24075 GEOMETRIA ANALÍTICA E VETORES (Parte 3)

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54 
 
GEOMETRIA ANALÍTICA NO ESPAÇO 
 
O espaço vetorial R³ 
 
Definição: Denominamos espaço vetorial R³ ao conjunto dos ternos ordenados de números 
reais 
  RRyRxzyxR  z e ,/,,3 
onde definimos: 
 Igualdade: z ,y , ),,(),,( 212121222111 zyxxzyxzyx  
 Adição: ) z ,y ,( ),,(),,( 212121222111 zyxxzyxzyx  
 Multiplicação por número real: ),,(),,( kzkykxzyxk  
O elemento neutro da adição é (0,0,0) e o oposto de (x,y,z) é (-x, -y,-z). 
 
 Representação Geométrica 
 
 Fixando uma unidade de comprimento, vamos considerar três eixos concorrentes num 
ponto O, dois a dois perpendiculares, orientados conforme indica a figura. Dado um ponto P 
do espaço, sejam P1, P2, P3 as suas projeções sobre os eixos x, y e z, nesta ordem. Chamando 
xp, yp e zp as medidas algébricas dos segmentos orientados OP1, OP2 e OP3, respectivamente, 
ao ponto P associamos o terno ordenado (xp, yp, zp), que chamamos coordenadas de P, e 
escrevemos: 
 
 
),,(ou ),,( pppppp zyxPzyxP  
 
1OPx p  = abscissa de P eixo x = eixo das abscissas 
2OPy p  = ordenada de P eixo y = eixo das ordenadas 
3OPz p  = cota de P eixo z = eixo das cotas 
Oxyz sistema cartesiano ortogonal 
O = (0,0,0) é a origem do sistema cartesiano. 
 
 
 A todo terno ordenado (a,b,c) do R³ corresponde um único ponto P do espaço tal que 
pxa  , pyb  e pzc  . 
 
Obs: 
 P está no plano xy quando 0pz 
 P está no plano xz quando 0py 
 P está no plano yz quando 0px 
55 
 
 P está no eixo x quando 0py e 0pz 
 P está no eixo y quando 0px e 0pz 
 P está no eixo z quando 0px e 0py 
Exemplo: 
 
 
 
Vetores no espaço 
 
Dados ),,( 111 zyxA  e ),,( 222 zyxB  , ao vetor AB associamos o terno ordenado 
),,( 121212 zzyyxx  , e escrevemos; 
),,( 121212 zzyyxxABAB  
 
Produto interno no R³ 
Dados dois vetores ),,( 11 1 zyxu  e ),,( 22 2 zyxv  do R³, denominamos produto escalar (ou 
produto interno) de u por v ao número real vu  dado por 
2 12 12 1 zzyyxxvu  
 
Módulo de um vetor 
Dado um vetor ),,( zyxu  temos que 
 
 
z²y²x² u 
 
 
Obs: notemos que u é a medida da diagonal de um paralelepípedo retângulo reto. 
56 
 
Distância entre dois pontos 
 
 Dados os pontos ),,( 11 1 zyxA e ),,( 22 2 zyxB , a distância entre A e B é dada por; 
)²()²()²( 1 21 21 2 zzyyxxd  
 
 
Paralelismo entre dois vetores 
 
 A condição de paralelismo de dois vetores é que um seja múltiplo do outro, ou seja; 
Rkkvuvu  , paralelos são e 
 
 
Ortogonalidade de dois vetores 
 
 A condição de ortogonalidade de dois vetores é que o produto escalar seja nulo. 
0 0 ortogonais são e 212121  zzyyxxvuvu 
 
Ângulo de dois vetores 
 
 Sendo  o ângulo entre dois vetores u e v, não nulos, temos  1800  e 
vu
vu
 
cos

 
 
 
Produto vetorial e Produto misto 
 
 Vamos representar por 321 e , eee , nesta ordem, os vetores unitários da direção e sentido 
dos eixos x, y e z, ou seja: 
 
