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1 2a Prova de Geometria Anal´ıtica e Sistemas Lineares Instituto de Cieˆncias Exatas - UFJF - 16/02/2013 Departamento de Matema´tica Quest. Notas 1 2 3 4 5 Total Aluno: Matr´ıcula: Turma: Observac¸o˜es: Esta prova deve conter 5 questo˜es em 3 folhas, encerrando-se no item 5(c). A prova e´ individual, sem consulta e na˜o e´ permitido o uso de calculadora. 1). (20 pontos) O paralelogramo determinado pelos vetores U = (1,−1, 0) e V = (a, 3,−2) (a ∈ R) tem a´rea igual a 3 u.a. Calcule os poss´ıveis valores de a para que isso ocorra. 2 2). (20 pontos) a). Dados os vetores do espac¸o U = (2,−1, 0) e V = (3, 0 − 3), determine um vetor W que seja ortogonal a U e V ao mesmo tempo e que tenha norma 1. b). Encontre o volume do paralelep´ıpedo determinado pelos vetores U , V e W do exerc´ıcio 2a. 3 3). (20 pontos) Dadas as retas r e s de equac¸o˜es: r : x = 2 + 2t y = 2t t ∈ R z = t s : x = 2 + t y = t t ∈ R z = t determine equac¸o˜es parame´tricas e geral do plano que conte´m as duas retas ao mesmo tempo. 4 4). (20 pontos) a). Encontre equac¸o˜es parame´tricas para a reta r de intersec¸a˜o dos planos cujas equac¸o˜es sa˜o: 2x− y + z = 0 e x+ 2y − z = 1. b). Encontre equac¸o˜es parame´tricas para a reta s que e´ paralela a` reta q de equac¸o˜es { x− 3 2 = y + 1 3 = z 2 e passa pelo ponto A = (1, 0, 0). 5 5). (20 pontos) a). Verifique se os pontos A = (1, 0,−1), B = (4, 2,−2) e C = (−2,−2, 0) sa˜o colineares. b). Encontre o valor real de a para que os vetores U = (3, 2,−1) e W = (a, 0, 5) sejam ortogonais. c). Dado o vetor V = (4,−3, 0), determine um vetor U no espac¸o que seja paralelo a V , tenha sentido oposto ao de V e tenha norma 2.
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