Mat Ensino 02 Funcao 1o e 2o grau 2016 2

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IFSC / Funções de 1º e 2º Grau Prof. Júlio César TOMIO 
 
 
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ESTUDO DAS FUNÇÕES ELEMENTARES [Parte 1] 
 
Função Polinomial do 1º Grau [ou Função Linear] 
 
Introdução e Conceitos Básicos 
 
Vamos analisar os casos considerados abaixo: 
 
[Caso 1] Certo encanador cobra pelo seu serviço da seguinte forma: 
 
  Um valor fixo de R$ 50,00 [valor inicial] mais uma taxa de R$ 10,00 por hora trabalhada. 
 
 
Assim, fazendo uma simulação de alguns trabalhos para termos uma noção melhor de valores, temos: 
 
 
 Valor cobrado por um encanador 
 em função do tempo de serviço 
 
Tempo de Serviço “x” [h] Valor Cobrado “V” [R$] 
0 50  50 = 10.(0) + 50 
1 60  60 = 10.(1) + 50 
2 70  70 = 10.(2) + 50 
3 80  80 = 10.(3) + 50 
4 90  90 = 10.(4) + 50 
 
Observe na tabela acima que para cada tempo de serviço realizado temos um acréscimo de R$ 10 [no valor inicial] para cada 
hora trabalhada. Dizemos assim que a função em questão tem uma taxa de variação constante de 10 reais/hora. 
Observamos ainda que o valor “V”, cobrado pelo serviço, aumenta quando o número de horas trabalhadas “x” aumenta. 
Para este comportamento, dizemos que V(x) é uma função crescente. 
 
Portanto a função pode ser assim definida: V = 50 + 10x ou ainda V(x) = 10x + 50 
 
 
[Caso 2] Um recipiente com água, à temperatura de 15ºC é levado a uma câmara frigorífica [controlada] e observa-se que, 
a cada 1 minuto, a temperatura diminui 2ºC. De acordo com os dados, forneça a lei (fórmula) que representa a variação de 
temperatura em função do tempo. 
 
Resolução: Tempo inicial [t0] : 0 min Temperatura inicial [T0] : 15
ºC 
 
 
 
  15 = 15 – 2.(0) 
  13 = 15 – 2.(1) 
  11 = 15 – 2.(2) 
  09 = 15 – 2.(3) 
 
Perceba que cada temperatura da tabela acima é dada pela temperatura inicial menos um decréscimo de 2ºC por minuto. 
Assim, podemos dizer que a taxa de variação da temperatura pelo tempo é constante e equivale a –2ºC/min. [O sinal 
negativo na taxa indica que a temperatura “T” diminui quando o tempo “t” aumenta]. Desta forma, como a temperatura 
decresce com o passar do tempo, dizemos que a temperatura é uma função decrescente do tempo. Por tudo isso, 
concluímos que a lei que relaciona o aumento de temperatura em função do tempo é: 
 
T(t) = 15 – 2t , sendo esta, a solução do problema em questão. 
 
Observação: 
 
As funções apresentadas nos casos acima são funções que têm taxa constante de crescimento ou decrescimento. Uma 
função é dita do 1º grau (ou linear) se sua taxa de variação é a mesma em toda parte ou momento. O fato da taxa 
de variação ser constante faz com que a representação gráfica destas funções seja uma RETA*, com uma inclinação 
única, que depende diretamente da taxa de variação. 
 
Comentário: 
 
Quando se conhece a função (fórmula matemática) de um determinado fenômeno, torna-se possível compreendê-lo melhor 
e mais precisamente; construindo uma representação gráfica (caso não se tenha), fazendo estimativas futuras (dependendo 
da situação) e entendendo a relação existente entre as variáveis envolvidas, como a taxa de variação, entre outras 
informações. 
 
[*] Dependendo do domínio da função do 1º grau, graficamente podemos ter: uma reta, um segmento de reta, uma semi-reta, ou ainda, 
um conjunto “discreto” [finito ou infinito] de pontos alinhados. 
 
Tempo [min] Temperatura [ºC] 
0 15 
1 13 
2 11 
3 09 
Valor Cobrado Parte Fixa [valor inicial] Parte Variável 
Variável 
Dependente 
Variável 
Independente 
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Formalização dos Conceitos 
 
Uma função cuja lei de associação é do tipo f(x) = mx + n [ou y = mx + n] com m  ℝ* e n  ℝ é chamada de 
função polinomial do 1º grau, sendo “m” o coeficiente angular e “n” o coeficiente linear da reta que representa esta 
função graficamente no sistema cartesiano ortogonal. 
 
Veja os exemplos: 
  
52)(  xxf
 





5
2
n
m
  
xxg 7)( 
 





0
7
n
m
 
 
  
3
14)(
x
xh 
 






14
3
1
n
m  
)23()45()(  xxL
 






23
45
n
m 
 
  
xy 
 





0
1
n
m
  
3
128
)(


x
xP
 






4
3
8
n
m 
 
  
xxT  1)(
 





1
1
n
m
  
0
4
3
2  yx
 







8
3
2
1
n
m
 
 
Geometricamente, a função polinomial do 1º grau é representada por uma linha reta oblíqua aos eixos coordenados, 
cortando o eixo das ordenadas no ponto (0 , n). 
 
Veja: 
 
 Se m > 0  f(x) é crescente Se m < 0  f(x) é decrescente 
 
 y y 
 f(x) f(x) 
 
 
 
 
 
 
 0 x 0 x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observações: 
 
 O valor da abscissa onde o gráfico corta o eixo “x” denomina-se raiz ou zero da função e indicaremos por x’. A raiz da 
função pode ser determinada algebricamente fazendo f(x) = 0. Observe que o ponto de encontro da reta com o eixo das 
abscissas tem a forma (x’, 0) e por isso podemos chamar também a raiz x’ de “intercepto x”. 
 
 O valor de n na função, denominado coeficiente linear, também é a ordenada do ponto (0 , n) onde o gráfico corta o 
eixo “y” e por isso também podemos chamá-lo de “intercepto y”. 
 
 Veja: Substituindo x = 0 em f(x) = mx + n temos: f(0) = m(0) + n 
 
 f(0) = 0 + n  f(0) = n  ( 0 , n ) 
 
 O gráfico de uma função polinomial do primeiro grau também pode ser representado por “variações” da reta, ou seja, por 
uma semi-reta, por um segmento de reta ou ainda por um conjunto finito [ou infinito] de pontos colineares. Essas 
configurações gráficas dependerão do domínio associado à referida função, como já estudado anteriormente. 
 
 Nos dois casos gráficos genéricos apresentados acima, temos que: D = ℝ e Im = ℝ. 
Raiz ou zero 
 da função 
n 
x’ 
Raiz ou zero 
 da função 
n 
x’ 
coeficiente angular 
 
ou 
 
taxa de variação 
[constante] 
coeficiente linear 
 
ou 
 
intercepto “y” 
f(x) = mx + n 
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Exemplos: 
 
1) Uma barra de aço que se encontrava inicialmente a 30ºC foi resfriada [num ambiente “controlado”] durante 7 minutos. A 
função que descreve esse fenômeno linear é: f(x) = – 6x + 30. Abaixo, temos a sua representação gráfica, mostrando a 
variação da temperatura da barra em função do tempo, durante o resfriamento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta (c): Analisando o gráfico acima, podemos escrever: 
 
D = { x  ℝ | 0  x  7} e Im = { y  ℝ | –12  y  30 } 
 
Note que a função do problema em questão é decrescente. 
 (observe que a taxa de variação [m] é negativa) 
 
 
 
[O exemplo acima foi adaptado do livro: PAIVA, Manoel Rodrigues. Matemática: conceitos, linguagem e aplicações. v.1. 1.ed. São Paulo: Moderna, 2002] 
 
 
2) Faça um “esboço” [representação simplificada] do gráfico das funções f : ℝ  ℝ, definidas por: 
 
 
a) f(x) = 2x b) f(x) = 3x c) f(x) = 4x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) f(x) = –2x e) f(x) = –2x + 3 f) f(x) = –2x – 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pergunta-se: 
 
a) A cada minuto decorrido, quanto varia a temperatura da barra? (trata-se 
da taxa de variação) 
 
b) Depois de quanto tempo após o início do resfriamento, a temperatura da 
barra atingiu 0º C? 
 
c) Qual o domínio e o conjunto imagem de tal situação? 
 
x 
y 
x 
y 
x 
y 
x 
y 
x 
y 
x 
y 
7 
tempo (min) 
Temperatura (ºC) 
–12 
30 
0 
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g) f(x) = x – 1 h) f(x) = 2x – 3 i) f(x) = 3x + 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Construa o gráfico das funções f : D  ℝ, definidas por: 
 
 
a) f(x) = 2x com D = ℝ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) f(x) = 2x + 1 com D = ℝ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) f(x) = –3x + 4 com D = ℝ [apresentando os interceptos “x” e “y”] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x 
y 
x 
y 
x 
y 
x 
y 
x 
y 
x 
y 
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d) f(x) = 3x + 6 com D = ℝ [apresentando os interceptos] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) f(x) = 3x – 6 com D = ℝ [apresentando os interceptos] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
f) f(x) = –2x – 6 com D = [ –1 , 2 [ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Neste caso temos que: Im = ] –10 , – 4 ] 
 
 
 
g) f(x) = –2x – 6 com D = [ –1 , +  [ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Neste caso temos que: Im = ] –  , – 4 ] 
x f(x) 
–1 – 4 

 

 
2 –10 
x f(x) 
–1 – 4 

 

 
2 –10 

 

 
x 
y 
x 
y 
y 
– 4 
2
 
–1 
–10 
x 
y 
– 4 
2
 
–1 
–10 
x 
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h) f(x) = x com D = { –2 , 0 , 1 , 3 } 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Neste caso temos que: Im = { –2 , 0 , 1 , 3 } 
 
 
Nota: A função f(x) = x é conhecida como Função Identidade. 
 Além disso, ela representa a “bissetriz dos quadrantes ímpares” do plano cartesiano ortogonal, quando D = ℝ. 
 
