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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro AP1 – Gabarito – Me´todos Determin´ısticos II – 23/03/2014 Questa˜o 1: (2,5pts) Seja f : R − {−1 2 } −→ R dada pela expressa˜o f(x) = x+1 2x+1 . Encontre a expressa˜o de f−1 e tambe´m o dom´ınio e a imagem de f−1. Soluc¸a˜o: (1,5 pt se determinar a expressa˜o de f−1 e 0,5 pt se determinar a imagem e 0,5 pt se determinar o dom´ınio de f−1) Vamos comec¸ar determinando a inversa de f , para isso, troque x por y e depois isole o y, como e´ feito abaixo: x = y + 1 2y + 1 ⇔ x(2y + 1) = y + 1⇔ 2yx+ x = y + 1⇔ 2yx− y = 1− x⇔ y = 1− x 2x− 1 . Portanto, f−1(x) = 1−x 2x−1 e o dom´ınio de f −1 sa˜o todos os x ∈ R tais que 2x − 1 6= 0 ⇔ x 6= 1 2 . E como o dom´ınio de f(x) sa˜o todos os x ∈ R tais que x 6= −1 2 segue que a imagem de f−1 sa˜o todos os x ∈ R tais que x 6= −1 2 . Questa˜o 2: (2,5pts) Considere as func¸o˜es f e g definidas por f(x) = x2 + 3x e g(x) = 2x + 1. Determine: i) O valor de (g ◦ f) (2); ii) A lei de definic¸a˜o de f ◦ g e, tambe´m, os valores do dom´ınio de f ◦ g que teˆm imagem 4. Soluc¸a˜o: (0,5 pt para o item i) e 2,0 pt para o item ii) sendo 1,0 pt para a lei de g ◦ f e 1,0 pt para os x tais que (f ◦ g)(x) = 4) i) Queremos calcular (g ◦ f) (2) = g(f(2)). Calculando f(2) = 10 e, portanto, g(f(2)) = f(10) = 20 + 1 = 21. ii) (f ◦ g)(x) = f(2x+ 1) = (2x+ 1)2 + 3(2x+ 1) = 4x2 + 4x+ 1 + 6x+ 3 = 4x2 + 10x+ 4 = 4 Mas isso e´ equivalente a`: 4x2 + 10x+ 4 = 4⇔ 4x2 + 10x = x(4x+ 10) = 0⇔ x = 0 ou x = −10 4 = −5 2 . Questa˜o 3: (3,0pts) Considere f(x) = 23x−6 e g(x) = logx−2(x 2 − 4x+ 4). a) Determine o dom´ınio da func¸a˜o g(x). b) Calcule f ( 3g(7)+4 2 ) . Soluc¸a˜o: (o item a vale 1,5pt e o item b vale 1,5pt) a) Como g(x) = logx−2(x 2− 4x+4), para x estar bem definido precisamos que x− 2 6= 1⇔ x 6= 3 e x− 2 > 0⇔ x > 2. Ale´m disso, x2 − 4x+ 4 > 0, mas x2 − 4x+ 4 = (x− 2)2, enta˜o basta que x 6= 2. Segue que o dom´ınio de g sa˜o todos os x ∈ R tais que x > 2 e x 6= 3. b) Queremos determinar f ( 3g(7)+4 2 ) , vamos iniciar calculando g(7) = log5(7 2−4×7+4) = log5(25). Sabemos que se y = log5(25)⇔ 5y = 25 = 52. Portanto, g(7) = 2. Da´ı f ( 3g(7) + 4 2 ) = f ( 3× 2 + 4 2 ) = f(5) = 23×5−6 = 29 = 512. Questa˜o 4 (2,0pts) Calcule os seguintes limites: Me´todos Determin´ısticos 2 AP1 2 A) lim x→−1 x2 − x− 2 x2 + 3x+ 2 B) lim x→2 √ x+ 2−√2x x2 − 2x Soluc¸a˜o: (Cada limite vale 1,0pt) A) inicialmente veja que −12 − (−1)− 2 = 0 = (−1)2 + 3(−1) + 2. Portanto, tanto o numerador como no denominador se anulam em −1. Fatorando cada um dos polinoˆmios obtemos: lim x→−1 x2 − x− 2 x2 + 3x+ 2 = lim x→−1 (x+ 1)(x− 2) (x+ 1)(x+ 2) = lim x→−1 x− 2 x+ 2 = −3 1 = −3. B) Veja que √ 2 + 2−√2× 2 = 0 = 22− 2× 2. Portanto, tanto o numerador como o denominador se anulam quando x = 2. Enta˜o, usando a identidade (a+ b)(a− b) = a2− b2, no numerador temos: lim x→2 √ x+ 2−√2x x2 − 2x = limx→2 (√ x+ 2−√2x x(x− 2) )(√ x+ 2 + √ 2x√ x+ 2 + √ 2x ) = lim x→2 x+ 2− 2x x(x− 2)(√x+ 2 +√2x) = lim x→2 −1 x( √ x+ 2 + √ 2x) = −1 8 . Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
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