)0,0,1(1e 
)0,1,0(2e 
)1,0,0(3e 
 
 
 
 
 Dado um vetor qualquer u = (a, b, c) do R³ , notemos que: 
(a, b, c) = (a, 0 ,0) + (0, b, 0) + (0, 0, c) = a (1,0,0) + b (0,1,0) + c(0,0,1) 
e então: 
321 ),,( cebeaeucbau  
57 
 
Produto vetorial 
 
 Dados dois vetores ),,( 111 zyxu  e ),,( 222 zyxv  do R³, denominamos produto vetorial 
de u por v, o vetor obtido desenvolvendo-se o determinante simbólico, 
222
111
321
zyx
zyx
eee
vu  
ou seja 
3
22
11
2
22
11
1
22
11 e
yx
yx
e
zx
zx
e
zy
zy
vu  
 
 
Módulo do produto vetorial 
 
senvuvu  
Onde  é o ângulo entre u e v. 
 
 
Produto Misto 
 
 Dados três vetores u, v, e w do R³, notemos que: 
wv é um novo vetor do R³ 
)( wvu  é um número real (produto escalar do vetor u pelo vetor wv ) 
 O número real )( wvu  é denominado produto misto dos vetores u v e w, e é denotado 
por [u, v, w]. 
)(],,[ wvuwvu  
 
333
222
111
],,[
zyx
zyx
zyx
wvu  
 
Exemplo: Sendo u=(0, 2, 4), v=(2, -1, 3) e w=(2, 0, 1), calcule o produto misto de )( wvu  . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
58 
 
Vetores Coplanares 
 
 Dizemos que três vetores do R³ são coplanares quando, aplicados a um mesmo ponto A, 
possuem extremidades B,C, e D tais que os pontos A,B, C, e D pertencem a um mesmo plano. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
u, v, e w são coplanares se, e somente se, [u,v,w] = 0 
 
Exemplo: Vamos verificar se os pontos A(1,0,2), B(3,2,5), C(0,-1,3) e D(5,4,2) são 
coplanares. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
59 
 
Exercícios: 
1) Dados )1,0,1(),3,2,1(  vu e )2,2,1( w , calcular 
a) u + v b) 2v – w c) 3 (2w – u) – 2 (3v + w) 
 
2) Dados )0,1,2(),4,2,1(  vu e )0,0,1(w , calcular os números a, b e c tais que 
)8,6,4( cwbvau 
 
3) Sabe-se que os vetores (k, -1, 0) e (2, -1, 2) formam um ângulo de 45°. Qual é o valor de 
k? 
 
4) Determinar k de modo que os vetores (3, k, -2) e (6, -4, -3) sejam ortogonais. 
 
5) Obter um ponto P no eixo das abscissas e equidistante dos pontos A(1,0,1) e B(-1,2,0) 
 
6) Associar cada item (I a V) a uma das afirmações (A a C): 
I. u = (4,0,6) e v = (3,1,-2) 
II. u = (2,1,-1) e v = (-4,-2,2) 
III. u = (12,8,0) e v = (8,6,0) 
IV. u = (-1,0,3) e v = (-3,0,1) 
V. u = (1,1,-1) e v = (1,-2,-1) 
 
A) u e v são paralelos 
B) u e v são ortogonais 
C) u e v não são paralelos, nem ortogonais 
 
7) Dados u=(1,1,2), v=(3,1,-1) e w=(0,2,1) calcular 
a) )( uwv  
b) )()( wvvu  
c) )( wvu  
d) )( vuw  
 
8) Calcular [u,v,w] sendo dados u=(1,1,3), v=(2,-1,5) e w=(4,-3,1) 
 
9) Verificar se A,B, C, e D são pontos coplanares nos casos: 
a) A=(1,1,0), B=(0,2,3), C=(2,0,-1), D=(-1,3,5) 
b) A=(2,3,4), B=(1,-1,9), C=(5,-3,7), D=(0,3,6) 
c) A=(1,1,1), B=(1,2,1), C=(3,0,1), D=(5,7,10) 
 
10) Calcular o perímetro do triângulo de vértices A(1,1,0), B(0,1,1) e C(1,1,1). 
 
