Mat Ensino 03 Funcao Expo e Log 2016 2

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IFSC / Função Exponencial e Logarítmica Prof. Júlio César TOMIO 
 
 
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Retrato de Leonhard Euler 
[autoria de Johann G. Brucker] 
ESTUDO DAS FUNÇÕES ELEMENTARES [Parte 2] 
 
FUNÇÃO EXPONENCIAL 
 
 
Inicialmente... 
 
Para melhor se desenvolver no conteúdo de função exponencial e também em outros que veremos a seguir, é importante 
que você tenha razoável domínio dos conceitos e propriedades da potenciação [ou exponenciação]. 
 
 
Introdução: 
 
Faremos nosso estudo a partir de dois “modelos padrão” de função exponencial, que se diferenciarão pela escolha da base. 
 
As bases padrão serão assim denominadas:  Base 
a
, sendo que 
0a
 e 
1a
. 
 Base 
e
, sendo que 
...718,2e
 [Número de Euler]. 
 
 
Definição: 
 
Uma Função Exponencial [chamaremos de padrão] é toda função 
RRf :
 definida por uma lei de associação do tipo: 
 
 
x
abxf .)( 
 ou 
x
aby .
, com 
0a
 e 
1a
. 
 
ou Nota: para ambos os modelos teremos 
0b
. 
 
 
xa
ebxf .)( 
 ou 
xa
eby .
, com 
0a
. 
 
 
Breve Histórico: 
 
Na matemática, o NÚMERO DE EULER [pronuncia-se óilar], representado por “
e
”, é assim 
chamado em homenagem ao matemático suíço Leonhard Euler, é a base de muitas funções 
exponenciais e também dos logaritmos naturais [que estudaremos em breve]. As variantes 
do nome desse número incluem: número ou constante de Napier, ou ainda, número 
neperiano. A primeira referência a essa constante foi publicada em 1618 na tabela de um 
apêndice de um trabalho sobre logaritmos de John Napier. No entanto, este não contém a 
constante propriamente dita, mas apenas uma simples lista de logaritmos naturais calculados 
a partir desta. A primeira indicação da constante foi descoberta por Jakob Bernoulli, quando 
tentava encontrar um valor para a seguinte expressão [muito comum em áreas ligadas à 
engenharia e a fenômenos naturias e também no cálculo de juros compostos]. 
 
h
h
he
/1
0
)1(lim 

 cujo valor é aproximadamente: 2,718 281 828 459 045 235 360 287. 
 
Adaptado de: http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_de_Euler [acessado em: 03/04/2011] 
 
 
Crescimento e Decrescimento: 
 
 Para 
x
abxf .)( 
 [com 
0b
] :  Para 
xa
ebxf .)( 
 [com 
0b
] teremos: 
 
 





edecrescentéxfase
crescenteéxfase
)(1
)(1
 





edecrescentéxfase
crescenteéxfase
)(0
)(0
 
 
Visualmente, os valores da base 
a
: Visualmente, os valores do coeficiente 
a
: 
 
 
 
 
 
 
 
Observação: 
 
Caso tenhamos 
0b
, haverá uma inversão do crescimento ou decrescimento da função exponencial, isto quer dizer que, 
para 
0b
, no esquema acima, onde a função é crescente será decrescente e vice-versa. Por que isso acontece? 
 
0 
função crescente função decrescente 
1 0 
função crescente função decrescente 
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Exemplos de Funções Crescentes: 
 
 
x
xf 2)( 
  x
xg 






2
3
)(
  
x
exh
2
.5)( 
 
 x
y








4
1
  
x
y 27 
  x
y 






2
1
7
 
 
 
Exemplos de Funções Decrescentes: 
 
 
x
xf )14,0()( 
  x
xg 






2
1
)(
  
x
exh
2
.4)(


 
 x
e
y
3
1
7 






  
x
y 27 
  x
y 






2
1
7
 
 
 
Nota: A função 
x
ey 
 também é conhecida 
como função exponencial natural. 
 
 
 
Representação Gráfica: 
 
Geometricamente, a função exponencial é representada por uma curva aberta, eventualmente chamada de “exponencial”, 
acompanhada de uma linha reta “imaginária” denominada assíntota horizontal, que limita a curva exponencial. Isso implica 
em dizer que o gráfico da função exponencial nunca ultrapassará a sua assíntota [nem mesmo irá tocá-la]. 
 
Agora, para encontrarmos os interceptos com os eixos coordenados, utilizaremos o procedimento “tradicional”. 
 
 Para encontrar o intercepto “y”, substituir 
0x
 na função e encontrar o respectivo 
y
, determinando o ponto 
),0( y
. 
 Para encontrar o intercepto “x”, substituir 
0y
 na função e encontrar o respectivo 
x
, determinando o ponto 
)0,(x
. 
 
Observação Importante: você deverá notar que os gráficos das funções exponenciais (padrão) que estudaremos aqui, 
sempre interceptarão o eixo das ordenadas [y], entretanto nem sempre interceptarão o eixo das abscissas [x]. 
 
Aprecie alguns casos: 
 
 xabxf .)(  xabxf .)(  cabxf x  .)( cabxf x  .)(
 
 
 
0b 0b 0b e 0c 0b e 0c 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 xabxf .)(  xabxf .)(  cabxf x  .)( cabxf x  .)(
 
 
 0b 0b 0b e 0c 0b e 0c 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Atenção! 
xxxx
21)2.(1)2(2 
 
C
re
s
c
e
n
te
 
D
e
c
re
s
c
e
n
te
 
0 
0 
y 
x 
y 
x 
0 
0 
y 
x 
y 
x 
y 
x 0 
x 0 
y 
c 
c 
y 
x 0 
x 
0 
y 
c 
c 
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Através dos exemplos a seguir, faremos uma análise de algumas das propriedades citadas, entre outras: 
 
 
Ex. 1: Construa o gráfico da função: 
x
xf 2)( 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Note que: 
 
 D = 
R
  Im =
*
R
  Assíntota HORIZONTAL em 
0y
. 
x
xf 2)( 
 é uma Função Crescente [pois 
1a
]. 
 
 
 
Ex. 2: Construa o gráfico da função: x
xg 






2
1
)(
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Note que: 
 
 D = 
R
  Assíntota HORIZONTAL em 
0y
. 
 Im =
*
R
 
)(xg
 é uma Função Decrescente [pois 
10  a
]. 
 
 
 
 
Ria [se puderes] 
 
 
666  besta 
 
333  meio besta 
 
6662  besta quadrada 
 
25,807  raiz de todo o mal 
 
25,807/2  mal cortado pela raiz 
 
 Como vai querer o seu corte hoje, senhor? 
 Hoje vamos de 
xey 
. 
 Perfeitamente! 
y 
x 
y 
x 
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     






x
y
      







x
y
)(xh
 
)(xg
 
)(xf
 
Ex. 3: Esboce graficamente as funções: 
12)( 
x
xh
 , 
x
xg 2)( 
 e 
12)( 
x
xf
 no mesmo plano cartesiano.Note que: 
 
 Dh = R  Imh =
}1|{  yRy
  Assíntota HORIZONTAL de 
)(xh
 em 
1y
. 
 Dg = R  Img =
}0|{  yRy
  Assíntota HORIZONTAL de 
)(xg
 em 
0y
. 
 Df = R  Imf =
}1|{  yRy
  Assíntota HORIZONTAL de 
)(xf
 em 
1y
. 
 
