MECÂNICA_DOS_FLUIDOS_-_Capitulo_03-_2a_Parte I

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28/01/2013
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CAPÍTULO 3 – DINÂMICA DOS 
FLUIDOS ELEMENTAR – EQUAÇÃO 
DE BERNOULLI – 2ª PARTE
UNIVERSIDADE FEDERAL DE GOIÁS
ENGENHARIA CIVIL E DE MINAS
Prof. Eliane Justino
3.6 – EXEMPLOS DA APLICAÇÃO DA EQUAÇÃO 
DE BERNOULLI
� Se o escoamento puder ser modelado como invíscido, incompressível e
se o regime for permanente, tem-se para a Equação de Bernoulli entre
dois pontos que pertencem a mesma linha de corrente, (1) e (2):
� 3.6.1 – JATO LIVRE
� Descreve a descarga de líquidos para a atmosfera de um grande
reservatório.
� Como mostrado na Figura a seguir.
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3.6.1– JATO LIVRE
� Escoamento Vertical no Bocal de um Tanque
3.6.1– JATO LIVRE
� Aplicando a Equação de Bernoulli entre (1) e (2):
� Considerando que a referência está na saída do jato
� O reservatório é de grande porte – V1 ≈ 0 – Conservação da Massa.
� p1 = p2 = 0 – estão expostos à pressão atmosférica e consideraremos a
pressão relativa, sendo assim os valores de p1 e p2 são nulos.
� Portanto:
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3.6.1– JATO LIVRE
� Para se provar que p2 = 0, ou seja esta submetido a pressão atmosférica,
pode-se aplicar F = m.a na direção normal a linha de corrente entre os
pontos (2) e (4).
� Se as linhas de correntes na seção de descarga do bocal são retilíneas (R
= ∞) segue que p2 = p4, analise a Equação abaixo.
� Como (2) é um ponto arbitrário no plano de descarga do bocal, segue que a
pressão neste plano é igual a atmosférica.
3.6.1 – JATO LIVRE
� Note que a pressão precisa ser constante na direção normal às linha de
corrente porque não existe componente da força peso ou uma
aceleração na direção horizontal.
� O escoamento se comporta como um jato livre, com a pressão uniforme
e igual a atmosférica (p5 =0 ), a jusante do plano de descarga do bocal.
� Aplicando a Equação de Bernoulli entre os pontos (1) e (5),
considerando a referência no ponto (5), tem-se:
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3.6.1 – JATO LIVRE
� H é a distância entre a seção de
descarga do bocal e ponto (5)
3.6.1 – JATO LIVRE
� Considerando agora um jato horizontal
EscoamentoEscoamentoEscoamentoEscoamento HorizontalHorizontalHorizontalHorizontal nononono
BocalBocalBocalBocal dededede umumumum TanqueTanqueTanqueTanque
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3.6.1 – JATO LIVRE
� A velocidade na linha de centro do escoamento V2, será um pouco
maior que V1, e um pouco menor do que a do fundo, V3, devido a
diferença de elevação.
� V1 < V2 < V3
� A velocidade na linha de centro do escoamento representa bem a
velocidade média do escoamento se d << h.
� Se o contorno do bocal não é suave, veja figura a seguir, o diâmetro do
jato, dj, será menor que o diâmetro do orifício, dh.
� Este efeito, conhecido como vena contracta, é o resultado da
inabilidade do fluido de fazer uma curva de 90º.
3.6.1 – JATO LIVRE
� Como as linhas de corrente no plano de saída são curvas ( R < ∞), a
pressão não é constante entre as linhas de corrente. Note que é
necessário um gradiente infinito de pressão para que seja possível fazer
uma curva com raio nulo (R = 0).
EfeitoEfeitoEfeitoEfeito dadadada VenaVenaVenaVena ContractaContractaContractaContracta numnumnumnum
OrifícioOrifícioOrifícioOrifício comcomcomcom BordaBordaBordaBorda pontudapontudapontudapontuda
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3.6.1 – JATO LIVRE
� A pressão mais alta ocorre ao longo da linha de centro em (2) e a mais
baixa, p1 = p3 = 0, ocorre na periferia do jato.
� Assim, as hipóteses de que a velocidade é uniforme, que as linhas de
correntes são retilíneas e que a pressão é constante na seção de descarga
não são válidas.
� Entretanto, elas são no plano da vena contracta (seção a – a).
� A hipótese de velocidade uniforme é válida nesta seção desde que dj << h.
