação e Automação
Lista de Exercícios
Transformada de Fourier de Tempo Discreto
1. Seja h[n] a resposta à amostra unitária de um sistema LSI. Encontre a resposta em
freqüência quando:
(a) h[n] = δ[n] + 6δ[n− 1] + 3δ[n− 2]
(b) h[n] =
(
1
3
)n+2
u[n− 2]
Resposta: (a) H(ejω) = 1 + 6e−jω + 3e−2jω. (b) H(ejω) =
(
1
3
)4 e−2jω
1− 1
3
e−jω
2. Um sistema linear invariante no tempo é descrito pela Equação de Diferenças:
y[n] = 0, 5y[n− 1] + bx[n].
Encontre o valor de b de tal forma que |H(ejω)| seja igual a 1 em ω = 0, e encontre o
ponto de meia pontência (isto é, a frequência na qual |H(ejω)|2 é igual à metade de seu
valor de pico, o que ocorre em ω = 0).
Respostas: b = ±0, 5 e ω = 0, 23pi.
3. Verifique se o sistema que produz a saída y[n] = sin(npi/2)
npi
quando recebe a entrada
x[n] = sin(npi/4)
npi
é linear e invariante no tempo.
Resposta: O sistema não é LIT já que existem frequências no sinal de saída que não
estão presentes no sinal de entrada.
4. Encontre a TFTD da sequência x[n] =
(
1
4
)|n|.
Resposta: X(ejω) = 1
1− 1
4
e−jω +
1
1− 1
4
ejω
− 1.
5. Encontre a TFTD inversa de X(ejω) = cos2 ω.
Resposta: x[n] = 1
4
δ[n+ 2] + 1
4
δ[n− 2] + 1
2
δ[n].
6. Mostre que, se X(ejω) for real e par, então x[n] é real e par.
Sugestão: Na equação da transformada inversa considere X(ejω) = |X(ejω)| e ejωn =
cos(ωn) + j sin(ωn). Ao final, verifique que x[n] = x[−n].
7. Um sistema linear invariante no tempo tem a resposta em freqüência
H(ejω) = ejω
1
1, 1 + cosω
.
Encontre uma Equação de Diferenças que relacione a entrada com a saída desse sistema.
Resposta: y[n] + 2, 2y[n− 1] + y[n− 2] = 2x[n].
1
8. Encontre uma equação de diferenças para implementar um sistema linear invariante no
tempo cuja resposta em freqüência é H(ejω) = tanω.
Resposta: y[n] + y[n− 2] = 1
j
(x[n]− x[n− 2]).
9. Um sistema linear invariante no tempo tem entrada x[n] e saída v[n] descrito pela
Equação de Diferenças v[n] = x[n] + αx[n − 1]. Esse sistema é colocado em cascata
com um outro sistema de entrada v[n] e saída y[n] descrito pela Equação de Diferenças
y[n] = 1
7
y[n− 1] + v[n]. Que valor de α garante que y[n] = x[n]?
Resposta: α = −1
7
.
10. Encontre a entrada x[n] que irá produzir a resposta y[n] = δ[n], em um sistema descrito
pela equação de diferenças y[n]− 1
4
y[n− 1] = x[n]− 1
8
x[n− 2].
Resposta: x[n] =
{(
1
8
)n
2 , n = 0, 2, 4, . . .
−1
4
(
1
8
)n−1
2 , n = 1, 3, 5, . . .
2