 
 
60 
 
ÁREAS E VOLUMES 
 
Área de um paralelogramo 
 
 Consideremos dois vetores não paralelos u e v aplicados a um mesmo ponto A, e seja  
o ângulo entre eles. 
 O paralelogramo determinado por u e v tem área S tal que: 
 senvuhuS S  
 No R³ senvu é igual ao produto vetorial vu  , e, 
então,podemos concluir que 
 
vu S 
 
 
Área de um triângulo 
 
 Podemos calcular a área de um triângulo ABC como segue: 
 
 
vu 
2
1
S 
 
 
Exemplo: 
Calcule a área do triângulo de vértices A(1,2,0), B(3,4,7) e C(-1,0,4). 
 
 
 
 
 
 
 
Volume de um paralelepípedo 
 Consideremos três vetores não coplanares u, v e w aplicados a um mesmo ponto A. O 
volume V do paralelepípedo determinado por u, v e w é igual à área S da base 
(paralelogramo) multiplicada pela altura h: 
 V = S h 
Sendo  o ângulo entre w e vu  , notemos que: 
vu
wvu
hwh



)(
 cos 
Como vuS  , o volume do paralelepípedo é: 
],,[ wvuV  
61 
 
Volume de um tetraedro 
 Podemos calcular o volume de um tetraedro ABCD como segue: 
 
],,[
6
1
ADACABV  
 
 
 
 
Exemplo: 
Calcule o volume do tetraedro de vértices A(0,0,1), B(0,1,0), C(1,0,0) e D(1,1,1).EQUAÇÃO DO PLANO 
 
O plano definido por um ponto e um vetor normal 
 Consideremos um plano  que passa por um ponto ),,( 000 zyxA e é ortogonal a um 
vetor não nulo n=(a,b,c). 
Sendo P(x,y,z) um ponto genérico de  , tomemos o 
vetor 
),,( 000 zzyyxxAP  , e notemos que: 
 0 
 0)()()( 
 0APn ortogonais são AP en 
000
000



czbyaxczbyax
zzcyybxxa
P 
 
Pondo dczbyax  000 , obtemos a equação 
0 dczbyax 
 
que é denominada equação geral do plano. 
 
Exemplo: Dados A(2,1,-1) e n=(3,-1,4), determine a equação do plano  que passa por A e é 
ortogonal a n. 
 
 
 
62 
 
Exemplo: A equação 2x + 3y + 2z – 6 = 0 representa um plano  no R³. Obtenha os pontos 
onde o plano intercepta os eixos coordenados. 
 
 
 
 
 
 
O plano definido por três pontos 
 Consideramos o plano  definido por três pontos dados, A(x1,y1,z1), B(x2,y2,z2) e 
C(x3,y3,z3), não colineares. 
Sendo P(x,y,z) um ponto qualquer de  , 
consideremos os vetores 
),,( 111 zzyyxxAP  
),,( 121212 zzyyxxAB  
),,( 131313 zzyyxxAC  
Notemos que: 
  0, ,AP coplanares são e AP,  ACABACABP  
Logo, podemos obter a equação do plano desenvolvendo o determinante na igualdade 
0
131313
121212
111




zzyyxx
zzyyxx
zzyyxx
 
 
Exemplo: Determine a equação do plano que passa pelos pontos A(1,2,-1), B(0,1,-4) e C(3,-
1,0). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
63 
 
Exercícios: 
1) Determinar a área do paralelogramo definido pelos vetores u=(2,4,5) e v=(-1,3,3). 
 
2) Calcular a área de um paralelogramo que tem um vértice no ponto A=(2,-1,1) e uma 
diagonal de extremidades B=(3,0,4) e C=(-2,1,3). 
 
3) Calcular a área do triângulo de vértices A(4,5,6) B(4,4,5) e C(3,5,5). 
 