� O formato da vena contracta é função do tipo de geometria da seção de
descarga.
3.6.1 – JATO LIVRE
� Algumas configurações
típicas estão
mostradas na Figura
ao lado juntamente
com os valores típicos
experimentais do
coeficiente de
contração, Cc.
� Este coeficiente é
definido pela relação
Aj/Ah onde Aj é a área
da seção transversal
do jato na vena
contracta e Ah é a área
da seção de descarga
do tanque.
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3.6.1 – ESCOAMENTOS CONFINADOS
� São caso de escoamentos em que a pressão não pode ser determinada
a priori, como acontece no caso de jato livre, visto que, a pressão em
que estes escoamentos estão submetidas é diferente da pressão
atmosférica.
� EXEMPLO: Escoamento em bocais e nas tubulações que apresentam
diâmetro variáveis.
� Onde a velocidade média do escoamento varia, porque a área de
escoamento não é constante.
� Para solucionar este tipo de problema é utilizado o conceito de
Conservação da Massa (ou Equação da Continuidade) juntamente
com a equação de Bernoulli.
3.6.1 – ESCOAMENTOS CONFINADOS
� Será utilizado uma Derivação a partir de argumento intuitivos para
obtenção da Equação da Conservação da Massa Simplificada:
� Considere um escoamento de um fluido num volume fixo, tal como um
tanque, que apresenta apenas uma seção de alimentação e uma seção
de descarga, como mostrado na Figura abaixo:
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3.6.1 – ESCOAMENTOS CONFINADOS
� Se o escoamento ocorre em regime permanente, de modo que não
existe acumulo de fluido no volume, a taxa com que o fluido escoa para
o volume precisa ser igual a taxa com que o fluido escoa do volume (de
outro modo a massa não seria conservada).
� A vazão em massa na seção de descarga:
� Onde Q é a vazão em volume (m3/s).
� Se a área da seção de descarga é A e o fluido escoar na direção
normal ao plano da seção com velocidade média V, a quantidade de
fluido em volume que passa pela seção no intervalo de tempo δt é
expressa por:
3.6.1 – ESCOAMENTOS CONFINADOS
� Ou seja, igual a área da seção de descarga multiplicada pela distância
percorrida pelo escoamento (Vδt).
� Assim, sendo a vazão em volume dada por Q = A.V, tem se para vazão
em massa:
� Para que a massa no volume considerado permaneça constante, a
vazão em massa na seção de alimentação deve ser igual àquela na
seção de descarga.
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3.6.1 – ESCOAMENTOS CONFINADOS
� Se a seção de Alimentação for (1) e a de descarga (20, tem-se:
� Assim, a conservação da massa exige que:
� Se a massa específica do fluido permanecer constante, ρ1 = ρ2, a
Equação se torna;
3.6.1 – ESCOAMENTOS CONFINADOS
� Por exemplo, se a área da seção de descarga é igual a metade da área
da seção de alimentação, segue que a velocidade media na seção de
descarga é igual ao dobro daquela na seção de alimentação.
� EXEMPLO 3.7 – pág. 109
� A Figura a seguir mostra um tanque (diâmetro D = 1,0 m) que é
alimentado com um escoamento de água proveniente de um tubo que
apresenta d, igual a 0,1m. Determine a vazão em volume Q, necessário
para que o nível da água (h) permaneça constante e igual a 2 m.
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EXEMPLO 3.7 – pág. 109
EXEMPLO 3.7 – pág. 109
� SOLUÇÃO
� Se modelarmos o escoamento como invíscido, incompressível e em
regime permanente, a aplicação da Equação de Bernoulli entre os
pontos (1) e (2) resulta em:
(1)
� Admitindo que p1 = p2 = 0, z1 = h e z2 = 0, tem-se
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EXEMPLO 3.7 – pág. 109
� Note que o nível d’água pode permanecer constante (h = constante)
porque existe uma alimentação de água no tanque. Da Equação da
Conservação da massa, que é adequada para escoamento
incompressível, requer que Q1 = Q2, onde Q = A.V. Assim, A1.V1 = A2.V2,
ou:
(2)
� Assim:
(3)
EXEMPLO 3.7 – pág. 109
� Combinando as Equações (1) e (3), obtém-se
� e:
� Neste exemplo nós não desprezamos a energia cinética da água no
tanque (V1 ≠ 0). Se o diâmetro do tanque é grande em relação ao
diâmetro do jato (D >> d), A Eq. (3) indica que V1 << V2 e a hipótese de
V1 = 0 será adequado
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EXEMPLO 3.7 – pág. 109� O erro associado com esta hipótese pode ser visto a partir da relação
entre a vazão calculada admitindo que V1 ≠ 0, indicada por Q, e aquela
obtida admitindo que V1 = 0, denotada por Q0. Essa relação é dada por:
� A Figura a seguir mostra o gráfico dessa relação funcional. Note que 1 <
Q / Q0 ≤ 1,01 se 0 < d / D < 0,4.
