Resumo EDO 1 ordem

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EDO Separa´vel
Uma equac¸a˜o diferencial da forma
dy
dx
= g (x)h (y)
e´ chamada de separa´vel.
A soluc¸a˜o geral desse tipo de EDO e´ dada por∫
g (x)dx−
∫
1
h (y)
dy = c
onde c e´ a constante de integrac¸a˜o.
Caso especial: Homogeˆneas
Uma equac¸a˜o diferencial da forma
M (x, y)dx+N (x, y)dy = 0
e´ homogeˆna se M (x, y) e N (x, y) sa˜o expresso˜es homogeˆneas do mesmo grau em x e y.
Uma func¸a˜o g (x, y) e´ homogeˆnea de grau n em x e y quando g (kx, ky) = kng (x, y) , onde k e´ uma constante
qualquer.
Quando as equac¸o˜es diferenciais sa˜o homogeˆneas, suas varia´veis podem ser separadas por meio de uma das seguintes
substituic¸o˜es:
y = vx e dy = vdx+ xdv
ou
x = vy e dx = vdy+ ydv
A equac¸a˜o resultante e´ separa´vel.
EDO Exatas
Uma expressa˜o diferencial
M (x, y)dx+N (x, y)dy = 0
e´ uma equac¸a˜o diferencial exata se
∂M
∂y
=
∂N
∂x
.
Neste caso, suponha que
∂f
∂x
= M (x, y) , da´ı podemos encontrar f integrandoM (x, y) com relac¸a˜o a x, considerando
y constante. Escrevemos
f (x, y) =
∫
M (x, y)dx+ g (y)
em que supomos que a func¸a˜o arbitra´ria g (y) e´ a constante de integrac¸a˜o. Agora, derivando a equac¸a˜o anterior com
relac¸a˜o a y e supondo que
∂f
∂y
= N (x, y) :
∂f
∂y
=
∂
∂y
∫
M (x, y)dx+ g′ (y) = N (x, y)
Assim, g′ (y) = N (x, y) −
∂
∂y
∫
M (x, y)dx.
Finalmente, integre essa equac¸a˜o com relac¸a˜o a y e substitua o resultado na expressa˜o de f (x, y) . A soluc¸a˜o para
a equac¸a˜o e´ f (x, y) = c.
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Caso especial: Fator de Integrac¸a˜o
Algumas vezes, e´ poss´ıvel converter uma equac¸a˜o diferencial na˜o exata em uma equac¸a˜o exata multiplicando-a por
uma func¸a˜o µ (x, y) chamada fator de integrac¸a˜o. Consideraremos dois casos:
- se v (x) =
My −Nx
N
depende apenas de x ou;
- se v (y) =
Nx −My
M
depende apenas de y
Enta˜o, fazemos µ (x) = e
∫
v(x)dx no primeiro caso e µ (y) = e
∫
v(y)dx.
Assim, a edo
µM (x, y) + µN (x, y) = 0
e´ exata.
EDO Linear
Consideremos a EDO linear
y′ + P (x)y = Q (x)
Esta equac¸a˜o pode ser facilmente resolvida desde que P seja integra´vel:
Seja
v (x) = e
∫
P(x)dx,
chamado de fator integrante.
Multiplique a equac¸a˜o por v (x) :
v (x)y′ + P (x) v (x)y = v (x)Q (x)
Veja que isso implica que
d
dx
[v(x)y] = v (x)Q (x)
Integre ambos os lados com relac¸a˜o a x :
y =
1
v (x)
[∫
v (x)Q (x)dx+ c
]
Caso especial: Bernoulli
A equac¸a˜o diferencial
y′ + P (x)y = Q (x)yn
em que n e´ um nu´mero real qualquer, e´ chamada de equac¸a˜o de Bernoulli. Se n 6= 0 e n 6= 1 (casos ja´ abordados)
enta˜o podemos escrever
y−ny′ + P (x)y1−n = Q (x)
e fazer a substituic¸a˜o w = y1−n (=⇒ w′ = (1− n)yy′) e enta˜o a equac¸a˜o resultante
w′ + (1− n)P (x)w = (1− n)Q (x)
e´ linear. Basta resolveˆ-la e fazer y1−n = w para obtermos a soluc¸a˜o.