 
Observações: 
 
 As funções do 1º grau do tipo f(x) = mx + n são chamadas de funções afins. [m  0 e n  0] 
 
 As funções do 1º grau do tipo f(x) = mx são chamadas de funções lineares. [m  0 e n = 0] 
 
 Vale relembrar que, numa função f(x) = mx + n, 
 
  O coeficiente angular da reta “m” pode ser chamado de declividade da reta, ou ainda, de taxa de variação. 
 O coeficiente linear da reta “n” pode ser chamado de intercepto y. 
 A raiz (ou zero) da função também pode ser chamada de intercepto x. 
 
 
 
Determinação da função do 1º grau a partir do seu gráfico 
 
Inicialmente vamos relembrar algumas relações associadas ao coeficiente angular da reta. 
 
Calculando o coeficiente angular “m” através do gráfico: 
 
 Conhecendo o ângulo  [inclinação] formado entre a reta “r” e o eixo “x” [no sentido anti-horário], usa-se: 
tgm 
 
 
ou 
 Conhecendo dois pontos A(xA , yA) e B(xB , yB) pertencentes à reta “r”, usa-se: 
x
y
tgm


 
  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 x’ 0 xA xB 
 
 r 
 
 
 
 
 
Considerações Importantes: 
 
Para escrevermos uma função do 1º grau [fórmula matemática] é necessário conhecer basicamente: 
 
 dois pontos quaisquer da reta “r”, ou 
 um ponto da reta “r” e o seu coeficiente angular (m), ou 
 os coeficientes angular (m) e linear (n) da reta “r”. 
x f(x) 
–2 –2 
0 0 
1 1 
3 3 
Observações: 
 
 Variação da inclinação da reta de uma função 
do 1º grau: 
 1800 
 com 
º90
. 
 
 Se  = 0  m = 0 tem-se neste caso uma 
“função constante” [reta paralela ao eixo “x”]. 
AB
AB
xx
yy
m



n 
yB 
yA 
 
y 
x 
B 
A  
Raiz ou zero 
da função 
y 
x 
3 
–2 
1
 
0
 
1
 
3
 
x 
y 
–2 
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De forma mais detalhada, temos: 
 
 Para determinarmos uma função do 1º grau, conhecendo dois pontos A(xA , yA) e B(xB , yB) pertencentes à reta que a 
representa graficamente, podemos utilizar dois métodos: 
 
# Substituir as coordenadas dos pontos A e B sucessivamente na expressão y = mx + n e encontrar os valores de “m” e “n” 
resolvendo o sistema de equações assim gerado. 
 
# Substituir as coordenadas dos pontos A e B em
0
1
1
1

BB
AA
yx
yx
yx . Resolvendo esse determinante, teremos a função procurada. 
 
 Para determinarmos uma função do 1º grau, conhecendo um ponto P(xP , yP) e o coeficiente angular “m” da reta que a 
representa graficamente, podemos utilizar: 
 
 
)( PP xxmyy 
  Daí, substituindo as coordenadas de P e o valor de “m”, teremos então a função procurada. 
 
 Para determinarmos uma função do 1º grau, conhecendo o coeficiente angular “m” e o coeficiente linear “n” da reta que 
a representa graficamente, podemos simplesmente utilizar: 
 
 
nmxy 
  Daí, substituindo os valores de “m” e “n” nessa expressão, teremos então a função procurada. 
 
 
 
Posições relativas entre duas retas 
 
Considerando duas funções representadas graficamente pelas retas r: y = mr x + nr e s: y = ms x + ns tem-se: 
 
Retas Paralelas: Se r // s  
smrm 
 
 
Retas Concorrentes: Se 
sr 
  
smrm 
 
 
 Observação: Retas Perpendiculares [Um Caso Particular de Retas Concorrentes] 
 
 Se 
sr 
  
s
r
m
m
1

 ou ainda 
1 sr mm
 
 
 
Exemplos: 
 
1) Determine a função geradora do gráfico abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Notas: 
 
Analisando o gráfico acima, podemos escrever: D = ℝ e Im = ℝ 
 
A função do 1º grau em questão pode ser classificada como crescente (observe que a taxa de variação [m] é positiva). 
0 3 
1 
– 9 
– 2 
y 
x 
 
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2) O valor de uma máquina hoje é de US$ 10.000,00 e estima-se que daqui a 6 anos seja US$ 1.000,00. Pergunta-se: 
 
a) Qual a função (fórmula matemática) que representa o fenômeno em questão, sabendo que a desvalorização é linear? 
b) Qual a taxa de depreciação (variação do valor “y” em relação ao tempo “x”) da referida máquina? 
c) Qual o valor da máquina após 4 anos? 
d) Qual o Domínio e o conjunto Imagem desta situação? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 D = { x  ℝ | 0  x  6 } 
Resposta (d): 
 Im = { y  ℝ | 1.000  y  10.000 } 
 
 
Observação: 
 
A função do 1º grau em questão pode ser classificada como decrescente (observe que a taxa de variação [m] é negativa). 
 
 
3) Sabe-se que uma reta, no sistema de coordenadas cartesianas, passa pelo ponto 
)4,3(P
 e tem inclinação de 150º. 
 
a) Construa o gráfico desta função. 
b) Determine o coeficiente angular da função. 
c) Escreva a função [fórmula matemática] em questão. 
d) Determine a raiz da função [intercepto “x”]. 
 
 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nota: 
 A raiz [ou zero] de uma função do 1º grau da forma 
nmxy 
 também pode ser encontrada através da relação: 
m
n
x 
. 
y 
x 
0 
tempo x (anos) 
Valor y (US$) 
 
10.000 
1.000 
6 0 
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4) Certo encanador A cobra por serviço feito um valor fixo de R$ 60,00 mais R$ 10,00 por hora de trabalho. Um outro 
encanador B cobra um valor fixo de R$ 40,00 mais R$ 15,00 por hora de trabalho. 
 
a) Construa o gráfico das duas funções (valor cobrado “y” em função do tempo “x”) num mesmo plano cartesiano. 
b) Considerando o menor custo para a realização de um trabalho, analise as vantagens na contratação do serviço dos encanadores. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5) Sabendo que reta “r” passa pelo ponto P(2, –8) e é paralela à reta “s”, que tem equação s: 6x + 2y = 18, determine a 
função que representa a reta “r”. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios – Função Polinomial do 1º grau 
 
1) Construa, no sistema cartesiano ortogonal, os gráficos das funções dadas por: 
 
a) 
2
1
 xy
 f) 
xxg  1)(
 
b) 
52)(  xxf
 g) 
4
x
y 
 
 
c) 
032  yx
 h) 
xy 3
 com D = [ –2, +  [ 
 
d) 
32
5
9
 CF
 i) 
22)(  xxh
 com D = [ –1, 2 [ 
 
e) 
3)(  xxf
 j) 
xy 31
 com D = { x  ℝ | x  0 } 
y (R$) 
x (horas) 0 
r 
0 
y 
x 
2 
–8 P 
s 
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2) Construa, num mesmo sistema cartesiano ortogonal, os gráficos das funções dadas por f(x) = x e g(x) = – x. 
 
 
3) Construa, num mesmo plano cartesiano, os gráficos de 
xxf )(
, 
xxg 2)( 
, 
xxh 3)( 
 e 
xxj
2
1
)( 
 considerando 
para todos D = [–2 , 2] e ao final, observe o comportamento da posição das retas. 
 
 
4) Construa, num mesmo plano, os gráficos das funções dadas por: 
xxf )(
, 
1)(  xxg
, 
2)(  xxh
 e 
1)(  xxj
 
considerando para todas D = ℝ e ao final, observe o comportamento da posição das retas. 
 