EXEMPLO 3.7 – pág. 109
� Assim, o erro provocado pela hipótese de V1 = 0 é menor do que 1%
nesta faixa de relação de diâmetros.
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EXEMPLO 3.8 – pág. 110
� A Figura abaixo mostra o esquema de uma mangueira de diâmetro D = 0,03 m
que é alimentada, em regime permanente, com ar proveniente de um tanque. O
fluido é descarregado no ambiente através de um bocal que apresenta seção de
descarga, d, igual a 0,01 m. Sabendo que a pressão no tanque é constante e
igual a 3,0 kPa (relativa) e que a atmosfera apresenta pressão e temperatura,
padrões, determine a vazão em massa e a pressão na mangueira.
EXEMPLO 3.8 – pág. 110
� SOLUÇÃO:
� Se nós admitirmos que o escoamento ocorre em regime permanente é
invíscido e incompressível, nós podemos aplicar a equação de Bernoulli
ao Longo da Linha de Corrente que passa por (1), (2) e (3). Assim:
� Se nós admitirmos que z1 = z2 = z3 (a mangueira está na horizontal),
que V1 = 0 (o tanque é grande) e que p3 = 0 (jato livre), tem-se que:
� e
(1)
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EXEMPLO 3.8 – pág. 110
� A massa específica do ar no tanque pode ser obtida com a Lei do
Gases Perfeito (utilizando temperatura e pressão absolutas). Assim:
� Assim, nós encontramos que:
e
EXEMPLO 3.8 – pág. 110
� Note que o valor de V3 independe do formato do bocal e foi
determinado utilizando apenas o valor de p1 e as hipóteses envolvidas
na Equação de Bernoulli. A carga de pressão no tanque, p1/γ = (3000
Pa)/(9,8 m/s2) (1,26 kg/m3) = 243 m, é convertida em carga de
velocidade V32/2g = (69,0 m/s2)/ (2 x 9,8 m/s2) = 243 m.
� Observe que, apesar de termos utilizado pressões relativas na
Equação de Bernoulli (p3 = 0), nós utilizamos a pressão absoluta
para calcular a massa específica do ar com a Lei dos Gases
Perfeitos.
� A pressão na mangueira pode ser calculada utilizando a Eq. (1) e a
Equação da conservação de massa.
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EXEMPLO 3.8 – pág. 110
� Assim:
� E da Eq. (1):
� A pressão na mangueira é constante e igual a p2 se os efeitos viscosos
não forem significativos. O decréscimo na pressão de p1 a p2 acelera o
ar e aumenta sua energia cinética de zero no tanque até um valor
intermediário na mangueira e finalmente até um valor máximo na seção
de descarga.
EXEMPLO 3.8 – pág. 110
� Como a velocidade do ar na seção de descarga do bocal é nove vezes
maior que na mangueira, a maior queda de pressão ocorre do bocal (p1
= 3 kPa, p2 = 2,96 kPa e p3 = 0).
� Como a variação de pressão de (1) para (3) não é muito grande em
termos absoluto, (p1 – p3)/ p1 = 3,0/101 = 0,03, temos que a variação na
massa específica do ar não é significativa. (veja equação dos gases
perfeito).
� Assim, a hipótese de escoamento incompressível é razoável para este
problema.
� Se a pressão no tanque fosse consideravelmente maior ou se os efeitos
viscosos forem importantes, os resultados obtidos neste exercícios não
são adequados.
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EXEMPLO 3.9 – pág. 112
� Em muitos casos a combinação dos efeitos de energia cinética, pressão
e gravidade são importantes no escoamento. O Exemplo 3.9 ilustra uma
destas situações.
� A Figura a seguir mostra o escoamento de água numa redução. A
pressão estática em (1) em (2) são medidas com um manômetro em U
invertido que utiliza óleo, densidade igual a SG, como fluido
manométrico. Nestas condições, determine a leitura no manômetro (h).