 
Ex. 4: Construa o gráfico da função: 
1.2 
x
ey
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ex. 5: Represente graficamente as funções 
x
xf 2)( 
 e 
x
xg 2)( 
 no mesmo sistema de coordenadas cartesianas. 
 
 
 
 
 
x f(x) g(x) 
–2 1/4 –1/4 
–1 1/2 –1/2 
0 1 –1 
1 2 –2 
2 4 –4 
 
 
 
 
 
 
Atenção! 
 
x
xg 2)( 
 
)2()(
x
xg 
 
)2.(1)(
x
xg 
 
x
xg 21)( 
 
)(xf
 
)(xg
 
x 
y 
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Ex. 6: Determine a lei de formação 
x
abxf .)( 
 da função exponencial que graficamente passa pelos pontos 
)3/1,0(A
, 
)1,1(B
 e 
)3,2(C
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ex. 7: Uma população “experimental” tem atualmente 200 indivíduos e cresce a uma taxa de 5% ao ano. 
 
a) Escreva uma fórmula para a população “P” em função do tempo “t”, em anos. 
b) Avalie a população daqui a 10 anos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ex. 8: Para cada uma das funções dadas a seguir, indique se é de crescimento ou decaimento exponencial e encontre a taxa 
percentual constante [de crescimento ou decaimento] utilizando como base o modelo genérico: 
niQQ )1(.0 
. 
 
a) 
t
P )307,1(.2100
 
b) 
n
Q )81,0(.50
 
c) 
t
tT )035,0(.13,14)( 
 
d) 
x
xV )14,1(.8000)( 
 
e) 
x
xf 2)( 
 
f) 
x
ey 
 
g) 
x
xN
4,0)2(.18000)( 
 
 
 
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-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 
Tópico Especial: Função Exponencial x Progressão Geométrica [PG] 
 
Veja o comparativo: 
 
 xabxf )( 11  nn qaa
 
 
 xxf 23)(  123  nna
 
 
0x
  
0
23)0( f
  
03)0( f
 
1n
  
11
1 23

a
  
031 a
 
1x
  
1
23)1( f
  
06)1( f
 
2n
  
12
2 23

a
  
062 a
 
2x
  
2
23)2( f
  
12)2( f
 
3n
  
13
3 23

a
  
123 a
 
3x
  
3
23)3( f
  
24)3( f
 
4n
  
14
4 23

a
  
244 a
 
4x
  
4
23)4( f
  
48)4( f
 
5n
  
15
5 23

a
  
485 a
 
 
 
Podemos observar que os valores obtidos são os mesmos [indicados pelas setas verdes]. A diferença está na defasagem dos 
valores de 
x
 em relação aos valores de 
n
, pois na PG o termo inicial é o “primeiro termo” [
1n
]. 
 
Podemos dizer que uma Progressão Geométrica [PG] é uma Função Exponencial com Domínio Natural, ou seja, D = ℕ. 
 
Graficamente, temos: 
 
 xxf 23)(  123  nna
 
 
 
Gráficos plotados no MS Excel. 
 
Observe que a Função Exponencial, além de contínua, pode apresentar valores negativos em seu Domínio, enquanto a 
Progressão Geométrica sempre iniciará no “primeiro termo”. 
 
Vale comentar ainda que quando quisermos usar o termo “exponencial” para indicar o crescimento [ou a variação] de uma 
grandeza em determinado fenômeno, o termo “geométrico” é uma opção de sinônimo. Veja os exemplos abaixo: 
 
 ... devemos tomar uma atitude, pois a epidemia está crescendo exponencialmente... 
 
 ... devemos tomar uma atitude, pois a epidemia está progredindo geometricamente... 
 
 
 
Exercícios – Função Exponencial 
 
1) Construa cada dupla de gráficos das funções abaixo no mesmo sistema cartesiano ortogonal. 
 
a) 
x
xf 3)( 
 e 
x
xg )3/1()( 
 
 
b) 
1
2)(


x
xf
 e 
12)( 
x
xg
 
 
0 
5 
10 
15 
20 
25 
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2) Construa o gráfico das funções dadas, determinando o conjunto imagem e representando as respectivas assíntotas. 
 
a) 
12)( 
x
xf
 b) 
22 
x
y
 c) 
1
3)(


x
xg
 
 
d) 
2
3)(


x
xh
 e) 
x
xf
2
2)( 
 f) x
xg
2
3
1
)( 






 g) x
y








3
1
 
 
 
3) Determine a lei para a função exponencial 
x
abxf .)( 
 e 
ax
ebxg .)( 
, cujos valores são dados na tabela a seguir. 
 
x f(x) g(x) 
–2 1,47200 – 9,0625 
–1 1,84000 – 7,2500 
0 2,30000 – 5,8000 
1 2,87500 – 4,6400 
2 3,59375 – 3,7123 
 
 
4) Determine uma fórmula 
x
aby .
 para cada função exponencial que tem seu gráfico demonstrado a seguir. 
 
 
a) b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5) Associe cada gráfico a sua respectiva função, 
justificando sua escolha. 
 
 
I. 
xy 3
 
II. 
xy  2
 
III. 
xy 2
 
IV. 
xy )5,0(
 
V. 
23  xy
 
VI. 
2)5,1(  xy
 
 
 
 
 
 
 
 
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6) Esboce o gráfico de cada função e descreva seu Domínio, Imagem, Crescimento [ou Decrescimento] e assíntota. 
 
a) 
x
xf 2.3)( 
 c) 
x
exf
3
.4)( 
 
b) 
x
xf 5,0.4)( 
 d) 
x
exf

 .5)(
 
 
 
7) Verifique se cada uma das funções dadas a seguir é de crescimento ou decaimento exponencial e encontre a taxa 
percentual constante de crescimento ou decaimento. Lembre-se do modelo: 
niQQ )1(.0 
. 
 
a) 
t
tP )09,1(5,3)( 
 
b) 
t
tP )018,1(3,4)( 
 
c) 
x
xf )968,0(963,78)( 
 
d) 
x
xf )9968,0(56073)( 
 
 
 
8) A expressão 
x
xN
2,0
31500)( 
 permite calcular o número de bactérias existentes em uma cultura experimental, ao 
completar “
x
” horas após o início de sua observação. Pergunta-se: 
a) Qual a taxa percentual [de crescimento] na função em questão? 
b) Qual o número de bactérias existentes no início da observação? 
c) Quantas bactérias existirão na cultura após 20 minutos? 
d) Quantas bactérias existirão na cultura após 1 semana? 
 
 
 
9) As seguintes funções dão as populações “P” de 4 cidades: A, B, C e D, com o tempo “t” em anos: 
 
t
D
t
C
t
B
t
A PPPP )9,0.(900)08,1.(200)03,1.(1000)12,1.(600 
 
 
a) Qual cidade tem maior taxa percentual de crescimento? Qual é essa taxa? 
b) Qual cidade tem maior população inicial? Que população é essa? 
c) Alguma cidade está diminuindo o tamanho populacional? Qual é sua taxa percentual de redução? 
 