 
5) Duas operadoras de telefonia celular apresentam planos similares para seus usuários. O plano da operadora “V” tem uma 
mensalidade no valor de R$ 25,00 e uma tarifa de R$ 0,70 por minuto em ligações locais. O plano da operadora “T” tem 
custo de R$ 0,50 por minuto para ligações locais e uma mensalidade no valor de R$ 30,00. Utilizando seus conhecimentos 
sobre função polinomial do 1º grau e considerando somente ligações locais, conclui-se que: 
 
a) O plano da operadora T é melhor, independentemente do tempo de uso do telefone em um mês; 
b) O plano da operadora V é mais vantajoso somente para um uso mensal maior que 25 min; 
c) Para um uso mensal acima de 25 min, os dois planos têm um mesmo custo; 
d) O plano da operadora V é mais vantajoso somente para um uso mensal menor que 25 min 
e) Se nenhuma ligação for realizada no período de um mês, o plano da operadora T tem custo mensal inferior ao plano da operadora V. 
 
 
6) Determine a função geradora de cada um dos gráficos a seguir. 
 
a) b) c) d) e) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7) [GIOVANNI] Determine o valor de p de modo que o gráfico da função f(x) = 3x + p – 2 intercepte o eixo y no ponto de 
ordenada 4. 
 
 
8) Determine as funções do 1º grau que atendem as condições dadas: 
 
a) Tem coeficiente angular igual a –2 e intercepto y igual a 4. 
 
b) A reta é paralela à reta y = 4x – 2 e o seu intercepto y é 7. 
 
c) A reta é paralela à reta 3x + 2y = 5 e passa pelo ponto (–1, 2). 
 
d) A reta é perpendicular à y = 5x + 9 e o seu intercepto y é 6. 
 
e) A reta é perpendicular à x – 4y = 7 e passa por (3 ,– 4). 
 
f) A reta passa pelos pontos (2, 4) e (1, –7). 
 
g) A reta passa por A(–3, 6) e por B(–2, 1). 
 
h) O intercepto y é 2 e o intercepto x é – 4. 
 
i) A reta tem coeficiente angular 2 e a raiz da função é 3. 
 
j) A reta é paralela ao eixo y, passando pelo ponto (–2, –3). 
 
k) A reta é perpendicular ao eixo y e passa pelo ponto (– 4, 1). 
 
 
9) [GIOVANNI] Determine “m” de modo que o gráfico da função g(x) = –2x + 4m + 5 intercepte o eixo x no ponto de 
abscissa 3. 
 
 
10) [GIOVANNI] Sabendo que a função y = mx + n admite 3 como raiz e f(1) = – 8, calcule os valores de m e n. 
Observações: 
 
 Note que a reta em “j” NÃO é uma 
função. 
 
 A reta em “k” é uma função que 
chamamos de CONSTANTE. 
0 
y 
x 3 
2 
–2 
● 
● 
y 
x 
● 
● 
4 
2 
0 
0 
6 
2 
● 
y 
x 
● 
30º 
3 0 
y 
x 
● 
45º 
y 
x –2 
● 1 
0 
 
 
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11) Dada as equações r: 2x – y – 1 = 0 e s: x – y = 2 , determine: 
 
a) O ponto de intersecção das retas r e s; 
 
b) Os pontos de encontro das retas com os eixos coordenados. 
 
 
12) [GIOVANNI] Dadas as funções f(x) = ax + 4 e g(x) = bx + 1, 
calcule os valores de “a” e “b” de modo que os gráficos dessas 
funções se interceptem no ponto (1 , 6). 
 
 
13) Observando o gráfico ao lado, determine as equações das 
retas (funções); as coordenadas do ponto P e os zeros das funções. 
 
 
 
14) [GIOVANNI] Considerando as funções f(x) = 8 – x e g(x) = 3x, determine: 
 
a) as raízes das funções “f” e “g” dadas; 
b) as coordenadas do ponto P, que representa a interseção das retas em questão; 
c) qual a classificação [crescente ou decrescente]para cada uma das funções. 
 
 
 
15) O custo C(x) de produção de “x” litros de certa 
substância é dado por uma função linear, cujo gráfico está 
representado ao lado. Nestas condições, pergunta-se: 
 
a) O custo de R$ 700,00 corresponde à produção de quantos 
litros? 
b) Qual a taxa de variação do custo em função da produção? 
 
 
 
16) O gráfico ao lado apresenta uma situação de 
frenagem, onde a velocidade do veículo varia em função 
do tempo. Sendo assim, responda: 
 
a) Qual a taxa de variação da velocidade em função do tempo? 
b) Qual a velocidade do veículo no instante 3s? 
c) O que acontece com o veículo após 5s de frenagem? 
d) Qual o Domínio e o Conjunto Imagem do problema? 
 
Nota: Para se ter uma melhor noção da velocidade (neste caso), 
podemos convertê-la de m/s para km/h, que é a unidade mais 
utilizada em nosso cotidiano. Para isto, basta multiplicar o valor 
da velocidade em m/s por 3,6 que teremos o resultado em km/h. 
 
 
RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS 
 
1a) 1b) 1c) 1d) 1e) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1f) 1g) 1h) 1i) 1j) 
 
 
 
 
 
 
 
 
y 
x 
● 
● 
5 
5/2 
0 
y 
x 
0 3 
–3/2 
● 
● 
y 
x 
● 
● 
1/2 
1/2 
0 
y 
x 
0 
6 
–2 
● 
y 
x 
– 4 ● 
–1 
0 –1 
F 
C 
–160/9 
● 
0 
32 
● 
y 
x –3 
● 
3 
0 
● 
y 
x –1 
● 
● 
0 
–1 
y 
x 2 –1 
6 
2 ● 
y 
x 
4 
–1 
● 
● 
0 
x 
y 
P 
–2 
– 4 
2 
f 
g 
2 
1 
Custo (R$) 
x (Litros) 0 
400 
8 
520 
v (m/s) 
t (s) 0 5 
20 
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2) 3) 4) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6a) 
5
4
5
2x
y 
 6b) y = –2x + 4 6c) y = 3x 6d) 
3
3
x3
y 
  utilizando valores tabelados 6e) y = x + 3 
 
7) p = 6 8a) f(x) = –2x + 4 8b) f(x) = 4x + 7 8c) 
2
1
2
3x
f(x) 
 8d) 
6
5
x
f(x) 
 8e) f(x) = – 4x + 8 
 
8f) f(x) =11x – 18 8g) f(x) = – 5x – 9 8h) 
2
2
x
f(x) 
 8i) f(x) = 2x – 6 8j) x = – 2 [não é função, é apenas uma relação] 
 
8k) f(x) = 1 [É uma função constante que pode ser considerada função do 1º grau] 9) m = ¼ 10) m = 4 e n = –12 
 
 
11a) r  s = (–1, –3) 11b) r  eixo x = (1/2, 0) e r  eixo y = (0, –1) 12) a = 2 e b = 5 
 s  eixo x = (2 , 0) e s  eixo y = (0, –2) 
 
13) f(x) =
2x
2
1

 e g(x) = 
2
2
3x

 / P(4 , 4) / raiz de f(x): x = – 4, raiz de g(x): x = 
3
4
 
 
14a) raiz de f(x): x = 8, raiz de g(x): x = 0 14b) P(2 , 6) 14c) f(x) é decrescente e g(x) é crescente. 
 
15a) 20 litros 15b) +15 reais/Litro (que é o coeficiente angular da função) 16a) – 4 m/s2 (que é o coef. angular) 16b) 8 m/s 
 
16c) Sua velocidade torna-se “zero”, ou seja, o veículo para. 16d) D = { t  ℝ | 0  t  5 } e Im = { v  ℝ | 0  v  20 } 
 
 
Para refletir: Não corrigir nossas faltas é o mesmo que cometer novos erros. [Confúcio] 
 
Função Constante 
 
A função constante é um caso particular da função de 1º grau. 
 
Vamos analisar os casos considerados abaixo: 
 
[Caso 1] Em diversas áreas do conhecimento humano, podemos 
representar vários fenômenos graficamente. Na Física, temos 
como exemplo o movimento uniforme (MU) que é o movimento 
caracterizado por manter um móvel sempre com a mesma 
velocidade, ou seja, constante. No gráfico (v x t) ao lado, temos 
a representação de um veículo em MU, num intervalo de 5h e a 
uma velocidade constante de 30 km/h. 
 
Pode-se escrever então a função: v(t) = 30 ou f(x) = 30. 
 
Matematicamente se tem: D = [0 , 5] e Im = { 30 }. 
 