EXEMPLO 3.9 – pág. 112
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EXEMPLO 3.9 – pág. 112
� SOLUÇÃO:
� Se admitirmos que o regime de operação é o permanente e que o
escoamento é incompressível e invíscido, nós podemos escrever a
Equação de Bernoulli do seguinte modo:
� A Equação da conservação da massa pode fornecer uma segunda
relação entre V1 e V2 se admitirmos que os perfis de velocidade são
uniformes nestas duas seções. Deste modo:
EXEMPLO 3.9 – pág. 112
� Combinando as duas últimas Equações:
(1)
� Esta diferença de pressão é medida pelo manômetro e pode ser
determinada com os conceitos desenvolvidos no Cap. 2. Assim:
� Ou
(2)
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EXEMPLO 3.9 – pág. 112
� As Equações (1) e (2) podem ser combinadas para fornecer:
� Mas como V2 = Q/A2.
� A diferença de elevação z1 – z2 não aparece na equação porque o
termo de variação de elevação na Equação de Bernoulli é cancelado
pelo termo referente a variação de elevação na equação de manômetro.
EXEMPLO 3.9 – pág. 112
� Entretanto, a diferença de pressão p1 – p2 é função do ângulo θ por
causa do termo z1 – z2 da Eq. (1).
� Assim, para uma dada vazão em volume, a diferença de pressão p1 – p2
medida no manômetro variará com o θ mas a leitura do manômetro, h, é
independente deste ângulo.
� Geralmente, um aumento de velocidade é acompanhado por uma
diminuição na pressão.
� Por exemplo, a velocidade média do escoamento de ar na região
superior de uma asa de avião é maior do que a velocidade média do
escoamento na região inferior da asa. Assim, a força liquida a pressão
na região inferior da asa é maior do que aquela na região superior da
asa e isto gera a força de sustentação na asa.
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CAVITAÇÃO
� Se a diferença entre estas velocidades é alta, a diferença entre as
pressões também pode ser considerável, isto pode introduzir efeitos
compressíveis nos escoamentos de gases, e a cavitação nos
escoamento de líquidos.
� A Cavitação ocorre quando a pressão no fluido é reduzida a pressão de
vapor e o líquido evapora.
� Pressão de Vapor, pv, é a pressão em que as bolhas de vapor se
formam num líquido, ou seja, é a pressão em que o líquido muda de
fase.
� Esta pressão depende do tipo de líquido e da temperatura.
CAVITAÇÃO
� EXEMPLO: A água evapora a 100º C na atmosfera padrão, 1,013 bar, e
a 30º C quando a pressão no líquido é igual a 4,24 kPa (abs), ou seja:
� pv = 4,24 kPa (abs) - a 30º C
� pv = 101,3 kPa (abs) - a 100º C
� É possível identificar a produção de Cavitação num escoamento de
líquido utilizando a Equação de Bernoulli.
� EXEMPLO: Se a velocidade do fluido aumenta, por uma redução da
área disponível para o escoamento, a pressão diminuirá.
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CAVITAÇÃO
� Distribuição de Pressão e Cavitação Numa Tubulação com Diâmetro
Variável;
CAVITAÇÃO
� Esta diminuição de pressão, necessária para acelerar o fluido na
restrição, pode ser grande o suficiente para que a pressão no líquido
atinja o valor da sua pressão de vapor.
� EXEMPLO: Cavitação pode ser demonstrada numa mangueira de
jardim.
� Se o bocal de borrifamento for estrangulado obtém-se uma restrição da
área de escoamento, de modo que a velocidade da água nesta restrição
poderá ser relativamente grande, se formos diminuindo a área de
escoamento, o som produzido pelo escoamento de água mudará, um
ruído bem definido é produzido a partir de um certo estrangulamento,
este som é provocado pela Cavitação.
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CAVITAÇÃO
� A Ebulição ocorre na Cavitação (apesar da temperatura ser baixa) e,
assim, temos a formação de bolhas de vapor nas zonas de baixa
pressão.
� Quando o fluido escoa para uma região que apresenta pressão mais
alta (baixa velocidade), as bolhas colapsam.
� Este processo pode produzir efeitos dinâmicos (implosões) que causam
transientes de pressão na vizinhança das bolhas. Acredita-se que
pressões tão altas quanto 690 MPa ocorrem neste processo.
� Se as bolhas colapsam próximas de uma fronteira física elas podem,
depois de um certo tempo, danificar a superfície na área de cavitação.
