ED.II.2018.1.Prof.Magno.Lista.1.de.16.03

Prévia do material em texto

MAT 030 - 2018.1 - Prof. Magno
Lista 1 de Exerc´ıcios
16/03/2018
Exerc´ıcio 1. Para cada uma das EDP’s abaixo, verificar se a busca de soluc¸o˜es
u(x, t) = X(x)T (t),
no padra˜o varia´veis separadas, pode ser levada a termo atrave´s do desacoplamento da EDP em duas EDO’s:
a. xuxx + ut = 0.
b. xuxx + uxt + ut = 0.
c. uxx + (x+ y)uyy = 0.
d. uxx + uyy + xu = 0.
Exerc´ıcio 2. Ache a soluc¸a˜o do seguinte problema de Dirichlet
∂tu = 4∂
2
xu, 0 < x < 2, t > 0;
u(0, t) = 0 = u(2, t), t ≥ 0;
u(x, 0) = 2 sin
(pix
2
)
− sin (pix) + 4 sin (2pix), 0 ≤ x ≤ 2.
Exerc´ıcio 3. Ache a soluc¸a˜o do seguinte problema de Neumann
∂tu = 4∂
2
xu, 0 < x < pi, t > 0;
∂xu(0, t) = 0 = ∂xu(2, t), t > 0;
u(x, 0) = 3x, 0 ≤ x ≤ pi.
1
2
Exerc´ıcio 4. Mostre que se u = u(x, t) satisfaz
∂tu = µ
2∂2xu, 0 < x < L, t > 0;
u(x, t) = T1, u(L, t) = T2, t ≥ 0;
u(x, 0) = f(x), 0 ≤ x ≤ L
enta˜o ϑ = ϑ(x, t) dada por
ϑ(x, t) = u(x, t)−
[(
T2 − T1
L
)
x+ T1
]
satisfaz 
∂tϑ = µ
2∂2xϑ, 0 < x < L, t > 0;
ϑ(0, t) = 0 = ϑ(L, t), t ≥ 0;
ϑ(x, 0) = g(x), 0 ≤ x ≤ L,
onde g(x) = f(x)−
[(
T2 − T1
L
)
x+ T1
]
.
Exerc´ıcio 5. Mostre que se u = u(x, t) satisfaz
∂tu = µ
2∂2xu+ η (η ∈ R)
enta˜o ϑ = ϑ(x, t) dada por
ϑ(x, t) = u(x, t) +
ηx2
2µ2
satisfaz ∂tϑ = µ
2∂2xϑ.
Exerc´ıcio 6. Resolva 
∂tu = 2∂
2
xu+ 4, 0 < x < 1, t > 0;
u(0, t) = 1 = u(1, t), t ≥ 0;
u(x, 0) = 1, 0 ≤ x ≤ 1.
Exerc´ıcio 7. Resolva o problema misto 
∂tu = 2∂
2
xu, 0 < x < 1, t > 0;
u(0, t) = 0, t ≥ 0;
u(1, t) + ∂xu(1, t) = 0, t ≥ 0;
u(x, 0) = 1, 0 ≤ x ≤ 1.
3
Exerc´ıcio 8 (equac¸a˜o do tele´grafo). O sistema de EDP’s de primeira ordem
∂v
∂x
+ L
∂i
∂t
+Ri = 0;
∂i
∂x
+ C
∂v
∂t
+Gv = 0
ocorre na teoria de transmissa˜o de sinais por cabo. Aqui, a uma distaˆncia x e no instante t, tem-se que:
• v(x, t) e´ a voltagem;
• i(x, t) e´ a corrente.
As constantes L, C, R e G sa˜o: reais, na˜o negativas e representam indutaˆncia, capacitaˆncia, resiteˆncia e condutaˆncia,
respectivamente. Resolve os itens abaixo:
a. Mostre que vale a equac¸a˜o do tele´grafo
LC
∂2v
∂t2
+ (RC + LG)
∂v
∂t
+RGv − ∂
2v
∂x2
= 0
b. Suponha que L > 0 e C > 0. Mostre que se R = 0 e G 6= 0 enta˜o
∂2v
∂t2
+ b
∂v
∂t
− c2 ∂
2v
∂x2
= 0,
onde b = G/C e c = 1/
√
LG. Se R = G = 0 enta˜o
∂2v
∂t2
− c2 ∂
2v
∂x2
= 0.
c. Um linha de transmissa˜o, supostamente caracterizada pela equac¸a˜o do tele´grafo, e´ dita na˜o sofrer distorc¸a˜o se
admite soluc¸a˜o do tipo
v(x, t) = e−µtf(x− ct),
onde µ ≥ 0 e´ constante. Mostre que RC = LG e´ uma condic¸a˜o necessa´ria e suficiente para que uma linha de transmissa˜o
na˜o apresente distorc¸a˜o.
4
Exerc´ıcio 9 (conservac¸a˜o de energia). Mostre que se u = u(x, t) e´ soluc¸a˜o da equac¸a˜o da onda
utt = c
2uxx
enta˜o a energia
E(t) =
∫ ∞
−∞
[
|ut(x, t)|2 + 1
c2
|ux(x, t)|2
]
dx,
e´ constante. (Supondo-a finita para todo tempo t, evidentemente.)
Exerc´ıcio 10 (solitons). A equac¸a˜o de Kortweg-deVries (KdV) e´
ut − 6uux + uxxx = 0.
Um soluc¸a˜o tipo soliton desta equac¸a˜o e´
u(x, t) = −1
2
sech2
[√
c
2
(x− ct− a)
]
,
onde sech (θ) =
2
eθ + e−θ
. Verifique que u(x, t), de fato, e´ soluc¸a˜o da equac¸a˜o KdV.
Para se informar acerca das aplicac¸o˜es dos solitons em transmissa˜o de dados em fibra o´tica, consulte um artigo de divulgac¸a˜o
em
http://www.siam.org/pdf/news/810.pdf.
Caso voceˆ tenha ficado curioso em saber mais sobre os solitons, consulte um excelente artigo de exposic¸a˜o (sobre o tema)
no link
http://rmu.sbm.org.br/Conteudo/n30/n30−Artigo04.pdf
Exerc´ıcio 11. Resolver o problema 
∂2t u = ∂
2
xu, 0 < x < L, t > 0;
u(0, t) = 0 = u(L, t), t > 0;
u(x, 0) = f(x), ut(x, 0) ≡ 0, 0 ≤ x ≤ L.
nos seguintes casos:
a. f(x) =
{
2xL, 0 ≤ x ≤ L/2;
2(L− x)/L;L/2 ≤ x ≤ L. .
b. f(x) =