V(x) = 0,7x + 25 
 
T(x) = 0,5x + 30 
 
Resposta: “d” 
R$ 
min 25 
● 42,50 
0 
30,00 
25,00 
V 
T 
y 
x 
–3 
● 3 
● 
3 
f(x) 
g(x) 
45º 45º 
Observação [exercício 4]: 
 
As retas f, g, h e j são paralelas, pois 
têm o mesmo coeficiente angular. 
● 
y 
x 
1 
● 2 
● 
1 
h 
j 
g 
f 
● 
● ● ● 
● –1 
–2 –1 
y 
x 
1 
2 
h 
j 
g 
f 
–1 
–2 
2 
–2 
– 4 
– 6 
j 
f 
g 
h 
4 
6 
v (km/h) 
t (h) 
5 0 
30 
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[Caso 2] Em um determinado ano, uma empresa em expansão contratou 100 funcionários em março e 100 em outubro. 
Em janeiro deste mesmo ano o número de funcionários era 200. Matematicamente, podemos equacionar esta situação como 
sendo uma função f : D  ℕ com D = {meses do ano} definida por: 
 
 
 
 
 
 
 
Foi solicitada pelo setor de recursos humanos desta firma uma representação visual, de modo a relacionar os meses do ano 
com o número de funcionários empregados (meses X funcionários). 
 
Assim temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
[Caso 3] Vamos considerar que uma Litorina [Automotriz] fará 
uma pequena viagem partindo de uma estação A até uma 
estação B. Veja abaixo, a representação gráfica da velocidade 
pelo tempo de viagem. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Apenas para complementar, no caso acima temos: D = { t  ℝ | 0  t  65 } e Im = { v  ℝ | 0  v  55 } 
 
 
Agora observe: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 









}dezembro,nov embro,outubro{xse400,
}setembro,agosto,julho,junho,maio,abril,março{xse300,
}fev ereiro,janeiro{xse200,
f(x)
 
v (km/h) 
t (min) 65 0 
55 
10 50 
A B 
No esquema ao lado, podemos trocar a palavra 
velocidade por função, e assim identificamos as 
três partes da função que compõem o gráfico: 
 
Para: 0  t  10  a função é crescente 
Para: 10  t  50  a função é constante 
Para: 50  t  65  a função é decrescente 
Velocidade Constante 
 
Velocidade Decrescente Velocidade Crescente 
 
y 
g(x) = 2x + 3 [ com m > 0 ] 
0 
3 
x 
h(x) = –2x + 3 [ com m < 0 ] 
f(x) = 0x + 3 [ com m = 0 ] e simplesmente escrevemos: f(x) = 3 
Número de 
Funcionários 
200 
300 
400 
J F M A M J J A S O N D Meses do ano (20XX) 
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Formalizando, temos: 
 
Uma função f : ℝ  ℝ cuja lei de associação é do tipo f(x) = n , com n  ℝ é chamada de função constante, pois para 
qualquer valor atribuído à variável “x”, sua imagem será sempre a mesma, de valor “n”. Podemos acrescentar ainda, que se 
trata de uma função que não é crescente, nem decrescente, mas sim constante,pois o valor da função f(x) não cresce nem 
decresce, permanecendo o mesmo, ou seja, sem variar [constante]. Lembre-se que: y = f(x). 
 
Graficamente, tem-se uma reta paralela ao eixo das abscissas, cortando o eixo das ordenadas no ponto (0 , n). 
 
 Se n > 0: Se n = 0: Se n < 0: 
 
 y y y 
 
 
 n 
 
 
 
 
 0 x 0 x 0 x 
 
 
 n 
 
 
 
 
Observações: 
 
Se n = 0, a reta é coincidente com o eixo das abscissas (x), tem-se então que a lei fica sendo f(x) = 0 ou mesmo y = 0. 
Vale reforçar que nos casos acima, tem-se que D = ℝ e o conjunto Imagem sempre será do tipo: Im = { n }. 
 
Exemplos: 
 
1) Construa o gráfico da função f(x) = 6 e determine o seu conjunto imagem. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Im = { 6 } 
 
2) Represente graficamente as funções de Domínio Real, indicadas a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 g(x) = 14 h(x) = –5 y = 7,2 
 
 
 
3) Faça o gráfico de g(x) = – 3 com D = ] –1 , 5 ] e escreva o seu conjunto imagem. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Im = { –3 } 
x f(x) f(x) = 0x + 6 

 

 
–3 6 → f(–3) = 0(–3) + 6 = 0 + 6 = 6 

 

 
0 6 → f(0) = 0(0) + 6 = 0 + 6 = 6 

 

 
2 6 → f(2) = 0(2) + 6 = 0 + 6 = 6 

 

 
Desnecessário fazer! 
Apenas por motivos didáticos! 
y 
x 0 
y 
x 0 
y 
x 0 
y 
x 
y 
x 
Calcule: 
 
 g(0) = 
 
 g(5) = 
 
 g(–1) = 
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4) Construa o gráfico da função: 






1xse,2
1xse,13x
f(x)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Note que: D = ℝ e Im = { y  ℝ | y = – 2 ou y 

 4 } 
 
 
 
5) Uma linha de elevadores de carga é construída conforme as seguintes especificações técnicas: 
 
 Quando o elevador tiver capacidade de carga (x) menor ou igual a 1000 kg, será utilizado um conjunto de cabos de aço 
de 20 mm de diâmetro para a sua sustentação. 
 
 Quando o elevador tiver capacidade de carga (x) maior que 1000 kg e menor que 3000 kg, será utilizado um conjunto 
de cabos de aço com 
50
x
mm de diâmetro para a sua sustentação. 
 
Assim, escreva a função D(x) que define o diâmetro dos 
cabos de aço em função da capacidade de carga “x” e 
construa seu gráfico. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
[O exemplo acima foi adaptado do livro: PAIVA, Manoel Rodrigues. Matemática: conceitos, linguagem e aplicações. v.1. 1.ed. São Paulo: Moderna, 2002] 
 
 
Exercícios – Função Constante 
 
1) Construa os gráficos das funções dadas por: 
 
a) f(x) = 4 e) y = 0 com D = { x  ℝ | – 4 < x  3 } 
 
b) g(x) = 
3
40

 com D = ℝ+ f) h(x) = 51 
 
c) y =  com D = ℝ g) y = – 7 com D = { x  ℝ | x < 6 } 
 
d) y = –
3
 com D = [–5 , 2 [ 
 
 
2) Determine o conjunto imagem para cada uma das funções do exercício anterior. 
D (mm) 
x (kg) 0 
Calcule: 
 
 f(1) = 
 
 f(5) = 
 
 f(–3) = 
x 
y 
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3) [GIOVANNI] Em uma cidade, o departamento de água da prefeitura decidiu fazer uma experiência e passou a cobrar as 
contas de água dos consumidores com preços fixos para intervalos de consumo. Assim, por exemplo, para qualquer consumo 
inferior a 20m3, a conta será de R$ 18,50. Abaixo, você pode ver a lei de formação utilizada para determinar o valor “V” da 
conta, em reais, em função do consumo “c”, em metros cúbicos. 
 









50cse59,00
50c20se47,50
20c0se18,50
V (c)
 Obs.: O consumo é medido mensalmente. 
 
a) Construa o gráfico no plano cartesiano V x c (valor da conta por consumo) determinando o Domínio e o Conj. Imagem. 
b) Quanto pagará um morador que consumir 20m3 de água em um mês? E se consumir 36,4m3 num mês? 
c) Qual foi o consumo de uma casa cuja conta apresentou um valor de R$ 59,00? 
d) Quanto pagou um morador que supostamente não consumiu nenhuma quantidade de água num mês? 
 
 
4) [PUCCAMP / Adaptada] Ao lado, pode-se ver parte de um gráfico que 
mostra o valor “y” a ser pago (em reais) pelo uso de um determinado 
estacionamento por um período de “x” horas. Suponha que o padrão 
observado no gráfico não se altere quando “x” cresce. Nestas condições, 
pergunta-se: 
 
a) Quanto deverá pagar uma pessoa, por utilizar o estacionamento durante 
meia hora? E durante duas horas? 
b) Quanto deverá pagar alguém que estacionar das 8h e 46min até às 11h 
e 50min? 
c) Quanto tempo ficou no estacionamento um carro se o proprietário pagou 
R$ 8,00? 
d) Quanto pagará um indivíduo que estacionar seu veículo das 22h de um 
dia até às 8h e 30min do dia seguinte? 
 