CAVITAÇÃO
� A Figura abaixo mostra a cavitação nas pontas de uma hélice. Neste
caso,a alta rotação da hélice produz uma zona de baixa pressão na
periferia da hélice. Obviamente, é necessário projetar e utilizar
adequadamente os equipamentos para eliminar os danos que podem
ser produzidos pela cavitação.
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EXEMPLO 3.10 – pag. 114
� A Figura a seguir mostra um modo de retirar água a 20º C de um grande
tanque. Sabendo que o diâmetro da mangueira é constante, determine
a máxima elevação da mangueira, H, para que não ocorra Cavitação
no escoamento de água na mangueira. Admita que a seção de
descarga da mangueira está localizada a 1,5 m abaixo da superfície
inferior do tanque e que a pressão atmosférica é igual a 1,13 bar.
EXEMPLO 3.10 – pag. 114
� SOLUÇÃO:
� Nós podemos aplicar a Equação de Bernoulli ao longo da linha de
Corrente que passa por (1), (2) e (3) se o escoamento ocorre em regime
permanente, é incompressível e invíscido. Nestas condições:
(1)
� Nós vamos utilizar o fundo do tanque como referência. Assim, z1 = 4,5
m, z2 = H e z3 = -1,5 m. Nós também vamos admitir que V1 = 0 (tanque
grande), p1 = 0 (tanque aberto), p3 = 0 (jato livre).
� A Equação da continuidade estabelece que A2V2 = A3V3. Como o
diâmetro da mangueira é constante, temos que V2 = V3. Assim a
velocidade do fluido na mangueira pode ser determinada com a Eq. (1),
ou seja;
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EXEMPLO 3.10 – pag. 114
� A utilização da Eq (1) entre os pontos (1) e (2) fornece a pressão na
elevação máxima da mangueira, p2.
� A Tab. B.1 do Apêndice mostra que a pressão de vapor da água a 20º C
é igual a 2,338 kPa (abs). Assim, a pressão mínima na deve ser igual a
2,338 kPa (abs) para que ocorra cavitação incipiente no escoamento.
� A análise da Figura deste Exercício e da Eq. (2) mostra que a pressão
mínima do escoamento na mangueira ocorre no ponto de elevação
máxima.
(2)(2)(2)(2)
EXEMPLO 3.10 – pag. 114
� Como nós utilizamos pressões relativas na Eq. 1 nós precisamos
converter a pressão no ponto (2) em pressão relativa, ou seja, p2 =
2,338 – 101,3 = - 99 kPa. Aplicando este valor na Eq. (2), temos:
� Note que ocorrerá a formação de bolhas em (2) se o valor de H for
maior do que o calculado e, nesta condição, o escoamento no sifão
cessará.
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EXEMPLO 3.10 – pag. 114
� Poderíamos ter trabalhado com pressões absolutas (p2 = 2,338 kPa e p1
= 101,3 kPa) em todo o problema e é claro que obteríamos o mesmo
resultado. Quando mais baixa a seção de descarga da mangueira maior
a vazão e menor o valor permissível de H.
� Nós também poderíamos ter utilizado a Equação de Bernoulli entre os
pontos (2) e (3) com V2 = V3 e obteríamos o mesmo valor de H. Neste
caso não seria necessário determinar V2 como a aplicação da equação
de Bernoulli entre os pontos (1) e (3)..
� Os resultados obtidos neste Exemplo são independentes do diâmetro e
do comprimento da mangueira (desde que os efeitos viscosos não
sejam importantes). Observe que ainda é necessário realizar um projeto
mecânico da mangueira (ou tubulação) para assegurar que ela não
colapse devido a diferença entre pressão atmosférica e a pressão no
escoamento.
3.6.3 – MEDIÇÃO DE VAZÃO
� Muitos dispositivos foram desenvolvidos a partir da Equação de
Bernoulli, para medir velocidade de escoamento e vazões em massa,
um exemplo disto é o Tubo de Pitot.
� Há também os dispositivos utilizados, na medição de vazões em
volume em tubos, condutos e canais abertos.
� Considerando medidores de vazão “ideais”, ou seja, aqueles onde os
efeitos viscosos e de compressibilidade não são levados em
consideração. O objetivo disto é entender o princípio básico de
operação destes medidores de vazão.
� Um modo eficiente de medir a vazão em volume em tubos é instalar
algum tipo de restrição no tubo e medir a diferença entre as pressões
na região de baixa velocidade e alta pressão (1) e a de alta velocidade
e baixa pressão (2).
