Continuidade e Reta Tangente Aula 04

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Curso de Matema´tica 1
Aula 04 - Continuidade e Reta Tangente
Objetivos da aula:
Entender o conceito de continuidade
Aprender os exemplos cla´ssicos de func¸o˜es cont´ınuas
Utilizar o Teorema do Valor Intermedia´rio para aproximar
ra´ızes de func¸o˜es complicadas
Estabeler uma relac¸a˜o entre existeˆncia de reta tangente e
continuidade
O imposto de renda
Regra do imposto em um pa´ıs imagina´rio
Quem ganha ate´ 10 mil cruzetas e´ isento; quem ganha mais de 10
mil e ate´ 20 mil cruzetas paga 10% da renda de imposto; os
demais pagam 20% da renda.
Como a maneira de calcular 10% de um nu´mero e´ multiplica´-lo por
10/100 = 0, 1, segue da regra acima que
I (r) =


0 , se 0 ≤ r ≤ 10,
0, 1r , se 10 < r ≤ 20,
0, 2r , se r > 20,
onde r ≥ 0 e´ a renda em milhares em I (r) e´ o imposto de renda
devido, tambe´m em milhares.
O imposto de renda
Note que
lim
r→10−
I (r) = lim
r→10−
0 = 0, lim
r→10+
I (r) = lim
r→10+
0, 1r = 1.
Os saltos do gra´fico podem provocar injustic¸as:
Sala´rio bruto: 10.000,00
Imposto devido: 0,00
Sala´rio l´ıquido: 10.000,00
Sala´rio bruto: 11.000,00
Imposto devido: 1.100,00
Sala´rio l´ıquido: 9.900,00 10 20
1
2
4
O imposto de renda
Novas regras do imposto
Quem ganha ate´ 10 mil cruzetas e´ isento; quem ganha mais de 10
mil e ate´ 20 mil cruzetas paga 10% da renda de imposto menos
uma parcela fixa de c mil cruzetas; os demais pagam 20% da
renda.
I1(r) =


0 , se 0 ≤ r ≤ 10,
0, 1r − c , se 10 < r ≤ 20,
0, 2r , se r > 20,
Para cada escolha do valor da deduc¸a˜o c , temos uma func¸a˜o
diferente. Gostar´ıamos de escolher o paraˆmetro c de modo que a
injustic¸a citada anteriomente na˜o exista mais.
O imposto de renda
Vamos calcular os limites laterais:
lim
r→10−
I1(r) = lim
r→10−
0 = 0,
lim
r→10+
I1(r) = lim
r→10+
(0, 1r − c) = 1− c .
O limite existe se, e somente
se, 0 = 1 − c , ou seja, c = 1.
Portanto, os contribuintes que
esta˜o na 2a faixa devem pagar
10% de sua renda menos 1 mil
cruzetas.
10 20
1
4
O conceito de continuidade
Seja f uma func¸a˜o definida em um intervalo aberto contendo o
ponto x = a. Dizemos que ela e´ cont´ınua em x = a se
lim
x→a
f (x) = f (a).
Para que f seja cont´ınua em x = a, e´ necessa´rio que:
1 o ponto x = a esteja no dom´ınio de f ;
2 exista o limite lim
x→a
f (x);
3 o limite acima seja igual a f (a).
Exemplo 1
Lembremos os nossos impostos I (r) e I1(r):
10 20
1
2
4
10 20
1
4
A func¸a˜o I (r) na˜o e´ cont´ınua nos pontos r = 10 e r = 20,
pois na˜o existe limite nestes pontos.
A func¸a˜o I1(r) na˜o e´ cont´ınua em r = 20. Pore´m, ela e´
cont´ınua em r = 10 pois
lim
r→10
I1(r) = 0 = I1(10).
Exemplo 2
A func¸a˜o ao lado na˜o e´ cont´ınua em
x = 1, porque na˜o existe o limite pela di-
reita neste ponto (e portanto na˜o existe
o limite quando x → 1). Note que x = 7
na˜o esta´ no dom´ınio, de modo que na˜o
tem sentido perguntar sobre a continui-
dade neste ponto.
1 7
2
100 150
1
2
A func¸a˜o V (p) da aula passada, cujo
gra´fico esta´ ao lado, na˜o e´ cont´ınua
em p = 100. Lembre que essa era
exatamente a pressa˜o cr´ıtica onde o
ga´s se transformava em l´ıquido.
Exemplo 3
Vamos calcular a e b sabendo que a func¸a˜o abaixo e´ cont´ınua em
x = 2:
g(x) =


x2 + a, se x < 2,
b − 6, se x = 2,
ax + 3, se x > 2.
