01sem ex matematica exerc aula1e2 semana1 engenharia univesp

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Curso de Engenharia - UNIVESP 
Disciplina Matemática - Bimestre 1 
 
Exercícios da semana 1 - vídeo aulas 1 e 2 
 
RECOMENDAÇÕES GERAIS SOBRE A AVALIAÇÃO (PORTFÓLIO) 
Caro aluno, 
Nesta semana, a sua avaliação para as Aulas 1 e 2 será composta por duas 
entregas no Portfólio de Matemática que estão descritas a seguir: 
A) Para avaliação das aulas 1 e 2 da Semana 1 da disciplina, escreva 
um resumo pessoal, de 10 a 20 linhas, sobre o significado do tema 
tratado, registrando em que as aulas contribuíram para revelar o papel 
da Matemática na compreensão da realidade. Publique sua resposta no 
Portfólio da disciplina. 
B) Os exercícios das aulas 1 e 2, foram formuladas a partir de pequenos 
textos (Texto A, Texto B, Texto C etc.). Para avaliação das aulas 1 e 2, 
escolha pelo menos UM (1) Texto (A, B, C etc.) e resolva os exercícios 
relacionados ao texto. As respostas devem ser enviadas pelo Portfólio 
da disciplina. Para melhorar a sua aprendizagem resolva, explore e 
aprofunde, até onde for possível, os outros textos e seus exercícios. 
Lembre-se - você também deverá entregar alguns exercícios referentes às 
video aulas 3 e 4 que podem ser acessados na Organização Didática da 
semana 1 disponível no Ambiente Virtual de Aprendizagem (AVA) do curso. 
 
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Exercícios das vídeo aulas 1 e 2 – Matemática 
Texto A 
Frases simples da linguagem cotidiana podem ser representadas na linguagem 
matemática, recorrendo-se a letras para representar números. Letras 
representando valores desconhecidos ou incógnitas, podem transformar 
perguntas na linguagem cotidiana em afirmações na linguagem matemática. 
Tente fazer os exercícios de tradução de uma linguagem em outra, sugeridos a 
seguir. 
 
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1. Usando letras para representar números, represente na linguagem a: 
a) “A soma de dois números é 17”. 
Resposta: a + b = 17 
b) “Um número elevado ao quadrado, depois somado com seu 
triplo, dá igual a 10”. 
Resposta: a² + 3a = 10 
c) “A soma de três números naturais consecutivos é igual a 20”. 
Resposta: a + (a + 1) + (a + 2) = 20, sendo que a ∈ N. 
d) “A soma dos quadrados de três números é menor do que 37”. 
Resposta: a² + b² + c² < 37 
e) “A média aritmética de dois números é menor ou igual a sua 
média geométrica”. 
Resposta: (a +b) / 2 ≤ √�	. � 
f) “Em um triângulo retângulo, a soma dos quadrados dos catetos é 
igual ao quadrado da hipotenusa”. 
Resposta: a² + b² = c² (Teorema de Pitágoras) 
 
2. As sentenças a seguir representam perguntas. 
Reescreva cada uma como uma sentença matemática envolvendo 
incógnitas: 
a) “Qual o número que multiplicado por 7 é igual a 91?” 
Resposta: x * 7 = 91 ou 7x = 91 
b) “Encontrar dois números inteiros consecutivos cuja soma é igual 
a 27” 
Resposta: a + (a + 1) = 27, sendo que a ∈ I. 
c) “Encontrar um número que, elevado ao cubo e depois somado 
com 15 resulte em 140”. 
Resposta: a³ + 15 = 140 
d) “Encontrar um número que, somado com seu inverso, dê mais do 
que 2”. 
Resposta: a + 1/a > 2, sendo que a ≥ 2. 
 
3. Traduza cada sentença como um sistema de equações: 
a) “Encontrar dois números cuja soma seja 15 e cujo produto seja 
14”. 
Resposta: a + b = 15, sendo que a * b = 14 
b) “Determinar um número que somado a 3 será maior do que sete, 
e que, multiplicado por 4, dá menos que 32” 
Resposta: a + 3 > 7, sendo que a * 4 < 32. 
c) Achar um número que, elevado ao cubo, dá mais que 36, e que 
multiplicado por 7 é menor que 42” 
Resposta: a³ > 36, sendo que a * 7 < 42. 
 