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3.6.3 – MEDIÇÃO DE VAZÃO
� A Figura abaixo mostra três tipos de comuns de medidores de vazão:
3.6.3 – MEDIÇÃO DE VAZÃO
� A operação de cada um é baseada no mesmo princípio – um aumento
de velocidade provoca uma diminuição na pressão.
� A diferença entre eles é uma questão de custo, precisão e como sua
condição ideal de funcionamento se aproxima da operação ideal.
� Admitindo que o escoamento entre os pontos (1) e (2) é incompressível,
invíscido e horizontal (z1 = z2). Se o regime de escoamento é
permanente, a Equação de Bernoulli fica restrita a:
(1)
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3.6.3 – MEDIÇÃO DE VAZÃO
� Note que o efeito da inclinação do escoamento pode ser
incorporado na Equação incluindo a mudança de elevação z1 – z2
na Equação de Bernoulli.
� Admitindo que os perfis de velocidade são uniforme em (1) e (2), a
Equação de Conservação da massa, pode ser rescrita como:
(2)
� Combinando as Equações (1) e (2), tem-se a seguinte expressão para a
vazão em volume teórica:
3.6.3 – MEDIÇÃO DE VAZÃO
� Assim para uma dada geometria do escoamento (A1 e A2) a vazão em
volume pode ser determinada se a diferença de pressão p1 – p2 for
medida.
� A vazão real, Qreal, será menor que o resultado teórico porque
existe várias diferenças entre o mundo real e aquele modificado
pelas hipóteses utilizadas na obtenção da Equação para a vazão
em volume real, estas diferenças dependem da geometria dos
medidores e podem ser menor do que 1% ou tão grande quanto
40%.
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EXEMPLO 3.11 – pág. 116
� Querosene (densidade = SG = 0,85) escoa no medidor Venturi
mostrado na Figura abaixo e a vazão em volume varia de 0,005 a 0,050
m3/s. Determine a faixa de variação da diferença de pressão medida
nestes escoamento (p1 – p2).
EXEMPLO 3.11 – pág. 116
� SOLUÇÃO:
� Admitindo que o escoamento é invíscido, incompressível e que o regime
é permanente, a relação entre a variação de pressão e a vazão pode
ser calculada com a Equação:
� Tem-se:
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EXEMPLO 3.11 – pág. 116
� A massa específica do querosene é igual a:
� A diferença de pressão correspondente a vazão mínima é:
� Já a diferença de pressão correspondente a vazão máxima é:
EXEMPLO 3.11 – pág. 116
� Assim:
� Estes valores representam as diferenças de pressão que seriam
encontradas em escoamentos incompressíveis, invíscidos e em regime
permanente.
� Os resultados ideais apresentados são independentes da geometria do
medidor de vazão – um orifício, bocal ou medidor Venturi.
� A Equação:
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EXEMPLO 3.11 – pág. 116
� Mostra que a vazão em volume varia com a raiz quadrada da diferença
de pressão.
� Assim, como indicam os resultados do Exemplo 3.11, um aumento de
10 vezes na vazão em volume provoca um aumento de 100 vezes na
diferença de pressão
� Esta relação não linear pode causar dificuldade nas medição de vazão
se a faixa de variação for muito larga.
� Tais medições podem requere transdutores de pressão com uma faixa
muito ampla de operação.
� Um modo alternativo para escapar deste problema é a utilização de dois
manômetros em paralelo – um dedicado a medir as baixas vazões e
outro dedicado a faixa com vazões mais altas.
MEDIDORES DE VAZÕES EM VOLUME EM CANAIS 
ABERTOS
� Outros medidores de vazão, baseados na Equação de Bernoulli, são
utilizados para medir vazão em canais abertos tais como as calhas e
canais de irrigação.
� Dois destes dispositivos de medida, a comporta deslizantes e o
vertedouro de soleira delgada, serão analisados sob a hipótese de que
o escoamento é invíscido, incompressível e que o regime é o
permanente.
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MEDIDORES DE VAZÕES EM VOLUME EM CANAIS 
ABERTOS - COMPORTAS
� A comporta mostrada na Figura abaixo é muito utilizada para controlar
e medir vazão em canais abertos.
Comporta Comporta Comporta Comporta 
Deslizante Deslizante Deslizante Deslizante 
MEDIDORES DE VAZÕES EM VOLUME EM CANAIS 
ABERTOS - COMPORTAS
� A vazão em volume,Q, é função da profundidade de escoamento de
água a montante da comporta, z1, da largura da comporta, b e da sua
abertura, a.