 
 
10) No Parque “Sol e Neve”, um trenó percorre o trajeto de uma pista até cair numa piscina, conforme o gráfico abaixo. 
 
 
 
 
 
Trecho I: D = [ 0 , 2 ] 
 
 
Trecho II: D = ] 2 , 5 ]Trecho III: D = ] 5 , 8 ] 
 
 
Trecho IV: D = ] 8 , 10 ] 
 
 
Sabendo que o trecho I é modelado por uma função quadrática, o trecho II por uma função linear, o trecho III por uma 
função exponencial e o trecho IV por uma função constante, pede-se: 
 
a) Qual a função que descreve a trajetória do carrinho no trecho I? 
b) Qual a função que descreve a trajetória do carrinho no trecho II? 
c) Qual a função que descreve a trajetória do carrinho no trecho III? 
d) Qual a função que descreve a trajetória do carrinho no trecho IV? 
Observação: Neste exercício, calcule todos 
os valores solicitados com a máxima precisão 
numérica e escreva a resposta da questão [a] 
com arredondamento de 2 casas decimais e 
as demais respostas com números inteiros. 
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11) Considerando-se as taxas de natalidade e mortalidade, a população da cidade A apresenta crescimento de 5% ao ano, 
e a população da cidade B aumenta, a cada ano, 1500 habitantes em relação ao ano anterior. Em 1990, a população 
da cidade A era de 200.000 habitantes e a população da cidade B era de 220.000 habitantes. 
 
 
a) Obtenha a lei que representa a população P de cada uma das duas cidades em “t” anos, a partir de 1990. 
b) Forneça a população de A e de B em 2003. 
c) Construa os gráficos que representam as leis [obtidas no item “a”] no mesmo sistema cartesiano ortogonal. 
 
 
Para refletir: Podemos escolher o que semear, mas somos obrigados a colher aquilo que plantamos. [Provérbio chinês] 
 
 
 
Tópico Extra: Conversão da Base de uma Função Exponencial 
 
 Conversão de uma função de base 
e
 para uma função de base 
a
 [segundo os modelos padrão aqui definidos]: 
 
 
xa
ebxf .)( 
  
x
abxf .)( 
 
Exemplos: 
 
[a] 
xexg 23)( 
  
xexg )2(3)( 
  
xxg )389,7(3)( 
 
 
[b] 
xexh  5)(
  
xexh )1(5)( 
  
xxh )368,0(5)( 
 
 
 
 Conversão de uma função de base 
a
 para uma função de base 
e
 [segundo os modelos padrão aqui definidos]: 
 
 
x
abxf .)( 
  
xa
ebxf .)( 
 
Exemplos: 
 
[a] 
xxg 27)( 
  
2ln7)(  xexg
  
xexg 693,07)( 
 
 
[b] x
xh 




3
1
4)(
  
)3/1ln(4)(  xexh
  
xexh 099,14)( 
 
 
Note que, neste último caso, aplicamos uma relação que se utiliza de um logarítmo natural [que estudaremos a seguir]. 
 
axx ea ln
 
 
 
 
 Esquentando o Processador! 
 
Considere que: 
ba 
 
00  beacom
 
 
Multiplicando toda a equação por 
a
: 
aba 2
 
Subtraindo 
2b
 nos dois membros da equação: 
222 babba 
 
Desmembrando os produtos: 
)())(( babbaba 
 
Simplificando a equação por 
)( ba 
: 
bba 
 
Como inicialmente definimos que 
ba 
: 
bbb 
  
bb 2
 
Dividindo a toda equação por 
b
: 
12 
 
 
 Então: 
12 
. É possível? Existe algum erro? 
 
 
Descontração: Concentre-se no pequeno texto abaixo e deixe que a sua mente leia corretamente o que está escrito. 
 
35T3 P3QU3N0 T3XTO 53RV3 4P3N45 P4R4 M05TR4R COMO NO554 C4B3Ç4 CONS3GU3 F4Z3R CO1545 1MPR3551ON4ANT35! R3P4R3 
N155O! NO COM3ÇO 35T4V4 M310 COMPL1C4DO, M45 N3ST4 L1NH4 SU4 M3NT3 V41 D3C1FR4NDO O CÓD1GO QU453 
4UTOM4T1C4M3NT3, S3M PR3C1S4R P3N54R MU1TO, C3RTO? POD3 F1C4R B3M ORGULHO5O D155O! SU4 C4P4C1D4D3 M3R3C3! 
 P4R4BÉN5! 
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RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS 
 
 
 
 
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3) 
x
xf )25,1(.3,2)( 
 e 
x
exg
2231,0
.8,5)(


 
 
4a) 
x
y )2.(3
 [que é a mesma que: 
2/
2.3
x
y 
] 4b) 
x
ey )/1.(2
 [que é a mesma que: 
x
ey

 .2
] 
 
5) I. O gráfico (a) é o único gráfico formado e posicionado como o gráfico de 
x
ay 
 com 
1a
. 
II. O gráfico (d) é o simétrico de 
x
y 2
 com relação ao eixo y 
III. O gráfico (c) é o simétrico de 
x
y 2
 com relação ao eixo x. 
IV. O gráfico (e) é o simétrico de 
x
y 5,0
 com relação ao eixo x. 
V. O gráfico (b) é o gráfico de 
x
y

 3
 transladado para baixo em 2 unidades. 
VI. O gráfico (f) é o gráfico de 
x
y 5,1
 transladado para baixo em 2 unidades. 
 
 
6) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7a) i = 0,09 e assim P(t) é uma função de crescimento exponencial de 9%. 
7b) i = 0,018 e assim P(t) é uma função de crescimento exponencial de 1,8%. 
7c) i = –0,032 e assim f(x) é uma função de decaimento exponencial de 3,2%. 
7d) i = –0,0032 e assim f(x) é uma função de decaimento exponencial de 0,32%. 
 
8a) i = 24,57% 8b) N(0) = 1500 bactérias 8c) N(1/3) = 1614 bactérias 8d) N(168) = 1,612 . 1019 bactérias 
 
9a) Cidade A, com 12%. 9b) Cidade B, com 1000 habitantes. 9c) Cidade D, com 10%. 
 
10a)
 1
2
5
2
1 2
 xxy
 10b) 
3
4
3
4
 xy
 10c) 
x
y )5,0(.256
 10d) 
1y 
 
11a) A partir de 1990: PA = 200.000(1,05)
t e PB = 220.000 + 1500t 11b) Em 2003: PA = 377.129 hab. e PB = 239.500 hab. 
 