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4. Reescreva na linguagem corrente cada uma das sentenças 
matemáticas: 
a) x – 3 = 21 
Resposta: Determine o número que, ao ter três unidades 
retiradas, ao ser subtraído em 3 unidades, terá como valor 
obtido o numeral 21. 
b) 3x = 45 
Resposta: Determine o número que, ao ser multiplicado por três, 
terá como valor obtido o numeral 45. 
c) x2< 4 
Resposta: Determine o número que, ao ser elevado ao 
quadrado, terá como valor obtido um numeral inferior a 4. 
d) x2 + 5x – 15 = 0 
Resposta: Determine o número que, ao ser elevado ao 
quadrado, depois, a este resultado soma-se este mesmo número 
5 vezes e subtraem-se, na sequência, 15 unidades, terá como 
valor obtido o numeral Zero. 
 
TEXTO B 
 
Uma proposição (sentença verdadeira ou falsa) isolada não caracteriza um 
argumento. Nem uma simples coleção de proposições é um argumento. 
Argumentar é justificar a verdade de uma proposição (que é a conclusão do 
argumento) como consequência lógica da verdade outras proposições (que são 
as premissas do argumento). A estrutura geral de um argumento é “se p é 
verdade, então q também será”, em que p representa uma ou mais 
proposições. Um argumento sempre apresenta uma proposição que é a 
conclusão, e uma ou mais premissas que a justificam. 
 
5. Em cada texto abaixo, indique se se trata ou não de um argumento: 
a) Acho que vai chover. 
Resposta: Não, não é um argumento. 
b) Amanhã deverá fazer sol, porque o serviço de meteorologia 
previu muita chuva, e ele tem errado em suas previsões. 
Resposta: Sim, é um argumento. 
c) Joaquim é português e é dono da maior padaria do bairro, que 
produz 10 000 pães por dia. 
Resposta: Sim, é um argumento. 
d) Joaquim não é português, pois ele nasceu no Brasil, e quem 
nasce no Brasil é brasileiro. 
Resposta: Sim, é um argumento. 
e) Penso muito na vida. 
Resposta: Não, não é um argumento. 
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f) Penso, logo, existo. 
Resposta: Não, não é um argumento. 
 
6. Em cada argumento abaixo, indique qual é a conclusão e quais são 
as premissas: 
a) “É lógico que o time C é o melhor do atual campeonato, pois ele 
tem o melhor ataque, a defesa menos vazada e o maior número 
de vitórias.” 
Resposta: Neste argumento, a conclusão é de que o time C é 
o melhor do atual campeonato. Esta conclusão se baseia nas 
premissas que, neste caso, são os fatos de que o time possui 
o melhor ataque, a defesa menos vazada e o maior número 
de vitórias. 
 
b) “Três séculos de pesquisas mostraram-nos que nenhum 
megalozoário é carcomênico. Deste fato, podemos concluir que 
os infimozoários não são carcomênicos, uma vez que todo 
infimozoário é megalozoário”. 
Resposta: Neste argumento, a conclusão é de que nenhum 
megalozoário é carcomênico. Esta conclusão se baseia nas 
premissas que, neste caso, são os fatos de que os 
infimozoários não são carcômenicos e, consequentemente, 
que um infimozoário é um megalozoário. 
 
c) “O café não é um produto importado; portanto, não deveria ser 
caro, uma vez que todos os produtos importados é que são caros. 
Resposta: Neste argumento, a conclusão é de que o café não 
é um produto importado. Esta conclusão se baseia nas 
premissas que, neste caso, são os fatos de que o café não 
deveria ser caro e que todos os produtos importados são 
caros. 
 
