Cálculo II 05 Volume de um Sólido de Revolução

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Catiúscia A. B. Borges e Sueni de S. Arouca 1 
 
1 – Volume de um Sólido de Revolução 
 Volume de Sólidos de Revolução 
Uma região tridimensional (S) que possui as propriedades a) e b) a seguir é 
um sólido: 
a) A fronteira de S consiste em um número finito de superfícies lisas que se 
interceptam num número finito de arestas que por sua vez, podem se interceptar 
num número finito de vértices. 
b) S é uma região limitada. 
Exemplos de sólidos (esfera, cone circular, cubo, cilindro) 
 
 
Sólidos de Revolução 
Fazendo uma região plana girar em torno de uma reta no plano, obtemos 
um sólido, que é chamado sólido de revolução. A reta ao redor da qual a região gira 
é chamada eixo de revolução. 
Por exemplo, fazendo a região limitada pelas curvas y = 0, y = x e x = 4 
girar em torno do eixo x, o sólido de revolução é um cone. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Se o retângulo delimitado pelas retas x = 0, x = 1, y= 0 e y = 3 girar em 
torno do eixo y, obtemos um cilindro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Consideremos, agora, o problema de definir o volume do sólido T, gerado 
pela rotação em torno do eixo x, da região R, da função f(x). 
 
 
 
 
 
 
 
 
Suponhamos que f(x) é contínua e não negativa em [a,b]. 
Consideremos uma partição P de {a,b], dada por: 
a = 𝑥0 < 𝑥1 < ...< 𝑥𝑖−1< 𝑥𝑖 <...< 𝑥𝑛 = b 
 
Seja ∆𝑥𝑖= 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 o comprimento do intervalo [𝑥𝑖−1 , 𝑥𝑖] 
Em cada intervalo [𝑥𝑖−1, 𝑥𝑖], escolhemos um ponto qualquer ci. 
 
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Para cada i, i = 1, ..., n, construiremos então um retângulo Ri, de base∆𝑥𝑖 e 
altura f(ci). Fazendo cada retângulo Ri girar em torno do eixo x, o sólido de 
revolução obtido é um cilindro, cujo volume é dado por: 
𝜋[𝑓(𝑐𝑖)]
2∆𝑥𝑖 
A soma dos volumes dos n cilindros, que representamos por 𝑉𝑛, é dada por: 
𝑉𝑛 = 𝜋[𝑓(𝑐1)]
2∆𝑥1 + 𝜋[𝑓(𝑐2)]
2∆𝑥2 + 𝜋[𝑓(𝑐3)]
2∆𝑥3 + ⋯ + 𝜋[𝑓(𝑐𝑛)]
2∆𝑥𝑛 
𝑉𝑛 = 𝜋 ∑[𝑓(𝑐𝑖)]
2
𝑛
𝑖=1
∆𝑥𝑖 
E nos dá uma aproximação do volume do sólido T. 
 
Podemos observar que à medida que n cresce muito e cada ∆𝑥𝑖, i = 1,...n, 
torna-se muito pequeno, a soma dos volumes dos n cilindros aproxima-se do que, 
intuitivamente, entendemos como volume do sólido T. 
Definição: seja 𝑦 = 𝑓(𝑥) uma função contínua não negativa em [a,b]. Seja R 
a região sob o gráfico de f de a até b. O volume do sólido T, gerado pela revolução 
de R em torno do eixo x, e definido por: 
𝑉 = lim
𝑚á𝑥 ∆𝑥𝑖→0
𝜋 ∑[𝑓(𝑐𝑖)]
2∆𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
 (l) 
A soma que aparecem (l) é uma soma de Riemann da função [𝑓(𝑥)]2. Como 
𝑓 é contínua, o limite em (l) existe, e, então, pela definição da integral definida, 
temos: 
𝑉 = 𝜋 ∫ [𝑓(𝑥)]2 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 
 
 
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Observações quanto às funções: 
A função 𝒇(𝒙) é negativa em alguns pontos de [a,b]; 
A figura C mostra o sólido gerado pela rotação da figura B , ao redor do eixo 
x, que coincide com o sólido gerado pela rotação, ao redor do eixo x, da região sob 
o gráfico da função |𝑓(𝑥)| de a até b. Como |𝑓(𝑥)|2 = (𝑓(𝑥))2, dessa forma a 
fórmula permanece válida neste caso. 
 
 
 
 
A região R está entre os gráficos de duas funções 𝒇(𝒙) e 𝒈(𝒙) de a até b; 
Supondo 𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥), ∀𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏], o volume do sólido T, gerado pela rotação 
de R em torno do eixo x, e dado por: 
𝑉 = 𝜋 ∫ ([𝑓(𝑥)]2 − [𝑔(𝑥)]2) 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 
 
 
 
 
 
 
Ao invés de girar ao redor do eixo x, a Região gira em torno do eixo dos y; 
Neste caso temos 𝑥 = 𝑔(𝑦) e 𝑦 ∈ [𝑐, 𝑑]. Assim o volume do sólido T, gerado 
pela rotação de R em torno do eixo y, e dado por: 
𝑉 = 𝜋 ∫ ([𝑔(𝑦)]2) 𝑑𝑦
𝑑
𝑐
 
 
 
 
 
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A rotação se efetua ao redor de uma reta paralela a um dos eixos 
coordenados; 
Se o eixo de revolução for a reta 𝑦 = 𝐿, temos: 
𝑉 = 𝜋 ∫ [𝑓(𝑥) − 𝐿]2 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 
 
 
Se o eixo de revolução for a reta 𝑥 = 𝐿, temos: 
𝑉 = 𝜋 ∫ [𝑔(𝑦) − 𝐿]2 𝑑𝑦
𝑑
𝑐