4x/L, 0 ≤ x ≤ L/4;
1, L/4 ≤ x < 3L/4;
4(L− x)/L, 3L/4 ≤ x ≤ L.
.
5
c. f(x) = 8x(L− x2)/L2.
d. f(x) =
{
1, L/2− 1 ≤ x < L/2 + 1;
0, 0 ≤ x ≤ L/2− 1 ou L/2 + 1 ≤ x ≤ L. . (Neste item, L > 2.)
Exerc´ıcio 12. Resolver o problema 
∂2t u = ∂
2
xu, 0 < x < L, t > 0;
u(0, t) = 0 = u(L, t), t > 0;
u(x, 0) ≡ 0, ut(x, 0) = g(x), 0 ≤ x ≤ L.
nos seguintes casos:
a. g(x) =
{
2xL, 0 ≤ x ≤ L/2;
2(L− x)/L;L/2 ≤ x ≤ L. .
b. g(x) =

4x/L, 0 ≤ x ≤ L/4;
1, L/4 ≤ x < 3L/4;
4(L− x)/L, 3L/4 ≤ x ≤ L.
.
c. g(x) = 8x(L− x2)/L2.
d. g(x) =
{
1, L/2− 1 ≤ x < L/2 + 1;
0, 0 ≤ x ≤ L/2− 1 ou L/2 + 1 ≤ x ≤ L. . (Neste item, L > 2.)
Exerc´ıcio 13. Mostre que se
u(x, t) = ψ(x)eiωt
e´ soluc¸a˜o da equac¸a˜o da onda utt = c
2uxx enta˜o
ψ′′ + k2ψ = 0, k2 =
ω2
c2
.
Exerc´ıcio 14. Utilize o me´todo de separac¸a˜o de varia´veis para resolver o problema
utt + kut = c
2uxx, 0 < x < 1, t > 0 (k, c > 0 constantes);
u(0, t) = 0 = u(1, t), t > 0;
u(x, 0) = f(x), 0 < x < 1.
Neste problema suponha k < 2pic.
6
Exerc´ıcio 15 (um problema na˜o homogeˆneo). Neste problema, determinaremos as soluc¸o˜es do tipo
u(x, t) =
∞∑
n=1
ϕn(t) sin
(npix
L
)
para o problema 
utt = c
2uxx + F (x, t), 0 < x < L, t > 0 (k, c > 0 constantes);
u(0, t) = 0 = u(l, t), t ≥ 0;
u(x, 0) = 0, ut(x, 0), 0 ≤ x ≤ L.
a. Sem se preocupar com questa˜o de convergeˆncia da se´rie, mostre que{∑∞
n=1 [ϕ
′′
n(t) + ω
2
nϕn(t)] sin
(npix
L
)
= F (x, t), (ωn =
npic
L
);
ϕn(0) = 0, ϕ
′
n(0) = 0, (n = 1, 2, · · · )
b. Mostrar que
ϕ′′k(t) + ω
2
kϕk(t) = Fk(t),
onde Fk(t) =
2
L
∫ L
0
F (x, t) sin
(
kpix
L
)
.
Dica: Multiplicar ambos os lados da se´rie no item (a) por sin
(
kpix
L
)
e integrar de x = 0 ate´ x = L.
c. Verifique, diretamente, que
ϕk(t) =
1
ωk
∫ t
0
Fk(ξ) sin [ωk(t− ξ)]dξ
e´ soluc¸a˜o de {
ϕ′′k(t) + ω
2
kϕk(t) = Fk(t);
ϕk(0) = 0, ϕ
′
k(0) = 0.