 
 
5) Construa, no sistema cartesiano ortogonal, os gráficos das funções dadas por: 
 
a) 






2xse2,
2xse,x
f(x)
 b) 






0xse,1
0xse2x,
g(x)
 c) 






0xse,10
0xse,10
y
 
 
d) 






1xse3,x
1xse,2x
h(x)
 e) 









2xse4,
2x2sex,1
2xse,3
j(x)
 
 
 
RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS 
 
 
1a) 1b) 1c) 1d) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1e) 1f) 1g) 2a) Im = { 4 } 
 2b) Im = { – 40/3 } 
 2c) Im = {  } 
 2d) Im = {
3
} 
 2e) Im = { 0 } 
 2f) Im = { 51 } 
 2g) Im = { –7 } 
 
 
R$ 
Horas 
6,5 
5 
3,5 
2 
0 1 2 3 4 
y 
x 
4 
0 
y 
x 0 
– 40/3 
y 
x 0 
 
y 
x 
51 
0 
y 
x 
– 5 2 
3
 
0 
y 
x 
6 
– 7 
0 
y 
x 
3 
0 
– 4 
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3a) Valor conta (R$) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 0 20 50 Consumo (m3) 
 
 
 
 
5a) 5b) 5c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5d) 5e) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para descontrair.... 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para refletir: É costume de um tolo, quando erra, queixar-se dos outros. [Sócrates] 
3a) D = { c  ℝ | c 

 0 } e 
 
Im = { 18,50 ; 47,50 ; 59,00 } 
 
3b) R$ 47,50 e R$ 47,50 
 
3c) c 

 50 m3 
 
3d) R$ 18,50 
 
4a) R$ 2,00 e R$3,50 
 
4b) R$ 6,50 
 
4c) { x  ℝ | 4 < x  5 } 
 
4d) R$ 17,00 
4
c
)
 
{
 
x
 

 
ℝ
 
|
 
4
 
<
 
x
 

 
5
 
} 
)
 
R
$
 
2
,
0
0
 
e
 
R
$
 
3
,
5
0
 
 
 
 
 
 
3
d
)
 
R
$
 
1
8
,
5
0
)
 
R
$
y 
x 
–2 
–3 
–2 –3 0 
–1 
x 
y 
1 
1 
3 
– 4 
–2 0 
2 
x 
y 
2 
–1 
3 
–2 
– 4 
–2 
0 
x 
y 
0 
–10 
10 
x 
y 
0 
–1 
1 
2 
18,50 
47,50 
59,00 
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Tópico Especial: Função do 1º Grau x Progressão Aritmética [PA] 
 
Veja o comparativo: 
 
 nmxxf )( rnaan  )1(1
 
 
 12)(  xxf 2)1(1  nan
 
 
0x
  
1)0(2)0( f
  
1)0( f
 
1n
  
2)11(11 a
  
11 a
 
1x
  
1)1(2)1( f
  
3)1( f
 
2n
  
2)12(12 a
  
32 a
 
2x
  
1)2(2)2( f
  
5)2( f
 
3n
  
2)13(13 a
  
53 a
 
3x
  
1)3(2)3( f
  
7)3( f
 
4n
  
2)14(14 a
  
74 a
 
4x
  
1)4(2)4( f
  
9)4( f
 
5n
  
2)15(15 a
  
95 a
 
 
 
Podemos observar que os valores obtidos são os mesmos [indicados pelas setas verdes]. A diferença está na defasagem dos 
valores de 
x
 em relação aos valores de 
n
, pois na PA o termo inicial é o “primeiro termo” [
1n
]. 
 
Podemos dizer que uma Progressão Aritmética [PA] é uma Função do 1º Grau com Domínio Natural, ou seja, D = ℕ. 
 
Graficamente, temos: 
 
 12)(  xxf 2)1(1  nan
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observe que a Função do 1º Grau, além de contínua, pode apresentar valores negativos em seu Domínio, enquanto a 
Progressão Aritmética sempre iniciará no “primeiro termo”. 
 
Vale comentar ainda que quando quisermos usar o termo “linear” para indicar o crescimento [ou a variação] de uma 
grandeza em determinado fenômeno, o termo “aritmético” é uma opção de sinônimo [apesar de não ser muito comum]. 
 
Veja os exemplos abaixo: 
 
 ... a quantidade de peças fabricadas por mês está crescendo linearmente... 
 
 ... a quantidade de peças fabricadas por mês está progredindo aritmeticamente... 
 
 
Para refletir: O que não se busca de maneira correta não se encontra. [Pensamento retirado de um biscoito da sorte chinês] 
an 
n 
9 
7 
5 
1 
0 1 2 3 4 
3 
5 
f(x) 
x 
9 
7 
5 
1 
0 1 2 3 4 
3 
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Função Polinomial do 2º Grau [Função Quadrática] 
 
Introdução: 
 
Veja a situação-problema abaixo: 
 
Existem campeonatos de futebol onde cada clube joga 2 vezes com outro, em turno e returno. Assim, o número “P” de 
partidas do campeonato é dado em função do número “x” de clubes participantes. Para efeito de planejamento da 
competição, entre outros fatores, o número de partidas que serão realizadas é um dado muito importante. Desta forma, 
quantos jogos teremos num campeonato deste tipo, com 24 clubes? 
 
Variáveis envolvidas: Número de partidas  P Número de clubes  x 
 
Por dedução, montamos a tabela: Através da análise da tabela, temos que: P = x(x – 1) 
 
Daí, podemos fazer: P = x2 – x ou P(x) = x2 – x 
 
Então: 
 
 P(24) = (24)2 – 24 = 576 – 24  P(24) = 552 
 
 Logo, teremos 552 jogos numa competição desse formato. 
 
 
Nota: Observe que a lei [fórmula matemática] que calcula a quantidade de jogos mediante o número de clubes 
participantes é um polinômio de 2º grau, que chamaremos de Função Polinomial do 2º Grau ou Função Quadrática. 
 
 
Definição: 
 
Função Polinomial do 2º grau é toda função definida pela lei: f(x) = ax2 + bx + c , com a  ℝ*, b  ℝ e c  ℝ. 
 
 
Exemplos: 
 
 Na função 
7x4x)x(f
2

 temos: a = 1 , b = – 4 e c = 7. 
 Na função 
x51x2)x(g
2

 temos: a = –2 , b = 5 e c = –1. 
 Na função 
x3x)x(h
2

 temos: a = –1 , b = 3 e c = 0. 
 Na função 
9x)x(P
2

 temos: a = 1 , b = 0 e c = –9. 
 Na função 
2
xy 
 temos: a = 1 , b = 0 e c = 0. 
 
 Graficamente a função quadrática, com D = ℝ, é representada por uma figura “aberta” e “infinita” denominada parábola. 
 
A parábola pertence a uma família de figuras denominada CÔNICAS. Esta família é composta por figuras delineadas pela 
intersecção de um cone [circular reto de duas folhas] por um plano que não passe pelo vértice, chamado de plano secante. 
Fazem parte desta família, além da parábola, as figuras: Circunferência, Elipse e Hipérbole. Veja o esquema abaixo: 
 
O fator que determina a diferença para se obter uma das seções cônicas é a inclinação com que o plano secciona o cone. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Número de clubes Número de partidas 
2 2(2 – 1) = 02 
3 3(3 – 1) = 06 
4 4(4 – 1) = 12 
5 5(5 – 1) = 20 

 

 
x x(x – 1) = P 
Nota: A função quadrática tem 
inúmeras aplicações nas mais 
variadas áreas do conhecimento 
humano, tanto na sua forma 
algébrica (fórmula matemática) 
quanto na forma geométrica 
(parábola). 
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Curiosidade: A Excentricidade das Cônicas 
 
Apenas como curiosidade, podemos dizer que, para algumas das cônicas [elipse e hipérbole], a excentricidade é um número 
que mede o seu “achatamento”. Abaixo temos uma ilustração sobre a excentricidade como fator determinante do tipo de 
cônica. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como variam os valores de “f(x)” de uma Função Quadrática [a taxa de variação NÃO é constante]: 
 
 
Veja abaixo um (exemplo) comparativo com uma função do 1º grau: 
 
 g(x) = 2x + 1 f(x) = x2 + 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Taxa de Variação “Fixa” 
 
 Neste caso: m = 2 
 Taxa de Variação “Muda” para cada alteração no valor de “x”. 
 
 
Note que, para uma função quadrática com DOMÍNIO REAL, haverá um intervalo CRESCENTE e outro DECRESCENTE. 
 
 
Particularidades: 
 
 O gráfico de uma função de 2o grau é uma parábola com eixo de simetria paralelo ao eixo y. 
 Se o coeficiente de x2 for positivo [a > 0], a parábola tem a concavidade voltada para cima. 
 Se a < 0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo. 
 A intersecção do eixo de simetria com a parábola determina um ponto chamado vértice [V]. 
 Se a parábola interceptar o eixo x, então a intersecção define as raízes x1 e x2 da função [para isto, faz-se f(x) = 0]. 
 A parábola intercepta o eixo das ordenadas [y] no ponto (0 , c) [para isto, faz-se: x = 0]. 
 