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LOGARITMAÇÃO 
 
Introdução: Resolvendo algumas equações exponenciais básicas 
 
Vamos resolver as seguintes equações exponenciais: 
a) 
05122 
x
 b) 
96
4
1
3
1








x c) 
23 
x
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Utilizando somente os conceitos básicos de potenciação, não poderemos solucionar rapidamente a equação do item “c”. Para 
chegarmos com precisão à solução da referida equação, precisaremos conhecer a operação logaritmação. Vejamos: 
 
Matematicamente, podemos escrever um número específico de várias formas: 
 
O número 
4
3
 pode ser escrito na forma 
)25,0.(3
4
1
3 
. Note que, obviamente, ambas as formas indicam o valor: 
75,0
. 
 
Observe que na forma 1ª forma, a fração pode ser considerada uma divisão e na 2ª forma, a operação utilizada é a 
multiplicação. Sem formalismos matemáticos, podemos, em muitos casos, trocar uma operação em que um número está 
envolvido, sem alterar o seu valor. Fazendo uso de um raciocínio similar, podemos transformar as expressões: 
 
 
23 
x
 

 
x2log3
 
 ↳ forma exponencial ↳ forma logarítmica 
 
 
Agora então, podemos considerar a definiçãoda operação LOGARITMAÇÃO: 
 
 
 
 
baxb x
a
log
 








x
aea
b
com 10
0
 
 
 
 
 
Observemos que, simplesmente, a operação logaritmação tem o seu resultado chamado de logaritmo. Veja a comparação: 
 
 
63.2 
 operação: multiplicação 
 resultado: produto [6] 
 
 símbolo (sinal da operação): “ . ” 
 
 
38log 2 
 operação: logaritmação 
resultado: logaritmo [3] 
 
símbolo (sinal da operação): “ log ” 
 
Números a 
serem operados 
ℝ 
base logaritmando ou 
antilogaritmo 
logaritmo Símbolo da 
operação 
expoente 
base 
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Através da definição, podemos observar também que o logaritmo é um expoente na operação de potenciação. Veja: 
 
82
3

 

 
38log2 
 
255
2

 

 
225log5 
 
 
322
5

 

 
532log2 
 
273
3

 

 
327log3 
 
 
10010
2

 

 
2100log10 
 
100010
3

 

 
31000log10 
 
 
813 
x
 

 
x81log3
 
 
Neste último caso, aplicando a definição de logaritmação, temos que: 
 
x81log3
 

 
813 
x
 
 
4
33 
x
 
 
4x
 

 
481log3 
 
Bases dos Logaritmos: 
 
Como vimos anteriormente, a base “a” dos logaritmos deve satisfazer as condições: a > 0 e a  1. 
 
Entretanto, temos duas bases consideradas padrão para os logaritmos. 
Elas definem nomes aos logaritmos. Veja: 
 
 Logaritmo Decimal  Base 10 
 ↳ Quando fazemos uso de um logaritmo decimal, a base 10 não precisa ser 
escrita, pois a consideramos como uma base padrão. Veja o exemplo: 
 
31000log1000log 10 
 
 
 Logaritmo Natural  Base 
e
 
 ↳ Quando fazemos uso de um logaritmo natural [às vezes chamado 
também de logaritmo Neperiano], a base 
e
 não precisa ser escrita, pois a 
consideramos como uma base padrão. Lembre-se que 
e
 = 2,7182818284... 
[Número de Euler]. Note que, para isso, mudamos o símbolo 
log
 para 
ln
. 
Veja o exemplo: 
9078,61000log1000ln  e
 
 
 
Observação: 
 
A grande maioria das calculadoras científicas da atualidade calcula facilmente logaritmos na base 10 e na base 
e
. 
Normalmente essas funções se encontram em teclas adjacentes. Todavia, calculadoras com tecnologia mais moderna já 
calculam logaritmos em qualquer base [obviamente maior que zero e diferente de um]. 
 
 
Consequências da Definição: 
 
Através da definição: 
baxb
x
a log
, podemos facilmente comprovar que: 
 
1log aa
 
01log a
 
ma
m
a log
 
b
baa 
log
 
 
Em particular, se escrevemos a expressões acima com logaritmos naturais, teremos: 
 
1ln e
 
01ln 
 
me
m
ln
 
b
be ln
 
 
Exemplos: 
 
17log7 
 
01log12 
 
143log
14
3 
 
32
32log22 
 
 
114log14 
 
01log 
 
5110log
51

 
14
14log88 
 
 
1log ee
 
01log e
 
2ln
2


e
 
7
7ln
e
 
 
 Experimente você! 
 
Escreva algumas expressões do tipo 
xba log
 com valores numéricos 
“inapropriados” para a base “
a
” ou 
para “
b
” e veja se você consegue 
encontrar o correspondente valor do 
logaritmo “
x
”. Com isso, tire suas 
próprias conclusões! 
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Propriedades da Logaritmação: 
 
Algumas propriedades existentes na logaritmação são exclusivas dessa operação e muito úteis em inúmeras situações. 
[a demonstração das mesmas ficará a cargo do leitor] São elas: 
 
cbcb aa  loglog
 
cbcb aaa loglog)(log 
 
 
 
bnb a
n
a log.log 
 
cbcb aaa loglog)/(log 
 
 
 
Exemplos: 
 
 
1212loglog 1010  xx
  
8log2log)82(log 222 
 
 
 
mm  14)4(log18log 55
  
xx 3/13/13/1 log14log)14(log 
 
 
 
2log.72log 4/1
7
4/1 
  
3log17log)3/17(log 444 
 
 
 
)3(log.2)3(log
2
 xx
  
10loglog)10/(log  xx
 
 
 
Mudança de Base: 
 
Podemos de certa forma, escolher a base mais apropriada para a resolução de um problema que, de alguma maneira 
envolva logaritmos. A escolha da “nova” base poderá ser em função do próprio problema ou da utilização de uma 
calculadora científica. Assim: 
 
Para mudarmos a base “a” de um logaritmo qualquer, para uma base “c” de livre escolha [c > 0 e c  1], utilizamos a 
relação: 
 
a
b
b
c
c
a
log
log
log 
 
 
 
Veja uma “justificativa” para essa relação: 
 
 
xba log
 
  Aplicando a definição de logaritmação... 
 
ba
x

 
  Aplicando a propriedade da logaritmação em ambos os membros [escolhendo a base “c”]... 
 
ba c
x
c loglog 
 
  Aplicando a propriedade da potência do logaritmando no 1º membro... 
 
bax cc loglog. 
 
  Isolando o “x” no 1º membro... 
 
a
b
x
c
c
log
log

 
  Como consideramos inicialmente 
xba log
, temos que: 
 
a
b
b
c
c
a
log
log
log 
. 
 
