Exercícios - Coordenadas Cilíndricas e Esféricas

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UEPB – Universidade Estadual da Paraíba 
 
 Disciplina: Calculo III 
 
 Professor: Onildo Freire 
 
3ª Lista de Exercícios – Unidade I – Coordenadas Cilíndricas e Esféricas 
 
1. Usando coordenadas cilíndricas, calcule as integrais abaixo: 
 
 
a) 
  
 1
0
1
0
4
0
2 22y yx
dydxdzz
 
16
7
:

R
 
 
b) 
  




2
0
2
2 0
22
2
2
22xx
xx
yx
dxdydzyx
 
5
32
:

R
 
 
c) 
  
 2
0
4
0
4
0
2
2 22x yx
dxdydzx
 
3
4
:

R
 
 
d) 
  



2
0
4
0
2
0 22
2
22
x
yx
dxdydz
yx
z
 
5
2
:

R
 
 
2. Usando coordenadas esféricas, calcule as integrais abaixo: 
 
 
a) 
 
  
 

1
1
1
0
1
0
2 22
2
3
222x yx zyx dxdydze
 
 1
3
2
: eR
 
 
b) 
  
 2
0
4
0
4
0
2
2 22x yx
dxdydzx
 
15
16
:

R
 
 
 
3. Calcular a integral 
dzdydxzyx
S
 
222
, onde S é a região delimitada por 
1222  zyx
 e 
4222  zyx
 . 
15:R
 
 
4. Encontrar o volume do sólido limitado acima pela esfera 
16222  zyx
 e abaixo 
pelo cone 
222 3zyx 
 usando: 
 
a) coordenadas cilíndricas; 
3
64
:

R
 
 
b) coordenadas esféricas. 
3
64
:

R
 
 
5. Usando coordenadas cilíndricas, calcule o volume do sólido delimitado pela esfera 
4222  zyx
 e pelo parabolóide 
zyx 322 
. 
6
19
:

R
 
 
6. Usando coordenadas esféricas, calcule o volume do sólido delimitado pela esfera 
1222  zyx
 e pelo cone 
222 zyx 
. 
3
22
:

R
 
 
7. Usando as coordenadas esféricas, mostre que o volume de uma esfera de raio a é 
3
3
4
a
 
unidades de volume.