Parábolas: definição, equações e propriedades

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Geometria Analítica I
Profa Marcele Câmara
Cônicas
PARÁBOLA
Porque Cônicas?
Observe que, variando a posição do plano de corte, temos, como
interseção (a partir da esquerda):
- uma circunferência, quando o plano de corte é perpendicular ao eixo do cone;
- uma elipse, se o inclinamos um pouco;
- uma parábola, se o plano fica paralelo a uma geratriz do cone;
- os dois ramos de uma hipérbole, se o plano corta as duas folhas do cone.
Exemplo de uma aplicação de Parábola 
Definição:
Sejam L uma reta no plano e F um ponto no plano não pertencente a L.
A parábola P de diretriz L e foco F é o conjunto que consiste de todos os pontos P do plano que são equidistantes do ponto F e da reta L.
P = { P|d(P,F) = d(P,L)}
Parábola
 Como disto na definição, o ponto F é o foco e a reta L é a diretriz da parábola.
 A reta l que contém o foco e é perpendicular à diretriz L é chamada reta ou eixo focal da parábola.
O vértice da parábola é o ponto V da reta focal que equidista de F e de L. Em particular, V ∈ P.
 Qualquer segmento que liga quaisquer dois pontos da parábola é denominado corda. Uma corda que passa pelo pelo foco é denominada corda focal. A corda focal perpendicular ao eixo é denominada latus rectum L
 Se A é o ponto onde L intersecta l, então V é o ponto médio do segmento AF, ou seja, 
Parábola com vértice na origem e reta focal coincidente com o eixo OX
Caso I. O foco F está à direita da diretriz L.
Como o vértice da parábola P é V (0,0) temos que o foco é F (p,0) e a diretriz é:
P = (x,y) ∈ P
Caso I. O foco F está à direita da diretriz L.
Caso II. O foco F está à esquerda da diretriz L.
Caso I. O foco F está acima da diretriz L
Parábola com vértice na origem e reta focal coincidente com o eixo OY
Caso II. O foco F está abaixo da diretriz L
1) Uma parábola P com vértice V na origem, cuja reta focal é o eixo OY, passa pelo ponto (4,-2). Determine sua equação, o foco F e a equação da diretriz L.
2) Uma corda da parábola y2 - 4x = 0 se encontra sobre a reta x - 2y + 3 = 0. Determinar seu comprimento.
Exemplos
1) Determinar a equação da parábola cujo vértice está na origem e cujo foco é o ponto (3,0).
2) Determinar a equação da parábola cujo vértice está na origem e cuja diretriz é a reta y – 5 = 0.
3) Uma parábola cujo vértice está na origem e cujo eixo é coincidente com o eixo X, passa pelo ponto (-2,4). Determinar a equação da parábola, as coordenadas de seu foco, a equação de sua diretriz e o comprimento de seu latus rectum.
4) Determinar o comprimento da corda focal da parábola x2 + 8y = 0 que é paralela à reta 3x + 4y -7 = 0. 
Exercícios
Parábola com vértice V(x0,y0) e reta focal paralela ao eixo OX
Caso I. O foco F está à direita da diretriz L.
Caso II. O foco F está à esquerda da diretriz L.
Parábola com vértice V(x0,y0) e reta focal paralela ao eixo OY
Caso I. O foco F está acima da diretriz L.
Caso II. O foco F está abaixo da diretriz L.
3)Determinar a equação da parábola P de vértice V (3,4) e foco F(3,2). Determine, também, a equação de sua diretriz.
Exemplos
Proposição 1
Seja a equação do segundo grau com B = 0:
Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0.
Se A = 0 e C ≠ 0, essa equação representa:
 uma parábola cuja reta focal é paralela ao eixo OX, se D ≠ 0.
 duas retas distintas paralelas ao eixo OX, se D = 0 e E2 - 4CF > 0.
 uma reta paralela ao eixo OX, se D = 0 e E2 - 4CF = 0.
 o conjunto vazio, se D = 0 e E2 - 4CF < 0.
Um resultado similar vale para o caso em que C = 0 e A ≠ 0, trocando paralelo ao eixo OX por paralelo ao eixo OY e substituindo C por A de forma apropriada nas sentenças acima.
Os casos em que a equação Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0, com AC = 0, representa duas retas paralelas, uma reta ou o conjunto vazio são chamados de casos degenerados da parábola.
4)Verifique se as equações abaixo representam uma parábola ou uma parábola degenerada.
 
a) 2y2 + 5x + 8y - 7 = 0
b) 3y2 + 7y - 6 = 0
5)Determinar a equação da parábola cujo eixo é paralela ao eixo OX e que passa pelos três pontos (3/2 , -1), (0,5) e (-6,-7).
Exemplos
5)Verifique se as equações abaixo representam uma parábola ou uma parábola degenerada.
 
a) 4y2 - 48x - 20y = 71
b) 9x2 + 24x + 72y + 16 = 0
5)Determinar a equação da parábola cujo vértice e foco são respectivamente, os pontos (-4,3) e (-1,3). Determinar também as equações de sua diretriz e eixo.
6) Determinar a equação da parábola cujo vértice é o ponto (4,-1) cujo eixo é a reta y + 1 = 0 e que passa pelo ponto (3,-3).
7) Mostrar que o comprimento do raio focal de qualquer ponto P1(x1,y1) sobre a parábola (y - k)2 = 4p(x - h) é igual a |x1 – h + p|.
Exercícios