 
Exemplos: 
 
 Mudando o 
14log3
 para a base 
10
 temos: 
3log
14log
3log
14log
14log
10
10
3 
 
 
 Mudando o 
14log3
 para a base 
e
 temos: 
3ln
14ln
3log
14log
14log3 
e
e
 
 
Como caso particular, a 
fórmula da mudança de 
base de um logaritmo já 
“adaptada” para mudar 
para a base 
e
: 
 
a
b
ba
ln
ln
log 
 
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Exemplos – Logaritmação 
 
1) Calcule o valor dos logaritmos [resolva sem usar calculadora]: 
 
a) 
36log6
 b) 
01,0log10
 c) 
243log9
 
 
Fazemos: 
x36log6
 Fazemos: 
N01,0log10
 Fazemos: 
y243log9
 
 
Aplicando a definição, temos: Aplicando a definição, temos: Aplicando a definição, temos: 
 
366 x
 
01,010 N
 
2439 y
 
 
266 x
 
100
1
10 N
 
52 3)3( y
 
 
 
2x
 
1)100(10 N
 
52 3)3( y
 
 
Portanto: 
12 )10(10 N
 
52 y
 
 
236log6 
 
21010 N
 
2
5
y
  
2
5
243log9 
 
 
2N
  
201,0log10 
 
 
 Agora, voltamos à questão “c” não bem resolvida na introdução desse capítulo. Na ocasião, queríamos determinar o valor 
de “
x
” na expressão: 
23 
x
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Determine o valor de 
7log3
 
 
Resolução: Aplicando a fórmula da mudança de base, temos: 
 
771,1
477,0
845,0
3log
7log
7log3 
 Então: 
771,17log3 
 [Obs.: escolhemos mudar para base 10 para resolvermos com a calculadora] 
 
Observe que poderíamos encontrar o logaritmo por outro processo. Veja: 
 
Aplicando a definição de logaritmo, temos: 
x7log3
  
73 
x
  
7log3log 
x
  
7log3log. x
  
3log
7log
x
  
771,1x
 
 
 
3) Determine o valor de “x
” na equação 
52 32 x
. 
 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
52 32 x
 
 
 
5log2log 32 x
 
 
5log2log)32( x
 
 
 
2log
5log
)32( x
 
3
2log
5log
2 x
 
 
 
2
3
2log
5log

x
 
 
 
339,0x
 
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4) O álcool na corrente sanguínea de um motorista [canadense] foi quantificado e alcançou o nível de 2 g/l (gramas por 
litro) logo depois de ele ter bebido uma considerável quantidade de bebida alcoólica. Considere que esse nível “N” decresce 
de acordo com a fórmula N(t) = 2.(0,5)t, onde “t” é o tempo, medido em horas, a partir do momento em que o nível inicial 
foi constatado. Quanto tempo deverá o motorista esperar antes de dirigir seu veículo, se o limite permitido de álcool no 
sangue, para dirigir com segurança, é de 0,8 g/l no Canadá? 
 
Resolução: 
 
 
t
tN )5,0.(2)( 
 
 
 
t
)5,0.(28,0 
 
 
 
t
)5,0(
2
8,0

 
 
 
t
)5,0(4,0 
  ! 
 
t
)5,0(log4,0log 
 
 
5,0log.4,0log t
 
 
t
5,0log
4,0log
  
ht 322,1
 
 
Resposta: O motorista deverá esperar, aproximadamente, 1h 20min antes de dirigir seu veículo. 
 
 
 
5) A população de um país cresce de acordo com a lei P = P0 . e
 i.n, onde “i” é a taxa de crescimento anual, “n” é o número 
de anos e “P0” é a população num instante para o qual n = 0 (população inicial). Em quantos anos a população desse país, 
com taxa de crescimento anual de 3,5%, duplicará? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observação Importante! 
 
Muito cuidado na aplicação da propriedade: 
bnb a
n
a log.log 
 
 
Assim, observe que: 
 
 Para 
3
)2(log x
 podemos escrever 
)2(log.3 x
  pois o “
3
” é o expoente do logaritmando “
x2
”. 
 
 Para 
3
2log x
 NÃO podemos escrever 
x2log.3
  pois o “
3
” NÃO é o expoente do logaritmando “
x2
” [é apenas 
expoente do “
x
” que é somente uma parte do logaritmando]. 
 
 
# Para completar, 
3
2log x
 poderia ser escrito como: 
xxx log.3301,0log2log2log
33

 
 
Veja outro procedimento: 
 
 
t
tN )5,0.(2)( 
 
 
t
)5,0.(28,0 
 
 
])5,0.(2log[8,0log
t

 
 
t
)5,0(log2log8,0log 
 
)5,0(log.2log8,0log t
 
 
)5,0(log.]2/8,0[log t
 
 
t
)5,0(log
)4,0(log
 
 
ht 322,1
 
 
 
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FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
 
Uma função 
f
 definida por 
RRf 
*
:
 tal que 
xxf alog)( 
, com 
0a
 e 
1a
 é denominada função logarítmica. 
 
Geometricamente, a função logarítmica é representada por uma curva aberta, normalmente chamada de “logarítmica”. 
Devido ao domínio desta função, a sua representação gráfica contará com uma assíntota vertical, que dará uma limitação na 
representação desta curva. 
 
Agora, para encontrarmos os interceptos com os eixos coordenados, utilizaremos o procedimento “tradicional”. 
 
 Para encontrar o intercepto “x”, substituir 
0y
 na função e encontrar o respectivo 
x
, determinando o ponto 
)0,(x
. 
 Para encontrar o intercepto “y”, substituir 
0x
 na função e encontrar o respectivo 
y
, determinando o ponto 
),0( y
. 
 
Observação: você poderá perceber a seguir, que os gráficos das funções logarítmicas (no modelo padrão dado acima) que 
estudaremos aqui, sempre interceptarão o eixo das abscissas [x], entretanto nem sempre interceptarão o eixo das 
ordenadas [y]. A intersecção com o eixo das ordenadas dependerá de uma variação do modelo padrão apresentado. 
 
Através dos exemplos a seguir, faremos uma análise de algumas das propriedades citadas, entre outras: 
 
Ex. 1: Construa o gráfico da função: 
xxf 2log)( 
 
 
 
 
 tabela 
 
x f(x) f(x) = log2 (x) 
½ –1 → f(½) = log2 (½) = –1 
1 0 → f(1) = log2 (1) = 0 
2 1 → f(2) = log2 (2) = 1 
4 2 → f(4) = log2 (4) = 2 
8 3 → f(8) = log2 (8) = 3 
 
 
 
Note que: 
 
 D = 
*
R
  Im =
R
  Assíntota VERTICAL em 
0x
. 
xxf 2log)( 
 é uma Função Crescente [pois 
1a
]. 
 
 
 
Ex. 2: Construa o gráfico da função: 
xxg 2/1log)( 
 
 
 
 
 tabela 
 
x g(x) g(x) = log1/2 (x) 
½ 1 → g(½) = log1/2 (½) = 1 
1 0 → g(1) = log1/2 (1) = 0 
2 –1 → g(2) = log1/2 (2) = –1 
4 –2 → g(4) = log1/2 (4) = –2 
8 –3 → g(8) = log1/2 (8) = –3 
 
 
 
 
 
Note que: 
 
 D = 
*
R
  Assíntota VERTICAL em 
0x
. 
 Im =
R
  
xxg 2/1log)( 
 é uma Função Decrescente [
10  a
]. 
y 
x 1 4 8 0 
 3 
2 
1 
2 
–1 
1/2 
y 
x 
1 
1/2 
8 0 
1 
–3 
–1 
–2 
2 4 
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Ex. 3: Construa o gráfico da função: 
)1(log)( 2  xxh
 
 
 
 
 tabela 
 
x h(x) h(x) = log2 (x – 1) 
3/2 –1 → h(3/2) = log2 (3/2 – 1) = –1 
2 0 → h(2) = log2 (2 – 1) = 0 
3 1 → h(3) = log2 (3 – 1) = 1 
5 2 → h(5) = log2 (5 – 1) = 2 
9 3 → h(9) = log2 (9 – 1) = 3 
 
 
 
Note que: 
 
 D = 
}1|{  xRx
  Im =
R
 
 Assíntota VERTICAL em 
1x
. 
)1(log)( 2  xxh
 é uma Função Crescente [pois 
1a
]. 
 
