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AULA 5 – Distribuição Normal
Conceitos introdutórios
Distribuição normal é uma distribuição de probabilidade contínua para uma variável aleatória x, que pode assumir todo e qualquer valor real.
Principais propriedades:
O gráfico representativo da distribuição normal é denominado por curva normal (ou de Gauss), e tem a forma de sino e é simétrica em torno da média .
Á medida que a curva normal se distância da média, ela se aproxima do eixo x, mas nunca o toca.
A área total limitada pela curva e pelo eixo das abscissas (eixo x) é igual a 1.
A média, a mediana e a moda são iguais.
Os pontos nos quais a curva muda de crescente para decrescente, ou vice-versa, são chamados de pontos de inflexão.
O ponto onde a curva muda de crescente para decrescente representa a subtração da média pelo desvio padrão () 
O ponto onde a curva muda de decrescente para crescente representa a adição da média com o desvio padrão () 
Distribuição normal padrão
A distribuição normal com uma média de 0 e um desvio padrão de 1 é chamada de distribuição normal padrão. 
A escala horizontal do gráfico da distribuição normal padrão corresponde ao z-escore ou simplesmente z..
O z é uma medida de posição que indica o número de desvios padrão de um valor a partir da média. 
É possível converter um valor x em z através da seguinte a fórmula:
É necessário sempre arredondar o valor de z para 2 casas decimais.
Exemplo resolvido:
Seja X a variável aleatória que representa os diâmetros dos parafusos produzidos por certa máquina. Suponha que essa variável tenha distribuição normal com média e desvio padrão s = 0,04 cm. Deseja-se saber qual é a probabilidade de um parafuso ter um diâmetro com valor entre 2 e 2,05 cm.
A área 
hachurada
 corresponde 
a
 probabilidade a ser obtida 
P(2 < X < 2,05)
Passo: calcular o valor de z
Substituindo na fórmula temos:
Passo: Encontrar o valor de z = 1,25 na tabela da Curva Normal Padronizada.
- o número 1,25 deve ser “quebrado” em duas partes: 1,25 = 1,2 + 0,05
- onde 1,2 corresponde a linha da tabela e 0,05 a coluna da tabela
- a intersecção da linha 1,2 com a coluna 0,05 correspondente contém o valor 0,3944.
Passo: Concluindo a resolução
Assim, a probabilidade de um parafuso fabricado por essa máquina apresentar um diâmetro entre a média e o valor x = 2,05 é 0,3944.
P(2 < X < 2,05) = P(0 < Z < 1,25) = 0,3944 ou 39,44%
Outro exemplo (resolver em sala de aula)
Sabendo que os pontos obtidos por diferentes candidatos em um concurso publico seguem uma distribuição normal, com média igual a 140 e desvio padrão igual a 20 pontos, calcule as seguintes probabilidades:
Qual é a probabilidade de um candidato escolhido ao acaso apresentar uma pontuação entre 140 e 165,60 pontos?
Qual é a probabilidade de um candidato escolhido ao acaso apresentar uma pontuação entre 127,4 e 140 pontos?
Qual é a probabilidade de um candidato escolhido ao acaso apresentar uma pontuação entre 117,2 e 157 pontos?
Qual é a probabilidade de um candidato escolhido ao acaso apresentar uma nota inferior a 127 pontos?
Qual é a probabilidade de um candidato alcançar nota superior a 174,2 pontos?
Qual é a probabilidade de encontrar um candidato com menos que 167,4 pontos?
Qual é a probabilidade de encontrar um candidato com nota entre 155,4 e 168,4 pontos?
Calculando valores a partir de probabilidades
Sabendo que os pontos obtidos por diferentes candidatos em um concurso publico seguem uma distribuição normal, com média igual a 140 e desvio padrão igual a 20 pontos, calcule os seguintes valores a partir das as seguintes probabilidades:
Defina uma nota de corte xc, de tal forma que entre a média e o valor de xc estivessem 27,04% dos candidatos.
Defina uma nova nota de corte superada por apenas 1% dos candidatos.
Defina uma nova nota de corte superada por 97% dos candidatos.
Resolução de problemas
Suponha que a média de consumo anual de queijo esteja normalmente distribuída, com média = 14,2 kg por pessoa e desvio padrão = 4,66 kg. Estime a probabilidade de que uma pessoa consuma entre 10 e 13,5 libras em um ano.
O tempo de uma sessão de step está normalmente distribuído, com uma média de 20 minutos e um desvio padrão de cinco minutos. Você está organizando a agenda da academia. Um total de 50 sócios fazem step. Calcule quantas pessoas utilizarão o aparelho de step durante um determinado número de minutos.
(a) Menos de 10 minutos.
(b) Entre 10 e 15 minutos.
(c) Entre 15 e 20 minutos.
O tamanho das cocorocas está normalmente distribuído, com uma média de dez polegadas e um desvio padrão de duas polegadas. Uma cocoroca é selecionada ao acaso. (Adaptado do National Marine Fisheries Services, Fisheries Statistics and Economics Division)
(a) Obtenha a probabilidade de o comprimento do peixe ser inferior a 7 polegadas.
(b) Obtenha a probabilidade de o comprimento do peixe estar entre 7 e 15 polegadas.
(c) Obtenha a probabilidade de o comprimento do peixe ser superior a 15 polegadas.
