Lista de lgebra Linear Autovalor e Autovetor

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Universidade Federal do Oeste da Bahia-UFOB
Lista de Exercício de Álgebra Linear
Determine os autovalores e os autoespaços do operador T nos seguintes casos:
1. T operador linear sobre R2.
a) T (x, y) = (y, 9x)
b) T (x, y) = (−y, x).
2. T operador linear sobre R3
a) T (x, y, z) = (x, y, x)
b) T (x, y, z) = (x+ z, y + z, x+ y + 2z).
c) T (1, 1, 1) = (4, 9,−4), T (0, 1, 1) = (2, 7,−3), T (0, 0, 1) = (1, 4,−2)
3) T operador linear sobre P2(R).
a) T (p(t)) = p(0) + p(1)(1 + t2).
b) T (p(t)) = (1 + t)p′(t) + p′′(t).
c) T (a0 + a1t+ a2t) = (2a1 + a2) + (3a0 − a1 − a2)t+ 2a2t2.
4) T operador sobre R4.
a) T (x, y, z, w) = (x+ y, y, 2z + w, 2z + w).
5) T operador sobreM2(R)
a) T (
[
a b
c d
]
) =
[
2a+ b 2b
2c 2d
]
b) T (
[
a b
c d
]
) =
[
a+ b b
0 c− a− b
]
.
6) Seja A uma matriz quadrada de ordem n, mostre que:
a) O polinômio característico de AT , a transposta de A, coincide com o polinômio
característico de A, ou seja. pAT (λ) = pA(λ).
1
b) Se A é matriz diagonal ou matriz triangular, então os autovalores de A são os
elementos da diagonal principal.
c) Se A é invertível, então 0 não é autovalor de A.
d) Se A é invertível e λ1 é um autovalor de A, então 1/λ1 é autovalor de A
−1.
2