 
Nota: 
 
Em algumas situações, a representação de várias curvas exponenciais e/ou logarítimicas, num mesmo sistema de 
coordenadas cartesianas, pode fazer com que comparação entre as curvas e, consequentemente, a leitura do gráfico se 
torne um pouco inconveniente. Além do mais, dependendo dos valores, fica quase impossível representar o eixo horizontal 
[por exemplo] totalmente “na escala”, neste caso, na escala linear. 
 
Em tais situações, pode ser conveniente adotarmos em um, ou até nos dois eixos do sistema cartesiano ortogonal, uma 
escala logarítmica. A conversão da escala de um eixo, de linear para logarítmica, além de mudar as proporções desse 
eixo, modifica também o “formato” da curva. Veja: 
 
 Eixos com Escalas Lineares Eixo Horizontal com Escala Logarítmica 
 [proporção reduzida no eixo horizontal] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observe que, na representação gráfica da esquerda, fica quase incompatível a utilização de uma escala linear no eixo 
horizontal [note que 103 = 1000]. 
 
Agora perceba que, na representação gráfica da direita, a posição dos valores no eixo horizontal [com escala logarítmica] é 
correspondente ao expoente das potências em 
x
. 
 
No caso apresentado acima, a conversão da escala linear [
x
] para a escala logarítmica [
x
] foi feita foi através da 
relação: 
xx 10log
 
 
Finalmente, considere uma situação em que uma representação gráfica não será feita com o auxílio de algum software 
matemático, ou seja, você precisará fazê-la manualmente. Neste caso, se houver a necessidade de representação de um ou 
dois eixos em escala logarítmica, você encontrará alguns tipos de papéis milimetrados com tais escalas, nas papelariase 
lojas do ramo ou mesmo na internet. 
Interessou? Pesquise e procure saber mais! 
y 
x 2 5 9 0 
 3 
2 
1 
3 
–1 
3/2 
1 
xy 10log
 
y 
x 100 102 103 0 
 3 
2 
1 
101 
–1 
10-1 
xy 10log
 
y 
x’ 100 102 103 
 3 
2 
1 
101 
–1 
10–1 
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Comparativo: Logarítmica 

 Exponencial 
 
A função logarítmica 
RRf 
*
:
 definida por 
xxf alog)( 
 e a função exponencial 
*
:  RRg
 definida por 
x
axg )(
 são inversas uma da outra [procure saber mais sobre o conceito de função inversa]. 
 
Note que seus gráficos representados a seguir, são simétricos em relação à reta 
xy 
 [que é a bissetriz dos quadrantes 
ímpares, também conhecida como função identidade]. Essa simetria é uma característica de funções inversas entre si. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O Crescimento “Rápido” da Função Exponencial e a “Lentidão” do Crescimento Logarítmico 
 
Uma característica marcante das funções exponenciais com base maior que 1, é o rápido crescimento dos valores de “y” 
quando aumentamos os valores de “x”. Por outro lado, temos como característica marcante das funções logarítmicas com 
base maior que 1, o vagaroso crescimento dos valores de “y” quando aumentamos os valores de “x”. Para melhor ilustrar, 
apresentamos a seguir o gráfico das funções: 
x
ey 
, 
2
xy 
, 
xy 
 e 
xy ln
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Característica e Mantissa [de um Logaritmo Decimal] 
 
Observe os logarítmos decimais dados a seguir: 
 
 
30103,02log 
 
 
30103,120log 
  
30103,012,0log 
 
 
30103,2200log 
  
30103,0202,0log 
 
 
30103,32000log 
  
30103,03002,0log 
 
 
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Nota: 
mcN 10log
 
 
Sendo: 
ticacaracterísc
 com 
Zc
 
mantissam
 com 
[1,0[m
 
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Exercícios – Logaritmação e Função Logarítmica 
 
1) Calcule os logaritmos [utilize a calculadora, se necessário]: Lembrete: 
 
a) 
125log5
 g) 
14log3
 
b) 
10log
 h) 
12log0
 
c) 
1log3
 i) 
14log1
 
d) 
1ln
 j) 
)8(log2 
 
e) 
10log2
 k) 
0log5
 
f) 
eln
 l) 
16log 2
 
 
2) Construa o gráfico das funções logarítmicas dadas a seguir, determinando o Domínio e o Conjunto Imagem. 
 
a) 
xxf 3log)( 
 
 
b) 
xxg 3/1log)( 
 
 
c) 
xy ln
 
 
d) 
||log xy 
  Para este caso, note que: D = R* 
 
e) 
)2(log)(  xxh
  Para este caso, note que: D = { x  R | x > –2 } 
 
3) Uma reserva florestal possui 10.000 árvores. Determine em quantos anos a quantidade de árvores estará reduzida à 
oitava parte, se a função que representa a quantidade de árvores por ano é: y(t) = 10000.(2)–t. 
 
4) Uma certa imobiliária acredita que o valor “V” de um imóvel numa determinada região no litoral do Brasil varia segundo a 
lei V(t) = 60000.(0,9)t, em que “t” é o número de anos a partir de hoje. Pergunta-se: 
 
a) Qual é o valor atual desse imóvel? 
b) Qual é a desvalorização percentual anual desse imóvel? 
c) Quanto valerá esse imóvel daqui a 2 anos? 
d) Daqui a quantos anos o imóvel valerá R$ 35.429,40? 
 
5) O valor de um determinado veículo nos EUA decresce com o passar do tempo. Daqui a “t” anos o valor (em dólares) 
desse automóvel será de V = 4000.(0,8)t. A partir de hoje; daqui a quantos anos ele valerá a metade do valor que tem 
atualmente? 
 
6) Numa cidade do interior, um médico pediatra, após registrar por vários anos o crescimento de pacientes com idades entre 
1 e 12 anos, chegou à seguinte fórmula que indica a altura média das crianças: 
i
h

 7,0
10
, sendo “h” a altura em metros 
e “i” a idade em anos. Sabendo isso, qual será a altura média de crianças de 8 anos de idade na referida cidade? 
 
7) Um cliente de banco fez uma aplicação financeira com um capital de R$ 10.000,00. Sabendo que o banco aplica juros 
compostos a uma taxa de 6% ao ano, calculados anualmente, responda: 
 
a) Qual é o montante que o cliente terá a receber após 3 anos? 
b) Quanto tempo deverá deixar aplicado o capital para receber um montante de R$ 13.000,00? 
 
Lembrete: Utilize a fórmula de juros compostos: M = C.(1 + i)t, em que “M” representa o montante acumulado, “C” o 
valor do capital (inicial), e “i” a taxa de juros (ao ano – neste caso) e “t” o tempo de aplicação (em anos – neste caso). 
 