Em um ano recente, as pontuações no ACT para estudantes secundários com pontuação média de 3,5 a 4 eram normalmente distribuídas com média de 24,2 e desvio padrão de 4,2. Um estudante que fez o ACT é selecionado ao acaso. (Adaptado do ACT, Inc.)
(a) Obtenha a probabilidade de a pontuação do estudante no ACT ser inferior a 20.
(b) Obtenha a probabilidade de a pontuação do estudante no ACT estar entre 20 e 29.
(c) Obtenha a probabilidade de a pontuação do estudante no ACT ser superior a 29.
O peso dos macacos rhesus machos adultos está normalmente distribuído, com média de 15 libras e desvio padrão de três libras. Um macaco é selecionado ao acaso.
(a) Obtenha a probabilidade de o peso do macaco ser inferior a 13 libras.
(b) Obtenha a probabilidade de o peso do macaco estar entre 13 e 17 libras.
(c) Obtenha a probabilidade de o peso do macaco ser superior a 17 libras.
Aplique a distribuição normal da pontuação no SAT no qual a média é 505 e o desvio padrão é 111.
(a) Que porcentagem da pontuação do SAT verbal é inferior a 600?
(b) Se mil pontuações no SAT verbal forem selecionados ao acaso, quantas você esperaria serem superiores a 550?
Use a distribuição normal das pontuações em matemática do SAT no qual a média é 514 e o desvio padrão é 103.
(a) Que porcentagem das pontuações em matemática do SAT é inferior a 500?
(b) Se 1.500 pontuações em matemática do SAT forem selecionadas ao acaso, quantas você esperaria serem superiores a 600.
Use a distribuição normal dos tamanhos de peixe no qual a média é de dez polegadas e o desvio padrão é de duas polegadas.
(a) Que porcentual de peixes supera a marca de 11 polegadas?
(b) Se 200 cocorocas forem selecionadas ao acaso, quantas você esperaria serem inferiores a oito polegadas?
Use a distribuição normal dos pesos dos macacos no qual a média é 15 libras e o desvio padrão é 3.
(a) Que porcentagem dos macacos tem peso superior a 20 libras?
(b) Se 50 macacos rhesus forem selecionados ao acaso, quantos você esperaria que tivessem peso inferior a 12 libras?
Uma faculdade exige que seus candidatos a vaga tenham pontuação entre as 12 por cento maiores notas. A pontuação é normalmente distribuída, com média de 21 pontos e desvio padrão de 4,7.
(a) Obtenha a pontuação mais baixa que um estudante pode obter e ainda assim satisfazer às exigências da faculdade.
(b) Se 1.500 estudantes forem selecionados ao acaso, quantos você esperaria que tivessem uma pontuação que satisfaria às exigências da faculdade?
(c) Como a resposta da parte (a) se modificaria caso a faculdade decidisse aceitar os 18 por cento que tiraram as maiores notas no teste?
Exercícios extras (opcional)
Uma pesquisa indica que as pessoas usam seus computadores por uma média de 2,4 anos antes de trocá-los por uma máquina nova. O desvio padrão é de 0,5 anos. Um proprietário de computador é selecionado aleatoriamente. Encontre a probabilidade de que ele use sua máquina por menos de dois anos antes
de comprar uma nova. Assuma que a variável x é normalmente distribuída.
Uma pesquisa indica que para cada ida ao supermercado, uma pessoa gasta uma média de 45 minutos, com um desvio padrão de 12 minutos naquela loja. O período de tempo gasto na loja é normalmente distribuído e representado pela variável x. Um cliente entra no mercado. 
Encontre a probabilidade, para cada intervalo de tempo listado a seguir, que essa pessoa fique no mercado.
Interprete sua resposta se 200 pessoas entrarem no mercado. Quantos compradores você esperaria que houvesse a loja para cada intervalo de tempo listado a seguir?
Entre 24 e 54 minutos.
Mais que 39 minutos.
As pontuações para um teste de serviço civil são normalmente distribuídas, com uma média de 75 e um desvio padrão de 6,5. Para ser adequado ao emprego de serviço civil, você precisa ter uma pontuação dentro dos primeiros 5%. Qual é a menor pontuação que você pode conseguir e ainda assim ser adequado ao emprego?
Em uma amostra escolhida aleatoriamente de 1.169 de homens com idade entre 35 e 44 anos, e média do nível de colesterol total era de 210 miligramas por decilitro com um desvio padrão de 38,6 miligramas por decilitro. Suponha que os níveis totais de colesterol sejam normalmente distribuídos. Encontre o nível total de colesterol mais alto que um homem nesta faixa etária pode ter no 1% mais baixo.
Bibliografia
BRUNI, ADRIANO LEAL. Estatística Aplicada à Gestão Empresarial. São Paulo: Atlas, 2007.
ANDERSON; SWEENEY & WILLIAMS. Estatística aplicada à Administração e Economia. São Paulo: Thonson Learnig, 2007.
MOORE, MCCABE, DUCKWORTH & SCLOVE. A Prática da Estatística Empresarial. Rio de Janeiro: LTC, 2006.
LARSON & FARBER. Estatística Aplicada. São Paulo: Pearson, 2004.
MORETTIN, L.G. Estatística Básica. São Paulo: Makron Books, 1999
MAGALHES, MARCOS NASCIMENTO & LIMA, ANTONIO CARLOS PEDROSO. Noções de probabilidade e estatística. EDUSP.2002.
Aula 5 - Estatística Aplicada	Profª Patrícia Alves		pg.4