 
 
Neste último item, podemos destacar uma característica das funções polinomiais. O intercepto “y” sempre coincide com o 
termo independente. Veja: 
 
f(x) = ax2 + bx + c f(0) = a(0)2 + b(0) + c 
 
 f(0) = 0 + 0 + c 
 
 f(0) = c  ( 0 , c ) é o ponto em que o gráfico intercepta o eixo “y”. 
x g(x) 
–2 –3 
–1 –1 
0 1 
1 3 
2 5 
3 7 
 
x f(x) 
–3 10 
–2 5 
–1 2 
0 1 
1 2 
2 5 
3 10 
417 
 
C
re
sc
e
n
te
 
D
e
cr
e
sc
e
n
te
 
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No esquema abaixo, caracterizamos as diversas possibilidades gráficas: 
 
 
 
 
 
 
 
 y y y 
 
 
 
 
 
 x x x 
 
 
 
 
 
 
 y y y 
 
 
 
 
 
 x x x 
 
 
 
 
 
 
 
As Coordenadas do Vértice da Parábola e o Conjunto Imagem da Função Quadrática: 
 
 Quando a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima e um ponto de mínimo: V(xV , yV). 
O valor mínimo é o yV e seu conjunto Imagem é Im = { y  ℝ | y  yV }. 
 
 
 Quando a < 0, a parábola tem concavidade voltada para baixo e um ponto de máximo: V(xV , yV). 
O valor máximo é o yV e seu conjunto Imagem é Im = { y  ℝ | y  yV }. 
 
Veja: 
 
 y y 
 
 
 
 
 
 x x 
 
 
 
 
 
 
 
As coordenadas do vértice V são 
 VV y,x
, podendo ser calculadas através de: 
2a
b
x V 
 e 
4a
Δ
yV 
 . 
 
Nota: Se temos o XV de uma função quadrática (conhecida), então podemos calcular o YV fazendo a substituição do valor 
numérico do XV na função em questão. Algebricamente, temos a relação: 
 
YV = a(XV)
2 + b(XV) + c 
 
 = b2 – 4ac > 0 
 
a parábola intercepta o 
eixo x em dois pontos 
distintos 
 = b2 – 4ac = 0 
 
a parábola intercepta o 
eixo x em um único ponto 
 = b2 – 4ac < 0 
 
a parábola não intercepta 
o eixo x 
a > 0 
x1 x2 x1 = x2 = xV 
∄ x1 , x2 ∈ ℝ 
c 
c c 
c 
c 
c 
∄ x1 , x2 ∈ ℝ 
x1 = x2 = xV x1 x2 
a < 0 
V 
V 
V 
V 
V 
V 
2
xx
x
21
V


 
 
a > 0 
valor mínimo  yV 
V  [ponto de mínimo] 
xV 
V  [ponto de máximo] 
 
a < 0 
xV 
valor máximo  yV 
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Sobre a “abertura” da concavidade de uma parábola 
 
Observe as ilustrações a seguir e tire suas conclusões em relação ao coeficiente do termo com x2 da função quadrática. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Regra Prática para Construção “Otimizada” de Gráficos de Funções Quadráticas: 
 
Considere a função f(x) = ax2 + bx + c sabendo que o seu gráfico é uma parábola. Assim, é só seguir os passos... 
 
1. Calcule as coordenadas do vértice da parábola  V(XV , YV). 
Tem-se que: 
2a
b
VX 
 e 
4a
Δ
VY 
 sendo 
4acbΔ
2

 Podemos usar também: YV = a(XV)
2 + b(XV) + c 
 
2. Calcule as raízes [x’ e x”] da função f(x) = ax2 + bx + c , fazendo f(x) = 0 [caso seja necessário]. 
Para calcular as raízes, usa-se: 
2a
Δb
x


 sendo 
4acbΔ
2

 [Fórmula de Bháskara] 
As raízes identificam o(s) ponto(s) de encontro da parábola com o eixo x. Na resolução da equação do 2º grau, pode-se observar que: 
 
Se  > 0  existem 2 raízes reais diferentes. Assim sendo, a parábola “cortará” o eixo x em dois pontos: (x’, 0) e (x”, 0). 
 
Se  = 0  existem 2 raízes reais iguais (raiz dupla). Assim, a parábola “encostará” no eixo x em apenas um ponto: (x’ , 0) que coincide com o vértice V. 
 
Se  < 0  não existem raízes reais. Assim sendo, a parábola não “encontrará” o eixo x. 
 
3. Identifique o ponto onde a parábola “corta” o eixo das ordenadas [eixo y]. 
 
Este ponto [pertencente ao eixo y] sempre terá o formato: (0 , c) 
 
4. Identifique a direção da concavidade da parábola: 
 
Concavidade para cima: a > 0 Concavidade para baixo: a < 0 
 
 
 
5. Após marcar os pontos encontrados no plano cartesiano, trace então a parábola a partir do vértice. 
 
Lembre-se que a parábola é uma figura simétrica, e que o vértice encontra-se sobre o eixo de simetria, que sempre é paralelo ao eixo y. 
 
 
 
 
 
Nota: com um pouco de prática, você conseguirá construir gráficos de funções quadráticas facilmente. 
V 
V 
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Exemplos: 
 
1) Construa o gráfico das funções abaixo, com D = ℝ. 
 
a) y = x2 – 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Obs.: ● Im = { y  ℝ | y 

 – 4 } ● Quando temos na função b = 0, a parábola é simétrica em relação ao eixo “y”. 
 
 
 
 
b) f(x) = – x2 + 2x + 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Note que: Im = { y  ℝ | y  4 } 
 
 
 
c) g(x) = x2 + 6x + 9 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Note que: Im = { y  ℝ | y 

 0 } 
y 
x 
y 
x 
y 
x 
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d) f(x) = x2 – 6x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Note que: Im = { y  ℝ | y 

 – 9 } 
 
 
 
 
e) h(x) = – x2 – 4x – 9 
 
Resolução: 
 
 = (– 4)2 – 4.(–1).(–9) 
 = 16 – 36 
 = – 20  não existem raízes reais [a parábola não “corta” o eixo x] 
 
xV = 
2
2
4
)1(2
)4(





 
 
yV = 
5
4
20
)1(4
)20(





 
 
 Note que: Im = { y  ℝ | y  – 5 } 
 
 
 
2) Um pequeno foguete é lançado de uma base, como mostra o 
“esquema” ao lado, descrevendo uma trajetória parabólica de equação 
y = – 3x2 + 60x [sendo x e y medidos em metros]. Determinar: 
 
a) a altura máxima atingida pelo foguete; 
b) o alcance do disparo; 
c) a que distância do lançamento [na horizontal] o foguete atingiu a 
sua altura máxima; 
d) a que distância do lançamento, o foguete atingiu a altura máxima. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 V(–2, –5) 
Ponto deduzido através do gráfico 
Eixo de simetria da parábola 
y 
x 
–2 – 4 0 
–5 
–9 
V 
y 
x 
y 
x 0 
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3) Determine a função quadrática que graficamente passa pelos pontos M(–1, 0), N(4, 5) e P(0, –3). 
 
Resolução: 
 
Substituindo inicialmente o ponto P(0, –3) na expressão y = ax2 + bx + c temos: 
 
 –3 = a(0)2 + b(0) + c  c = –3 
 
 
Agora, substituindo o ponto M(–1, 0) e o valor de c = –3 na expressão y = ax2 + bx + c temos:0 = a(–1)2 + b(–1) – 3 
 
 0 = a – b – 3  a – b = 3 [I] 
 
 
Analogamente, substituindo N(4, 5) e c = –3 na expressão y = ax2 + bx + c encontramos: 
 
 5 = a(4)2 + b(4) – 3 
 
 5 = 16a + 4b – 3  16a + 4b = 8 [II] 
 
 
Assim, montando um sistema com as equações I e II, temos: 
 
 a – b = 3 a – b = 3 
 
 16a + 4b = 8 [ 4] 4a + b = 2 
 
 5a = 5  a = 1 
 
 
Finalmente, substituindo o valor de a = 1 na equação I, temos: a – b = 3  (1) – b = 3  b = –2 
 
 
Logo, a função quadrática procurada é: f(x) = x2 – 2x – 3 
 
 
 
 
4) [REBELLO] No desenho ao lado, temos a 
representação esquemática do sistema de 
sustentação de uma ponte pênsil. Assim, determine 
[em metros] a altura do tirante “h”. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resposta: A altura do tirante é h = 22,5 m. 
 
80 m 
4
0
 m
 30 m 
h 
+  
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Exercícios – Função Quadrática 
 
1) Construa o gráfico das funções abaixo, determinando o valor máximo (ou mínimo), o ponto de máximo (ou de mínimo) e 
o conjunto imagem para cada item. 
 
 
9xf(x)
2
a)
 
25x2xg(x)
2
b)
 
9
2xxh(x)
2
c)
 
 
5x2xy
2
d)
 
12x3xf(x)
2
e)
 
16xy
2
f)
 
 
2
xf(x) g)
 
2
2xy h)
 
168xxg(x)
2
i)
 
 






0 xse , 3
0 xse , x
T(x)
2
j)
 









2 xse , 5 
2x2 se , 4x
2 xse , 1x
y 2k)
 









3 xse , 12x 
3x1 se , 6xx
1 xse , 4
y 2l)
 
 
 
2) Através de uma pesquisa estatística, visando um planejamento estratégico, estima-se que, daqui a x anos, o número de 
pessoas que visitarão um determinado museu será dado pela lei N(x) = 30x2 – 120x + 3000, sendo que 0 ≤ x ≤ 20 anos. 
Sabendo disso, responda as questões: 
 
a) Atualmente, qual é o número de pessoas que visitam o museu? 
b) Quantas pessoas visitarão o museu no 10o ano? 
c) Daqui a quantos anos será registrado o menor número de visitantes? 
d) Qual será o menor número de visitantes? 
e) Faça uma representação gráfica do modelo matemático em questão. 
 