8) Uma pessoa fez uma aplicação financeira de R$ 10.000,00 a juro composto (capitalização acumulada) de 1,8% ao mês. 
Após quanto tempo terá um total de R$ 11.534,00? 
 
9) Maria quer aplicar R$ 6000,00 com o objetivo de, após 15 meses, obter um montante de R$ 9.348,00. A que taxa mensal 
de juro composto deve aplicar esse capital? 
 
10) Uma empresa recebeu R$ 106.627,10 de juros sobre uma aplicação de R$ 500.000,00, à taxa de 2,8% ao bimestre, 
capitalizável bimestralmente. Determine o tempo que este capital ficou aplicado. 
 
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11) Em quantos anos, 500g de uma substância radioativa que se desintegra a uma taxa de 3% ao ano, se reduzirá a 100g? 
 
Use: Q = Q0 .(e)
–r.t, em que Q é a massa da substância, Q0 é a massa inicial, “r” é a taxa e “t” é o tempo em anos.
 
 
12) O número de bactérias de uma determinada cultura, “t” horas após o início de um experimento, é relacionado pela 
expressão N(t) = 1200.(2)0,4t. Nestas condições, determine: 
 
a) Quanto tempo após o início do experimento a cultura terá 38.400 bactérias? 
b) Qual a quantidade de bactérias após 11h de experimento? 
c) Qual a taxa percentual de crescimento do número de bactérias? 
 
13) A produção de um determinado tipo de peça numa empresa é expressa pela função y = 100 – 100.e–0,2d, onde “y” é o 
número de peças produzidas e “d” o número de dias necessários para produzi-las. A produção de 87 peças será alcançada 
em quantos dias? 
 
14) Segundo uma pesquisa, após “x” meses da constatação da existência de uma epidemia, o número de pessoas por ela 
atingidas é 
x
xf
2
4152
00020
)(



. Daqui a quanto tempo, o número de pessoas atingidas por esta epidemia será de 2000? 
 
 
15) Ao lado, está representado o gráfico de 
 
uma função logarítmica do tipo f(x) = loga x. 
 
a) Determine qual é esta função 
[calcule o valor de “a”]. 
 
b) Encontre o valor de “m”. 
 
 
Nota: 
Observe que a função é CRESCENTE. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
16) A seguir, está representado o gráfico de 
 
uma função logarítmica do tipo f(x) = loga x. 
 
a) Determine qual é esta função. 
 
b) Encontre o valor de “k”. 
 
 
Nota: 
 
Observe que a função é DECRESCENTE. 
 
 
 
 
 
17) Numa certa cultura existem 1000 bactérias em determinado instante. Após 10 minutos, existem 4000. Quantas bactérias 
existirão em 1 hora, sabendo que elas aumentam através da fórmula 
ktePP  0
, em que P é o número de bactérias, t é o 
tempo em horas e k é a taxa de crescimento? 
 
18) Em uma experiência de aprendizado, os psicólogos Miller e Dollard registraram o tempo que uma meninade 6 anos 
levava para encontrar uma bala escondida em uma série de tentativas. A menina levou 210 segundos para achar sua 1ª bala 
e 86 segundos para achar a 2ª. Suponha que o tempo necessário para encontrar a bala pudesse ser modelado por uma 
função do tipo: 
nk
eAT
.

, onde “n” é o número de balas encontradas e “k” e “A” são constantes. 
 
a) Determine os valores das constantes A e k. 
b) Quanto tempo levaria a menina para encontrar a décima bala? 
O que você pode concluir a respeito da função dada, em relação ao resultado encontrado agora? 
y 
x 
1 
k 
9 
0 
1 
–2 
y 
x 1 4 8 0 
m 
2 
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19) Devido a um inovador programa rural de saúde pública, a mortalidade infantil no Senegal está sendo reduzida a uma 
taxa de 10% ao ano. Quanto tempo levará para que a mortalidade infantil seja reduzida a 50%, sabendo que essa situação 
pode ser modelada por uma função exponencial do tipo 
t
byy  0
? 
 
 
20) Um grupo de estudantes resolveu repetir a medição da altura do Pico da Neblina feita na década de 60. Para isso, 
escalaram essa montanha e levaram um barômetro. Chegando ao cume da montanha, efetuaram várias medições da 
pressão atmosférica no local e obtiveram o valor médio de 530 mmHg. A pressão atmosférica P(h) a uma dada altura h (em 
metros, em relação ao nível do mar) é fornecida pela função: 
 
h.
0 .P)h(P
 e
 
 
sendo “e” a base do sistema de logaritmos naturais, P0 = 760 mmHg a pressão atmosférica no nível do mar, e “” um 
número que depende principalmente da temperatura média no local de medição. Sabendo-se que, nas condições desse 
experimento,  = – 0,00012 e que os estudantes usaram uma calculadora científica para auxiliar nos cálculos (utilizando 3 
casas decimais), qual foi a altura que encontraram para o Pico da Neblina? 
 
 
21) Uma peça com temperatura de 200ºC é exposta ao ar [com temperatura ambiente de 20ºC] e após 30 segundos sua 
temperatura atinge 120ºC. Sabendo que seu resfriamento obedece à função: T = c.ekt + Ta , sendo que: 
 
T  temperatura c , k  constantes 
t  tempo Ta  temperatura ambiente 
 
a) Determinar a temperatura da peça após 1 hora. 
b) Determinar o tempo necessário para que a temperatura da peça atinja 40ºC. 
 
 
22) O quociente de 
x
x
2
4
log
log
 apresenta um valor constante. Que valor é esse? [Justifique algebricamente sua resposta] 
 
 
23) Um OVNNI foi avistado por 
65/1
 da população de Votuporanga [SP]. O número de pessoas que ficará sabendo do 
fenômeno após 
x
 horas do acontecido é dado por 
xk
ec
P
xf
.
.1
)(



, onde 
P
 é a população da cidade em questão e 
c
 e 
k
 são constantes que determinam a velocidade de propagação da notícia. Sabendo que 
9/1
 da população soube da 
aparição 
3
 horas após o ocorrido, então quanto tempo se passou até que 
5/1
 da população soubesse da aparição do 
incrível OVNNI [objeto voador “nervoso” não identificado]? 
 
 
 
 
 
 
 
 
24) [HIMONAS; HOWARD – Adaptada] Na análise do crescimento de populações humanas, um tipo de equação conhecida 
como equação logística oferece um modelo mais realista que o crescimento exponencial. Por exemplo: alguns cientistas 
modelam a população mundial usando a equação logística: 
 
t
e
P
.016,0
9,51,6
2,73



 
 
onde 
t
 é o número de anos após o ano 2000 e 
P
 é a população mundial em bilhões de habitantes [aproximadamente]. 
 
Pergunta-se, de acordo com o modelo em questão: 
 
a) Qual a população mundial no ano de 2000 e no ano de 2050? 
 
b) Em que ano a população mundial chegará a 10 bilhões de habitantes? 
 
c) Qual a tendência da população mundial em longo prazo? [Esta função apresenta uma assíntota horizontal] 
 
d) Faça um esboço representando graficamente o problema em questão. 
 