Os limites laterais em x = 2 sa˜o (4 + a) e (2a + 3). Como o
limite existe, 4 + a = 2a + 3, isto e´, a = 1.
Como g e´ cont´ınua em x = 2, temos ainda que
5 = lim
x→2
g(x) = g(2) = b − 6,
e portanto b = 11.
Continuidade no extremos de um intervalo
Seja f uma func¸a˜o definida no intervalo [a, b]. Dizemos que f e´
cont´ınua em x = a se
lim
x→a+
f (x) = f (a).
Analogamente, f e´ cont´ınua em x = b se lim
x→b−
f (x) = f (b).
10 20
1
4
A func¸a˜o I1(r) e´ cont´ınua em r = 0,
pois
lim
r→0+
I1(r) = 0 = I1(0).
Note que na˜o teria sentido tentar cal-
cular o limite pela esquerda.
Exemplos ba´sicos
Se p(x) = (b0 + b1x + · · ·+ bnxn) e´ um polinoˆmio e a ∈ R, enta˜o
lim
x→a
p(x) = lim
x→a
(b0 + b1x + · · · bnxn)
= (b0 + b1a + · · ·+ bnan) = p(a),
e portanto todo polinoˆmio e´ cont´ınuo em todos os pontos. Mais
geralmente, se p e q sa˜o polinoˆmios e q(a) 6= 0, enta˜o
lim
x→a
p(x)
q(x)
=
p(a)
q(a)
.
Logo, as func¸o˜es racionais sa˜o cont´ınuas em todos os pontos do
seu dom´ınio.
Exemplos ba´sicos
Como limθ→0
sen(θ)
θ
= 1, temos que
lim
θ→0
sen(θ) = lim
θ→0
[
sen(θ)
θ
]
θ = 1 · 0 = 0 = sen(0),
e portanto o seno e´ cont´ınuo na origem. Para o cosseno, lembre
que sen2(θ) + cos2(θ) = 1, e portanto
lim
θ→0
cos(θ) = lim
θ→0
√
1− sen2(θ) = 1 = cos(0),
de modo que o mesmo vale para o cosseno.
Exemplos ba´sicos
Considerando agora um ponto qualquer a ∈ R, temos
lim
x→a
sen(x) = lim
θ→0
sen(θ + a)
= lim
θ→0
[sen(θ) cos(a) + sen(a) cos(θ)]
= sen(0) · cos(a) + sen(a) cos(0) = sen(a),
e portanto o seno e´ cont´ınuo em todos os pontos do seu dom´ınio.
Vale o mesmo para o cosseno, pois
lim
x→a
cos(x) = lim
θ→0
cos(θ + a)
= lim
θ→0
[cos(θ) cos(a)− sen(θ)sen(a)]
= cos(0) cos(a)− sen(0)sen(a) = cos(a).
Func¸o˜es cont´ınuas
Dizemos que uma func¸a˜o e´ cont´ınua em um conjunto A do seu
dom´ınio se ela for cont´ınua em todos os pontos do conjunto A.
Quando A coincide com o dom´ınio de f , dizemos simplesmente
que f e´ uma func¸a˜o cont´ınua.
Assim, sa˜o cont´ınuas as seguintes func¸o˜es:
polinoˆmios (em particular, as func¸o˜es constantes);
func¸o˜es racionais, isto e´, quociente de polinoˆmios;
seno e cosseno.
Veremos posteriormente que sa˜o tambe´m cont´ınuas:
a func¸a˜o exponencial ex ;
a func¸a˜o logar´ıtmica ln(x).
A´lgebra das func¸o˜es cont´ınuas
Teorema 1
Se f e g sa˜o cont´ınuas no ponto no ponto x = a, enta˜o sa˜o
tambe´m cont´ınuas neste ponto as func¸o˜es
1 (f + g)(x) = f (x) + g(x);
2 (f − g)(x) = f (x) − g(x);
3 (f · g)(x) = f (x)g(x);
4 (f /g)(x) = f (x)
g(x) , desde que g(a) 6= 0;
A prova do teorema e´ uma consequeˆncia direta das propriedades
do limite. Por exemplo, se f e g sa˜o cont´ınuas em x = a, enta˜o
lim
x→a
(f + g)(x) = lim
x→a
[f (x) + g(x)]
= lim
x→a
f (x) + lim
x→a
g(x) = f (a) + g(a) = (f + g)(a).
A´lgebra das func¸o˜es cont´ınuas
Teorema 2
Se g e´ cont´ınua em x = a, f e´ cont´ınua em y = g(a) e a
composic¸a˜o (f ◦ g) esta´ bem definida em um intervalo aberto
contendo a, enta˜o
lim
x→a
(f ◦ g)(x) = lim
x→a
f (g(x)) = f (g(a)) = (f ◦ g)(a),
e portanto a composta e´ cont´ınua em x = a.