 
3) O custo diário de produção de uma indústria de aparelhos telefônicos é dado por C(x) = x2 – 86x + 2500, onde C(x) é o 
custo em dólares e x é o número de unidades fabricadas. Quantos aparelhos devem ser produzidos diariamente para que o 
custo seja mínimo? 
 
 
4) Um corpo lançado verticalmente do solo para cima, tem as suas posições no decorrer do tempo, dadas pela função 
horária S = 40t – 5t2 [“t” em segundos e “S” em metros]. Pergunta-se: 
 
a) Qual o tempo gasto para atingir a altura máxima? 
b) Qual a altura máxima atingida? 
 
 
5) Sabe-se que o lucro total “L” de uma empresa é dado pela fórmula L = R – C, em que, “R” é a receita total e “C” é o 
custo total da produção (em reais). Numa certa empresa que produziu “p” unidades em determinado período, verificou-se 
que R(p) = 1000p – p2 e C(p) = 300 + 40p + p2. Nestas condições, determine: 
 
a) a função L(p); 
b) a produção “p” para que o lucro da empresa seja o máximo possível para esta situação; 
c) o lucro máximo; 
d) o lucro obtido para uma produção de 300 unidades. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6) Um pintor de quadros de uma feira de artesanato calculou que o custo total de uma tela pequena é de R$30,00. Ele 
acredita que se vender cada tela por “x” reais, venderá, por mês, (90 – x) telas. [Considere que: 0 < x < 90]. 
 
a) O lucro L obtido pelo pintor é função do preço de venda x. Escreva a lei que define L(x). 
b) Qual será o lucro mensal se o preço de venda de cada tela for de R$ 40,00? 
c) Para que valor de x o pintor terá lucro máximo? Qual será esse lucro? 
 
 
7) Determinar dois números cuja soma seja 70 e o produto seja o maior possível. 
 
Para a Resolução do Exercício 6: Você viu no exercício anterior que Lucro = Receita Total – Custo Total, ou seja, L = R – C. 
Num contexto bem simples [onde tudo que é produzido é vendido], podemos dizer que a Receita Total [R] é determinada pela 
multiplicação do Preço de Venda do produto [PV] pela quantidade de Unidades vendidas [U] desse produto. O Custo Total [C] 
pode ser determinado multiplicando-se o Custo de uma unidade [C1] pela quantidade de produtos ou Unidades fabricadas [U]. 
Ou seja: 
Lucro = [PV]U – [C1]U 
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8) Qual a área máxima que pode ter uma superfície retangular de perímetro igual a 40 cm? 
 
 
9) Em uma fazenda, o seu proprietário precisa construir um galinheiro de forma retangular. Dispondo de apenas 30 metros 
de tela, o homem decide aproveitar um velho muro como uma das laterais do galinheiro. Pergunta-se: 
 
a) Qual será a área máxima desse cercado? 
b) Quais as dimensões deste galinheiro de maior área? 
 
 
10) [UFOP – MG] Certo dia, numa praia, a temperatura atingiu o seu valor máximo às 14 h. Suponhamos que, neste dia, a 
temperatura f(t) em graus Celsius era uma função do tempo t, medido em horas, dada por f(t) = – t2 + bt – 160, quando 
8  t  20. Obtenha: 
a) o valor de b; 
b) a temperatura máxima atingida nesse dia; 
c) o gráfico de f. 
 
 
11) O gráfico da função f(x) = 3x – 2 intercepta o gráfico da função g(x) = x2 em dois pontos. Quais são estes 
pontos? 
 
 
 
12) [VUNESP / Adaptada] Duas plantas de mesma 
espécie A e B, que nasceram no mesmo dia, foram 
tratadas desde o início com adubos diferentes. Um 
botânico mediu todos os dias o crescimento (em 
centímetros) destas plantas. Após 10 dias de 
observação, ele notou que o gráfico que representa o 
crescimento da planta A é uma reta e o que 
representa o crescimento da planta B pode ser 
descrito pela função 
12
24
2
xx
y


. Um esquema 
desta situação está apresentado ao lado. Calcule: 
 
a) a “lei” que descreve o crescimento da planta A; 
b) o dia em que as plantas A e B atingiram a mesma 
altura e qual foi essa altura. 
 
 
 
13) [GIOVANNI] Determine a função quadrática y = ax2 + bx + 5 correspondente ao gráfico abaixo: 
 
 
 
 
 
 Lembre-se que: 
2a
b
x V 
 
 
 
 
 
 
 
 
14) Determine a função quadrática que passa pelos pontos A(0, 18), B(2, 10) e C(–3, 0). 
 
 
15) Sabendo que f(1) = 4 e que a função f(x) = ax2 + bx + c passa pelos pontos (2, 0) e C(3, –2), determine o valor de 
S = a.b.c. 
 
 
16) [REBELLO] Para retificar um rio, foi construído 
um canal de formato parabólico, conforme a figura 
ao lado. Sabendo que a profundidade máxima do 
canal é de 12 m, determine a largura do canal a cada 
4 m de profundidade. 
 
Planta A 
Planta B 
Tempo x (dias) 
Altura y 
(cm) 
2 
3 
0 
x 
9 
y 
2 
V 
40 m 
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17) [REBELLO] O centro de gravidade de um golfinho saltador 
descreve uma trajetória parabólica, conforme a figura ao lado. 
Considerando as medidas apresentadas no desenho, determine a 
altura máxima atingida pelo golfinho na situação em questão.18) [REBELLO] Um foguete experimental é disparado do topo 
de uma colina, toca a extremidade superior de uma árvore, 
sem mudar sua trajetória e atinge o solo, conforme a figura a 
seguir. Determine: 
 
a) a altura máxima atingida; 
b) a distância do ponto em que o foguete passa pela altura máxima até o 
topo da árvore. 
 
 
 
 
 
 
Reflita sobre isto: O mundo é um lugar perigoso de se viver, não por causa daqueles que fazem o mal, mas sim por causa daqueles que 
observam e deixam o mal acontecer. [Albert Einstein] 
 
 
RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS 
 
 
 
1a) f(x) = x2 – 9 1e) f(x) = –3x2 + 12x 
 
  = 36  = 144 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1b) f(x) = 2x2 – 5x + 2 
 
  = 9 
 1f) y = –x2 – 16 
 
 
  = – 64 
 
 
 
 
 
 
 
1c) f(x) = –x2 + x – 2/9 
 
  = 1/9 
 
 
 
 
 1g) f(x) = x2 
 
  = 0 
1d) y = 2x2 + 5x 
 
  = 25 
 Valor mínimo = –9 
 
 Ponto de mínimo  (0, –9) 
 Im = { y  ℝ | y  –9 } 
 Valor máximo = 12 
 
 Ponto de máximo  (2, 12) 
 Im = { y  ℝ | y  12 } 
 Valor máximo = –16 
 
 Ponto de máximo  (0, –16) 
 Im = { y  ℝ | y  –16 } 
 Valor mínimo = 0 
 
 Ponto de mínimo  (0, 0) 
 Im = { y  ℝ | y  0 } 
 Valor mínimo = –9/8 
 
 Ponto de mínimo  (5/4, –9/8) 
 Im = { y  ℝ | y  –9/8 } 
 Valor máximo = 1/36 
 
 Ponto de máximo  (1/2, 1/36) 
 Im = { y  ℝ | y  1/36 } 
 Valor mínimo = –25/8 
 
 Ponto de mínimo  (–5/4, –25/8) 
 Im = { y  ℝ | y  –25/8 } 
x 
V 
–3 
y 
0 
3 
–9 
x 
2 
–9/8 
y 
½ 
V 
2 
5/4 0 
x 
4 
–2 
y 
–1 1 2 
1 
x 
–2/9 
1/36 
y 
1/3 2/3 
V 
½ 
 
V 
x –5/2 
y 
–5/4 
0 
–25/8 
x 
y 
–1 1 
–16 
V 
–17 
x 
4 
12 
y 
2 
0 
V 
 
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anos 2 20 
12600 
Visitantes 
0 
2880 
3000 G
rá
fi
co
 f
o
ra
 d
e
 p
ro
p
o
rç
ã
o
! 
 