Notas:  c  ℤ 
  Calcule o valor de “k” com a máxima precisão numérica e escreva o seu valor final com arredondamento de 3 casas decimais. 
  Usando os valores encontrados de “c” e “k”, calcule o tempo solicitado com a máxima precisão numérica e escreva a resposta final 
 com arredondamento de 1 casa decimal. 
 
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25) [HIMONAS; HOWARD] Um investigador sabe que 
h
 horas após a morte o corpo humano atinge uma temperatura de: 
 
h
aa TTT )6,0()37( 
 
 
onde 
aT
 é a temperatura [em graus Celsius] do ar no ambiente em que se encontra o corpo. Determine há quanto tempo 
morreu uma pessoa encontrada em um quarto no qual a temperatura é de 
Cº22
, sabendo que a temperatura do corpo é 
Cº26
. 
 
 
 
26) Escreva as funções exponenciais dadas na base natural [
e
]. 
a) 
xxf 2)( 
 b) 
143)(  xxg
 c) 
1
2
15)( 




x
xh
 
 
 
27) Escreva as funções dadas com logarítmos de base natural. 
 
a) 
xxf 3log)( 
 b) 
)12(log3)( 2  xxg
 c) 
)14(log43)( 2  xxh
 
 
 
28) Aplicando as propriedades de logaritmação, determine o valor de 
y
 [em função de 
x
] nas expressões dadas a seguir: 
 
a) 
)654(log)2(log xxy 
 b) 







2
ln1
y
x
 
 
c) 
yx 5log10log 42 
 d) 
xyx 4logloglog
2
1
933 
 
 
 
 
29) A intensidade I de um terremoto, medida na escala Richter, é um número que varia de I = 0 até I = 8,9 para 
o maior terremoto conhecido. Assim, I é dado pela fórmula: 
0
10
E
E
log
3
2
I 
 
 
onde “E” é a energia liberada no terremoto em quilowatt-hora e E0 = 7.10
–3 kWh. Pergunta-se: 
 
a) Qual a energia liberada num terremoto de intensidade 8 na escala Richter? 
b) Aumentando de uma unidade a intensidade do terremoto, por quanto fica multiplicada a energia liberada? 
 
 
 
RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS – RESPOSTAS 
 
1a) 3 1b) 1 1c) 0 1d) zero 1e) 3,322 1f) 1 1g) 2,402 1h)

 1i)

 1j)

 1k)

 1l)

 
 
2a) 2b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
*
 RD f
 e 
Rf Im
 [gráfico fora de proporção] 
*
 RDg
 e 
Rg Im
 [gráfico fora de proporção] 
y 
x 1 3 9 0 
2 
1 
y 
x 
1 9 
0 
3 
–2 
–1 
 
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2c) 2d) 
*
RD 
 e 
RIm
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
*
 RD
 e 
RIm
 
 
 
 
 
 
2e) 3) 3 anos 
 
 4a) R$ 60.000,00 
 4b) 10% 
 4c) R$ 48.600,00 
 4d) 5 anos 
 
 5) aprox. 3 anos 
 
 6) 1,15 m 
 
 7a) R$ 11.910,16 
 7b) aprox. 4 anos e 6 meses 
 
 8) 8 meses 
 
 
16a) f(x) = log1/3 x 16b) k = 1/3 17) 4.096.000 18a) k  0,89276 e A  512,79 
 
18b) T(10)  0,07 s [Note que este valor parece absurdo]A função, possivelmente, não modela corretamente o fenômeno. 
 
19) aprox. 6,58 anos 20) aprox. 3008 m (O Pico da Neblina, no AM, é o ponto mais alto do Brasil, com 2994 metros) 
 
21a) T = 20ºC 21b) t  112 s 22) 1/2 23) 4,0 h 
 
24a) P(0) = 6,1 e P(50) = 8,36 bilhões de habitantes 
 
24b) t  98,5 anos  no ano de 2098. 24d) 
 
24c) A população tende para 12 bilhões de habitantes 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
25) Aproximadamente 2h 35min 
 
}2|{  xRxDh
Rh Im
 
t [anos após 2000] 
P [bilhões de hab.] 
12 
6,1 
0 100 200 300 
10 
09) 3% a.m. 
 
10) 7 bimestres 
 
11) aprox. 53,6 anos 
 
12a) 12h 30min 
12b) 25.335 bactérias 
12c) 31,95 % 
 
13) 10,2 dias [ou seja, no 11o dia] 
 
14) aprox. 7 dias 
 
15a) f(x) = log2 x 
15b) m = 3 
 
 
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26a) 
2ln)(  xexf
 ou 
xexf 693,0)( 
 26b) 
4ln)1(3)(  xexg
 ou 
)1(386,13)(  xexg
 
 
26c) 
1)2/1ln(5)(  xexh
 ou 
xexh 693,051)( 
 
 
 
27a) 
3ln
ln)( xxf 
 ou 
xxf ln910,0)( 
 27b) 
2ln
)12(ln
3)(


x
xg
 ou 
)12(ln328,4)(  xxg
 
 
27c) 
10ln
)14(ln
43)(
2 

x
xh
 ou 
)14(ln 2737,13)(  xxh
 
 
 
28a) 
xxy 352 
 28b) 
12  xey
 
 
28c) 
220xy 
 28d) 
xy 2
 
 
 
29a) E = 7.109 kWh 29b) Fica multiplicada por 
1010
 
 
 
 
Abaixo, um texto interessante para você ler e refletir profundamente... 
 
“As Três Peneiras” 
 
Um rapaz procurou Sócrates e disse-lhe que precisava contar-lhe algo sobre alguém. Sócrates ergueu os olhos do livro que estava lendo e 
perguntou: 
- O que você vai me contar já passou pelas três peneiras? 
- Três peneiras? - indagou o rapaz. 
- Sim! A primeira peneira é a VERDADE. O que você quer me contar dos outros é um fato? Caso tenha ouvido falar, a coisa deve morrer aqui 
mesmo. Suponhamos então que seja verdade, deve então passar pela segunda peneira: a BONDADE. O que você vai contar é uma coisa 
boa? Ajuda a construir ou destruir o caminho, a fama do próximo? Se o que você quer contar é verdade e é coisa boa, deverá passar ainda 
pela terceira peneira: a NECESSIDADE. Convém contar? Resolve alguma coisa? Ajuda a comunidade? Pode melhorar o planeta? 
Arremata Sócrates: 
- Se passou pelas três peneiras, conte!! Tanto eu, como você e seu irmão, iremos nos beneficiar. Caso contrário, esqueça e enterre tudo. 
Será uma fofoca a menos para envenenar o ambiente e fomentar a discórdia entre irmãos. Devemos sempre ser a estação terminal de 
qualquer comentário infeliz. 
 
 
 
Veja isso: 
 
Novo produto no mercado: 
 
É o “Inacreditável” Papel Higiênico Logarítmico! 
 
 
Não é montagem! A foto ao lado foi tirada pelo autor 
deste material num supermercado de Joinville – SC.