4) Calcular x sabendo que A(0,0,1) B(x,1,0) e C(0,2,3) são os vértices de um triângulo de 
área igual a 3. 
 
5) Calcular o volume do paralelepípedo que tem um vértice no ponto A(1,1,1) e as arestas 
AB, AC e AD, onde B=(1,1,2), C=(1,2,2) e D=(2,2,2). 
 
6) Determinar um ponto D no eixo dos z tal que o tetraedro ABCD tenha volume igual a 18. 
Dados A=(3,0,0), B(0,1,0) e C(3,3,0). 
 
7) Determinar a equação do plano que contém o ponto P e é ortogonal ao vetor n nos casos: 
a) P(1,-1,1) e n=(2, 4, 1) 
b) P(4,2,1) e n=(2, -3, 0) 
 
8) Dar a equação do plano que passa pelo ponto A e é perpendicular aos vetores u e v. 
a) A(1,2,0) , u=(1,1,1) e v=(2,1,3). 
b) A(0,1,-1), u=(1,2,2) e v=(2,3,1) 
 
9) Dê a equação do plano que passa pelos pontos A(1,2,4), B(2,3,5) e C(3,4,7). 
 
10) Dado o plano 04732:  zyx pede-se: 
a) O ponto de intersecção de  com o eixo das abscissas 
b) O ponto de  que tem abscissa 2 e ordenada 4 
c) o valor de k para que o ponto P(2, 2k, k) pertença a  
d) o ponto de  que tem a abscissa igual ao triplo da ordenada, e a cota nula. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
64 
 
Reta definida por um ponto e um vetor diretor 
 
 Consideremos a reta r, do R³, que passa pelo ponto A(x0,y0,z0) e tem a direção do vetor 
v=(a,b,c). Seja X(x,y,z) um ponto genérico de r. 
 
R)(t tvA-X  tvAXrX 
 
 
 
Equação vetorial 
 A equação vetorial de r é 
tvAX  
 
Equações paramétricas 
 São obtidas a partir da vetorial: 
tvAX  
),,(),,(),,( 000 cbatzyxzyx  
R)(t 
0
0
0









ctzz
btyy
atxx
 
 
Equação simétrica 
 A partir da forma simétrica, supondo 0 cba : 
c
zz
b
yy
a
xx
t
ctzz
btyy
atxx
ctzz
btyy
atxx
000
0
0
0
0
0
0
 























 
Dizemos que 
c
zz
b
yy
a
xx 000 





 
é a forma simétrica da equação da reta. 
 
Exemplo: Vamos escrever as equações da reta r que passa por A(2,0,3) e tem a direção do 
vetor v=(5,1,-2). 
 
 
 
 
 
 
 
 
65 
 
Reta definida por dois pontos 
 Consideremos a reta r definida por dois pontos distintos, A(x1,y1,z1) e B(x2,y2,z2), dados. 
Usando o ponto A e o vetor diretor 
),,(ABv 121212 zzyyxxAB  podemos obter as 
equações de r. 
 
Exemplo: Se r passa por A(1,0,2) e B(3,1,-1) quais são as equações paramétricas e simétrica 
da reta r? 
 
 
 
 
 
 
SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES A TRÊS INCÓGNITAS 
 
O sistema das equações de dois planos 
 Consideramos o sistema 
 
)'( ''''
)( 
 







dzcybxa
dczbyax
S 
formado pelas equações de dois planos, ' e  , do R³ 
 Sabemos que n=(a,b,c) e n’=(a’,b’,c’) são os vetores normais aos planos ' e  , nesta 
ordem, e as possíveis posições relativas de ' e  são: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
66 
 
 
assim: 
 
'' b
b
a
a
 ou esconcorrent ' e 
''

c
c
b
b
 
 
'''' d
d
c
c
b
b
a
a
 escoincident ' e  
 
'''' d
d
c
c
b
b
a
a
 distintos paralelos ' e  
 
Exemplo: 
a) 
)'( 032
)( 623
 







zyx
zyx
S 
 
 
 
b) 
)'( 86104
)( 4352
 







zyx
zyx
S 
 
 
 