1h) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1i) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1j) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1k) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1l) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2a) 3000 pessoas 2e) 
 
2b) 4800 pessoas 
 
2c) Daqui a 2 anos 
 
2d) 2880 visitantes 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) 43 aparelhos 4a) 4 s 4b) 80 m 
 
 
5a) L(p) = – 2p2 + 960p – 300 
 
5b) p = 240 unidades (XV) 
 
5c) Lucro máximo = 114.900 reais (YV) 
 
5d) L(300) = 107.700 reais 
 
 
6a) L(x) = – x2 + 120x – 2700 6b) R$ 500,00 
 
6c) x = 60 reais e L(60) = 900 reais 
 
 
7) 35 e 35 8) 100 cm2 
 
 
9a) 112,5 m2 9b) 15 x 7,5 m 
 
 
10a) b = 28 10b) temper. máxima = 36 ºC (YV) 
 
10c) 
 
 
 
 
11) Os pontos são: (1, 1) e (2, 4) 
 
12a) 
2
3x
y 
 
 
12b) Atingiram a mesma altura, de 9 cm, no 6º dia. 
 
 
13) y = – x2 + 4x + 5 
 
 
14) f(x) = – 2x2 + 18 15) S = –70 
 
 
16) profundidade “zero”  largura do canal = 40 m 
 
 profundidade 04 m  largura do canal  32,7 m 
 
 profundidade 08 m  largura do canal  23,1 m 
 
 profundidade 12 m  largura do canal = “zero” 
 
 
17) 3,2 m 18a)  29,3 m 18b)  28,9 m 
 
 
tempo (h) 8 14 20 
36 
temperatura (ºC) 
0 
V 
 Valor mínimo = 0 
 
 Ponto de mínimo  (0, 0) 
 Im = { y  ℝ | y  0 } 
 Valor máximo = 0 
 
 Ponto de máximo  (– 4, 0) 
 Im = { y  ℝ | y  0 } 
g(x) = – x2 – 8x – 16 
 
 = 0 
y = 2x2 
 
 = 0 
x 
–16 
– 8 
y 
– 4 0 
V 
x 
8 
–2 
y 
–1 1 2 
2 
 Ponto de mínimo  infinitos pontos: (x , –3) com x < 0 
 Im = { y  ℝ | y  0 ou y = –3 } 
 
 Valor mínimo = –3 
 Valor máximo = 5 
 
 Ponto de máximo  infinitos pontos: (x , 5) com x > 2 
 Im = { y  ℝ | y < –3 ou 0  y  4 ou y = 5 } 
x 
4 
y 
0 2 
–3 
V 
x 
– 4 
–3 
y 
–2 
5 
V 
0 
4 
2 
– 3 
 Im = { y  ℝ | –25/4  y < 0 ou y  5 } 
 
 Ponto de mínimo  (1/2 , –25/4) 
 
 Valor mínimo = –25/4 
x 
–6 
–1 
y 
– 4 
5 
V 
0 3 
–25/4 
1/2 
IFSC / Funções de 1º e 2º Grau Prof. Júlio César TOMIO 
 
 
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Curiosidade: A Catenária 
 
Existem duas formas geométricas que são muito parecidas: a 
parábola e a catenária. As curvas representadas nas figuras [1] 
e [2] ao lado, têm a mesma longitude, no entanto, as primeiras 
são catenárias e as segundas, parábolas. 
 
A diferença é perceptível, embora sutil. Veja que na segunda 
figura, as curvas são mais pontiagudas. Quando a curva não é 
muito pronunciada, a única forma de distinguir uma catenária 
de uma parábola é através das respectivas equações. 
 
Assim, em situações digamos “simples”, podemos modelar um 
problema matematicamente fazendo uso de uma parábola e não 
de uma catenária, obviamente considerando uma aproximação 
razoável. Faríamos isso, pois a catenária necessita de uma 
função “transcendente” para representá-la analiticamente e a 
parábola, na posição em que aparece na figura ao lado, pode 
ser representada analiticamente por uma função quadrática, 
como acabamos de estudar. 
 
 
Matematicamente falando, a catenária descreve uma família de curvas planas semelhantes às que seriam geradas por uma 
corda [ou cabo] suspensa pelas suas extremidades e sujeita à ação da gravidade. A palavra catena significa “corrente”. 
 
 
 
 
A figura ao lado apresenta uma catenária [ou cabo 
pendente] como um cabo telefônico [ou de tv, por 
exemplo] estendido entre as duas torres, e pendendo 
livremente devido ao seu peso. Note que a figura 
está posicionada num sistema de coordeandas 
cartesianas. 
 
Figura: THOMAS, George B. Cálculo. v.1. Pearson, 2009. 
 
 
 
 
 
Agora, veja abaixo que a equação da curva catenária é dada por uma função hiperbólica: 
 
 







a
x
a.coshy
 [onde “cosh” é o cosseno hiperbólico] 
 
Sendo que a sua equivalente forma exponencial é: 
 x/ax/a ee
2
a
y 
 [onde “e” é o número de Euler] 
 
 
Abaixo temos catenárias para diferentes valores de “a”. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Aspectos Históricos: 
 
O problema de descrever matematicamente a forma da curva formada por um fio suspenso entre dois pontos e sob a ação 
exclusiva da gravidade foi proposto por Galileu Galilei, que propôs a conjectura de que a curva fosse uma parábola. Aos 17 
anos de idade, Huygens mostrou em 1646 de que a conjectura era falsa. Em 1690, Johann Bernoulli relançou o problema à 
comunidade científica. A resolução do problema foi publicada independentemente em1691 por John Bernoulli, Leibniz e 
Huygens. 
 
 
Referências [acessadas em 17/08/2011]: 
 
 http://pt.wikipedia.org/wiki/Caten%C3%A1ria 
 
 http://sosmatematica.com.sapo.pt/mundomatematico/catenaria.htm Interessou? Procure saber mais! 
 
 
 
Tópico Extra: Soma e Produto das Raízes de uma Equação do 2º grau 
 
Para toda equação quadrática do tipo: 
0
2
 cbxax
 [ com 
a
 ℝ* e 
b
, 
c
 ℝ ] podemos encontrar as suas 
raízes 
x e x  através da fórmula: 
a
b
x
2


 [com 
acb 4
2

] conhecida no Brasil como Fórmula de Bhaskara. 
 
Entretanto, é fácil de encontrar duas relações existentes entre as raízes 
x
e 
x  [experimente!]. Elas são conhecidas como: 
 
SOMA das raízes: 
a
b
xx 
 e PRODUTO das raízes: 
a
c
xx  .
 
 
Sabendo disso, podemos resolver mentalmente [“DKBÇA”] um grande número de equações do 2º grau, principalmente 
aquelas em que as raízes são números inteiros. 
 
Assim, vamos considerar SOMENTE as equações do 2º grau em que 
1a
. Desta forma, a equação fica: 
0
2
 cbxx
. 
 
Isso implica que a Soma [
S
] e o Produto [
P
] entre as raízes ficarão simplificados: 
bxx 
 e 
cxx  . 
 
E assim, para facilitar o processo de resolução, podemos escrever a equação quadrática na forma: 
0
2
 PSxx 
 
Vejamos alguns exemplos: 
 
065
2
 xx 





3
2
x
x
 
065
2
 xx 





3
2
x
x
 
0214
2
 xx 





7
3
x
x
 
04
2
 xx 





4
0
x
x
 
 
 
065
2
 xx 





6
1
x
x
 
065
2
 xx 





6
1
x
x
 
02510
2
 xx 





5
5
x
x
 
09
2
x 





3
3
x
x
 
 
 
Agora, experimente você! 
 
0127
2
 xx 





..........
..........
x
x
 
012
2
 xx 





..........
..........
x
x
 
0128
2
 xx 





..........
..........
x
x
 
 
 
Observações: 
 
 Para resolver equações quadráticas pelo processo sugerido aqui [DKBÇA], obviamente se torna necessária uma “boa” prática. 
 
 Caso você não consiga resolver mentalmente uma equação do 2º grau em menos de 20 segundos [aproximadamente], aplique a 
Fórmula de Bhaskara, pois se lembre que as raízes podem não ser números inteiros [e podem ser até números complexos]. 
 
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Curiosidade: A Fórmula que utilizamos para encontrar as raízes de uma equação do 2º grau! 
 
Existem várias maneiras de deduzir a fórmula que conhecemos como “Fórmula de Bhaskara”. 
 
Veja abaixo uma destas maneiras e veja se você é capaz de compreender cada um dos passos! 
 
 
02  cbxax
 
 
cbxax 2
 
 
 
a
c
x
a
b
x 2
 
 
 
22
2
22













a
b
a
c
a
b
x
a
b
x
 
 
 
2
22
42 a
b
a
c
a
b
x 






 
 
 
2
22
4
4
2 a
bac
a
b
x








 
 
 
2
2
4
4
2 a
acb
a
b
x








 
 
 
2
2
4
4
2 a
acb
a
b
x


 
 
 
a
acb
a
b
x
2
4
2
2 

 
 
 
a
acbb
x
2
42 

 
 
 
 
 
Curta se puder... 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Não é quem eu sou por dentro e sim, o que eu faço é que me define. [Do filme: Batman Begins]