� Aplicando a Equação de Bernoulli e a Equação da Conservação de
Massa (Continuidade) entre os pontos (1) e (2) pode oferecer uma boa
aproximação da vazão real neste dispositivo,
� Admitindo que os perfis de velocidade são suficientemente uniformes a
montante e a jusante da comporta.
� Aplicando a Equações de Bernoulli e da Continuidade entre (1) e (2)
que estão localizados na superfície livre do escoamento tem-se
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MEDIDORES DE VAZÕES EM VOLUME EM CANAIS 
ABERTOS - COMPORTAS
e
� Como os dois pontos são superficiais, tem-se que p1 = p2 = 0.
Combinando as Equações, resulta:
MEDIDORES DE VAZÕES EM VOLUME EM CANAIS 
ABERTOS - COMPORTAS
� No caso limite onde z1 >> z2, esta Equação fica reduzida a:
� Neste caso limite a energia cinética do fluido a montante da
comporta é desprezível e a velocidade do fluido a jusante da
comporta é igual a de uma queda livre com uma altura igual (z1 –
z2) ≈≈≈≈ z1.
� O mesmo resultado pode ser obtido a partir da Equação de Bernoulli
entre os pontos (3) e (4) e utilizando p3 = γZ1 e p4 = γz2 porque as linhas
de correntes nestas sessões são retas.
� Nesta formulação, em vez de temos as contribuições da energia
potencial em (1) e (2) encontra-se as contribuições da pressão em (3) e
(4).
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MEDIDORES DE VAZÕES EM VOLUME EM CANAIS 
ABERTOS - COMPORTAS
� Como o fluido não pode fazer uma curva de 90º e, também encontra-se
uma vena contracta que induz um coeficiente de contração, Cc = Z2/a
menor que 1.
� O valor típico de Cc é aproximadamente igual a 0,61 para 0 < a/z1 <
0,20.
� Mas o valor do coeficiente de contração cresce rapidamente quando a
relação a/z1 aumenta.
EXEMPLO 3.12 – pág. 118
� A água escoa sob a comporta deslizante mostrada na Figura abaixo.
Estime o valor da vazão em volume de água na comporta por unidade
de comprimento de canal.
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EXEMPLO 3.12 – pág. 118
� SOLUÇÃO:
� Nós vamos admitir que o escoamento é incompressível, invíscido e que
o regime de escoamento é o permanente. Assim, nós podemos aplicar a
Equação:
� Obtém-se, Q/b, ou seja vazão em volume por unidade de comprimento
do canal, dada por:
EXEMPLO 3.12 – pág. 118
� Neste caso nós temos que z1 = 5,0 m e a = 0,8 m. Como a/z1 = 0,16 <
0,20, vamos admitir que Cc o coeficiente de contração, é igual a 0,61.
Assim, z2 = Cc .a = 0,61 x 0,8 = 0,488 m e a vazão por unidade de
comprimento do canal é:
� Se nós considerarmos que z1 >> z2 e desprezarmos a energia cinética
do fluido a montante da comporta, encontramos:
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EXEMPLO 3.12 – pág. 118
� Neste caso, a diferença entre as vazões calculadas dos dois modos não
é muito significativa porque a relação entre as profundidades é
razoavelmente grande (z1/z2= 5,0/0,488 = 10,2).
� Este resultado mostra que muitas vezes é razoável desprezar a
energia cinética do escoamento a montante da comporta em
relação àquela a jusante da comporta.
MEDIDORES DE VAZÕES EM VOLUME EM CANAIS 
ABERTOS – VERTEDOR0
� Um outro dispositivo utilizado para medir a vazão em canais abertos é o
vertedoro.
� A Figura abaixo mostra um vertedoro retangular de soleira delgada
típico.
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MEDIDORES DE VAZÕES EM VOLUME EM CANAIS 
ABERTOS – VERTEDOR0
� Neste tipo de dispositivo a vazão de líquido sobre o vertedoro é função
da altura do vertedoro, Pw, da largura do canal, b e da carga d’água
acima do topo do vertedoro, H.
� A aplicação da Equação de Bernoulli pode fornecer um resultado
aproximado para a vazão nestas situações, mesmo sabendo que o
escoamento real no vertedoro é muito complexo.
� Os campos de pressão e gravitacional provocam a aceleração do fluido
entre os pontos (1) e (2) do escoamento, ou seja, a velocidade varia de
V1 para V2.