TEXTO C 
 
Uma proposição é verdadeira ou falsa; um argumento, no entanto, não é 
verdadeiro ou falso, mas sim válido ou não válido, ou seja, consistente ou não 
consistente. 
Um argumento é válido quando a verdade da conclusão decorre 
inevitavelmente da verdade das premissas; se for possível ter as premissas 
simultaneamente verdadeiras e a conclusão falsa, o argumento não é válido. 
Representando as proposições por meio de conjuntos no plano podemos 
analisar a validade de argumentos. 
Por exemplo, a sentença “Todos os pernambucanos são brasileiros” pode ser 
representada por um conjunto P (de pernambucanos) contido em outro 
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conjunto B (de brasileiros). Analogamente, a frase “Nenhum alemão é francês” 
poderia ser representada por dois conjuntos A (alemães) e F (franceses) 
disjuntos. 
Em cada argumento abaixo, represente as proposições por conjuntos e, por 
inspeção direta, analise se cada um dos argumentos é válido ou não: 
 
7. Todos os alemães sãoeuropeus / Nietzsche era alemão. 
Logo, Nietzsche era europeu. 
 
 
Resposta: Nietzsche É cidadão alemão que por sua vez o 
coloca na condição de cidadão europeu. O ARGUMENTO É 
VÁLIDO. 
 
8. Todos os alemães são europeus / O príncipe Charles não é alemão. 
Logo, o príncipe Charles não é europeu. 
 
 
Resposta: Charles NÃO é cidadão alemão, ainda sim, por ser 
inglês, logo, bretão, e pela Bretanha fazer parte da Europa o 
coloca na condição de cidadão europeu. O ARGUMENTO 
NÃO É VÁLIDO. 
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9. Todos os apinagés são índios / Não existem índios carecas. 
Logo, não existem apinagés carecas. 
 
 
Resposta: Se NÃO existem índios carecas e TODOS os 
apinagés SÃO índios, logo NÃO há apinagé careca. O 
ARGUMENTO É VÁLIDO. 
 
10. Nenhum mamífero é ave / Nenhuma ave tem quatro patas. 
Logo, nenhum mamífero tem quatro patas. 
 
 
Resposta: Realmente, nenhum mamífero é uma ave, e 
nenhuma ave possui quatro patas. Contudo, muitos 
mamíferos possuem quatro patas. O ARGUMENTO NÃO É 
VÁLIDO. 
 
TEXTO D 
 
Em Matemática, demonstrar uma proposição é apresentá-la como 
consequência necessária de outras, já conhecidas. Como a estrutura básica de 
uma demonstração é “se p é verdade, então q também deverá ser”, precisamos 
conhecer a verdade de algumas proposições iniciais para começar a 
demonstrar outras proposições a partir delas. Quando se formula uma teoria, 
as verdades iniciais são os postulados, sempre em número pequeno, e os 
teoremas são proposições que devem ser demonstradas a partir dos 
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postulados, ou de outros teoremas já demonstrados. Um exercício interessante 
é demonstrar uma proposição admitindo outras como verdadeiras, ou por já 
haverem sido demonstradas, ou porque nos parecem evidentes. Naturalmente, 
quanto mais desenvolvemos o pensamento crítico, mais procuramos 
demonstrações para proposições que anteriormente considerávamos 
evidentes... 
 
11. Admita que já foi demonstrado o seguinte teorema: 
“Em um triângulo, unindo-se os pontos médios de dois lados, obtém-
se um segmento de reta que é paralelo ao terceiro lado.” 
 
Demonstrar que, por mais irregular que seja um quadrilátero, unindo-
se os pontos médios dos quatro lados obtém-se um paralelogramo. 
 
 
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Em palavras, fazendo referência à figura, onde ABCD é um quadrilátero 
qualquer e MNPQ é quadrilátero que tem como vértices os pontos médios dos 
lados de ABCD, trata-se de demonstrar que MNPQ é um paralelogramo, ou 
seja, que MN é paralelo a QP e que MQ é paralelo a NP. 
12. Sabendo que a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180º, 
demonstre que a soma dos ângulos internos de um polígono convexo 
com n lados é igual a (n – 2).180º. 
 
TEXTO E 
Procure o livro A DEMONSTRAÇÃO EM GEOMETRIA, de A. I. Fetissov, (São 
Paulo: Atual Editora, 1994, 74p.) Leia com atenção e faça um resumo da 
segunda parte do livro (p. 15 a 22). Estabeleça relações com o que foi tratado 
nas aulas I1 e I2.