O sistema das equações de três planos 
 Consideramos o sistema 
 
)( 
)( 
)( 
 
3333
2222
1111











dzcybxa
dzcybxa
dzcybxa
S 
formado pelas equações de três planos,  e , , do R³. 
casos: 
1º)  e , possuem um único ponto comum. 
 Neste caso, o sistema S admite uma única solução (sistema determinado) 
 
),,(
),,(
),,(
3333
2222
1111
cban
cban
cban



 
Não são coplanares, logo 0],,[ 321 nnn , ou seja: 
 0
333
222
111

cba
cba
cba
 
 
2º)  e , possuem em comum uma reta r. 
 Neste caso, o sistema S admite infinitas soluções, que são as coordenadas dos pontos de r (S 
é indeterminado de grau 1) 
67 
 
),,(
),,(
),,(
3333
2222
1111
cban
cban
cban



 
 Logo 0],,[ 321 nnn , ou seja: 
 0
333
222
111

cba
cba
cba
 
 
3º)  e , são coincidentes 
 Neste caso, o sistema S admite infinitas soluções, que são as coordenadas dos pontos de  
(S é indeterminado de grau 2), logo 0],,[ 321 nnn 
 
4º)  e , não possuem ponto em comum 
 Neste caso, o sistema S não tem solução (sistema impossível) 
 
 
 Logo 0],,[ 321 nnn 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
a) 
510113
732
142
 








zyx
zyx
zyx
S 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
68 
 
b) 
352
022
1
 








zyx
zyx
zyx
S 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 
173
5622
13
 








zyx
zyx
zyx
S 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) 
2764
12
0
 








zyx
zyx
zyx
S 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
69 
 
Exemplo: Uma das técnicasusadas na análise de circuitos elétricos é aquela conhecida como 
análise das malhas. Suponha, então, o circuito de 3 malhas representado na figura abaixo. 
Aplicando a lei das voltagens de Kirchoff a cada uma das malhas do circuito é possível obter 
o seguinte sistema de equações lineares: 
 








6632
036
123
:
321
321
321
iii
iii
iii
S 
 
Classifique este sistema em SPD, SPI ou SI. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício: 
1) Em cada caso, dar as equações da reta que passa por A e tem a direção do vetor v, nas 
formas paramétrica e simétrica: 
a) A(3,-2,4) e v=(0,2,-1) b) A(3,2,5) e v=(7,1,-4) 
c) A(1,1,1) e v=(2,3,4) d)A(0,0,0) e v=(a,b,c) 
 
2) Determinar as equações paramétricas da reta que passa por A e B nos casos: 
a) A(1,1,2) e B(2,3,4) b) A(-7,-1,8) e B(1,-2,2) 
 
3) Qual o ponto de interseção da reta 
3
2
7
3
 
4
2 



 zyx
 com o plano xy? 
4) Da reta R)(t 
5
42
23









tz
ty
tx
 qual o ponto de abscissa 11? 
 
5) Determinar a intersecção da reta r de equações paramétricas 
21
2
1








tz
ty
tx
com o plano 
015-3zy-2x:  . 
70 
 
 
6) Determinar a posição relativa dos planos ' e  nos casos: 
a) 01423  zyx e 01245'  zyx 
b) 0452  zyx e 09742'  zyx 
c) 0452  zyx e 091042'  zyx 
d) 0123  zyx e 03693'  zyx 
 
7) Determinar o ponto de intersecção dos planos  e , nos casos: 
a) 423:  zyx , 
2
3
2:  zy e 32: z 
b) 7:  zyx , 1232:  zyx e 33942:  zyx 
 
8) Classificar cada sistema seguinte em determinado, indeterminado ou incompatível: 
a) 








652
243
632
zyx
zyx
zyx
 b) 








104
12
4
zyx
zyx
zyx
 
c) 








423
22
42
zyx
zyx
zyx
 d) 








819125
3852
232
zyx
zyx
zyx