� No ponto (1) a pressão é p1 = γ h, enquanto que no ponto (2) a pressão
é praticamente igual a atmosférica p2 = 0.
MEDIDORES DE VAZÕES EM VOLUME EM CANAIS 
ABERTOS – VERTEDOR0
� Na região localizada acima do topo do vertedoro (seção a – a) a
pressão varia do valor atmosférico na superfície superior até o valor
máximo na seção e de novo para o valor atmosférico na superfície
inferior.
� Tal distribuição de pressão combinada com as linhas de corrente curvas
produz um perfil de velocidade não uniforme na seção a – a.
� A distribuição de velocidade nesta seção só pode ser determinada
experimentalmente ou utilizando recursos teóricos avançados..
� Analisando o problema de um modo mais simples, admitindo que o
escoamento no vertedoro é similar ao escoamento num orifício com
linhas de correntes livres.
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MEDIDORES DE VAZÕES EM VOLUME EM CANAIS 
ABERTOS – VERTEDOR0
� Se a hipótese for válida, pode-se esperar que a velocidade média sobre
o vertedoro é proporcional a (2.g.H)1/2 e que a área de escoamento para
o vertedoro é proporcional a H. b. Assim:
� Onde C1 é uma constante que precisa ser determinada.
� C1 – geralmente é determinada por via experimental.
EXEMPLO 3.13 – pag. 120
� Água escoa sobre um vertedor triangular como mostrado na Figura
abaixo. Determine a dependência funcional entre a vazão em volume,
Q, e a profundidade H utilizando um procedimento baseado na Equação
de Bernoulli. Se a vazão em volume é Q0, quando H = H0, estime qual é
a vazão quando a profundidade aumenta para H = 3 H0.
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EXEMPLO 3.13 – pag. 120
SOLUÇÃO:
� Se admitirmos que o escoamento é invíscido, incompressível e que
ocorre em regime permanente nós podemos utilizar a equação:
� Com esta, estima-se a velocidade média do escoamento sobre a
comporta triangular.
� Deste modo nós obtemos que a velocidade média é proporcional a
(2gH)1/2.
� Também vamos admitir que a área de escoamento, para uma
profundidade H, é H(H.tan(θ/2).
EXEMPLO 3.13 – pag. 120
� A combinação destas hipótese resulta em:
� Onde C2 é uma constante que precisa ser determinada
experimentalmente.
� Se triplicarmos a profundidade (de H0 para 3H0), a relação entre as
vazões é dada por:
� Note que a vazão em volume é proporcional a H5/2 no vertedoro
triangular enquanto que no retangular é proporcional a H3/2.
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EXERCÍCIOS PROPOSTOS
� Exercício 3.2 – pág 130 – Modificado.
� A água escoa em regime permanente no
bocal mostrado na Figura abaixo. O eixo de
simetria do bocal está na vertical e a
distribuição de velocidade neste eixo é
dada por V = 10 (1+ z) k m/s. Admitindo que
os efeitos viscosos são desprezíveis.
Determine (a) o gradiente de pressão
necessário para produzir este escoamento
(em função de z). (b) se a pressão na seção
(1) é de 340 kPa, determine a pressão na
seção (2) (I) integrando o gradiente de
pressão obtido na parte (a) e (II) aplicando
a Equação de Bernoulli, ρH20 = 998 kg/m3.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
� EXERCÍCIOEXERCÍCIOEXERCÍCIOEXERCÍCIO 02020202 - A água escoa sobre um vertedoro triangular como mostrado
na figura abaixo. Determine qual é a vazão que passa neste vertedoro,
sabendo que a altura de lâmina d’água acima deste é de 2,0 m e que o
ângulo de abertura, θ = 30º. Considere o coeficiente de contração do
vertedoro igual a 0,50.
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EXERCÍCIOS PROPOSTOS
� EXERCÍCIOEXERCÍCIOEXERCÍCIOEXERCÍCIO 03030303 - E se o vertedoro fosse trapezoidal, como mostrado na
Figura abaixo, com l = 1,5 m e fosse mantido mesmo valor de lâmina
d’água do exercício anterior, H = 2,0 m. Considere o coeficiente de
contração do vertedoro igual a 0,72.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
� EXERCÍCIOEXERCÍCIOEXERCÍCIOEXERCÍCIO 04040404 - A água escoa sobre uma comporta deslizante como
mostrada na Figura abaixo. Estime o valor de vazão em volume de água na
comporta.