Intuitivamente, quando x se aproxima de a, os valores y = g(x) se
aproximam de g(a), porque g e´ cont´ınua em x = a. Por outro
lado, como f e´ cont´ınua em g(a), a` medida que os valores
y = g(x) se aproximam de g(a), os valores f (y) = f (g(x)) se
aproximam de f (g(a)).
Exemplos
Usando os teoremas de limite e os dois u´ltimos resultados podemos
apresentar va´rios exemplos de func¸o˜es cont´ınuas. Listamos a seguir
alguns deles.
√
1 + x2
cos(
√
x);
x2 ln(1 + x)− x
cos(x)
;
a func¸a˜o tangente tan(x) =
sen(x)
cos(x)
;
as demais func¸o˜es trigonome´tricas
sec(x) =
1
cos(x)
, cossec(x) =
1
sen(x)
, cotan(x) =
cos(x)
sen(x)
.
O Teorema do Valor Intermedia´rio
Teorema 3
Suponha que f e´ uma func¸a˜o cont´ınua no intervalo fechado [a, b].
Se y0 e´ um valor entre f (a) e f (b), enta˜o existe pelo menos um
x0 ∈ [a, b] tal que f (x0) = y0.
O nu´mero x0 acima pode
na˜o ser u´nico.
Na˜o importa qual dos dois
valores f (a) e f (b) e´ maior.
O teorema na˜o nos diz como
encontrar o x0.
a x0 b
f (a)
y0
f (b)
Aproximandora´ızes com o TVI
Considere o polinoˆmio
f (x) = x3 − 2x2 − 4x − 2.
como f (2) = −10, o ponto (2, f (2)) esta´ abaixo do eixo Ox .
como f (6) = 118, o ponto (6, f (6)) esta´ acima do eixo Ox .
O gra´fico de f deve ligar esses dois pontos com uma curva suave,
sem saltos. A curva deve enta˜o interceptar o eixo Ox em um
ponto cuja abscissa e´ uma raiz de f (x).
Aproximando ra´ızes com o TVI
Na notac¸a˜o do TVI: a func¸a˜o f (x) = x3 − 2x2 − 4x − 2 e´ cont´ınua
no intervalo [a, b] = [2, 6], por ser um polinoˆmio. Ale´m disso, se
y0 = 0, enta˜o
f (a) = f (2) = −10 < y0 < 118 = f (6) = f (b).
Segue do TVI que existe x0 ∈ [2, 6] tal que f (x0) = y0 = 0, isto e´,
f possui pelo menos uma ra´ız em [2, 6].
O teorema na˜o nos permite encontrar a raiz mas, como sabemos
que pelo menos uma delas pertence a [2, 6], podemos dizer que
x = 4 e´ uma raiz aproximada. Na aproximac¸a˜o, estamos
cometendo um erro de no ma´ximo 2.
Aproximando ra´ızes com o TVI
O processo acima pode ser continuado de modo a ir “cercando”a
raiz. Em cada passo, o erro cometido se reduz pela metade, de
modo que a aproximac¸a˜o pode ser ta˜o precisa quanto se queira,
bastando para isso fazer muitos passos.
x f (x) Conclusa˜o Raiz aprox. Erro
2 −10
6 118 existe raiz em [2, 6] x0 = 4 2
4 14 existe raiz em [2, 4] x0 = 3 1
3 −5 existe raiz em [3, 4] x0 = 7/2 1/2
Usando um recurso computacional, pode-se verificar que a raiz que
estamos “cercando”e´ aproximadamente x0 = 3, 3652.
A reta tangente
Vamos lembrar que a reta tangente ao gra´fico de uma func¸a˜o f no
ponto (a, f (a)) e´ a reta que passa por este ponto e tem inclinac¸a˜o
f ′(a) = lim
x→a
f (x)− f (a)
x − a ,
quando esse limite existe.
Note que o quociente acima nada
mais e´ do que a inclinac¸a˜o da reta
que passa pelos pontos (a, f (a)) e
(x , f (x)).
a x
f (a)
f (x)
Continuidade versus reta tangente
Suponha que a func¸a˜o f possui reta tangente no ponto (a, f (a)).
Isso e´ equivalente a dizer que existe o limite
f ′(a) = lim
x→a
f (x)− f (a)
x − a ,
Neste caso, temos que
lim
x→a
f (x) = lim
x→a
[
(f (x)− f (a))
(x − a) (x − a) + f (a)
]
= f ′(a) · 0 + f (a) = f (a),
e portanto a func¸a˜o f e´ cont´ınua em x = a.
Continuidade versus reta tangente
Vamos verificar que a rec´ıproca na˜o e´ verdadeira considerando a
func¸a˜o f (x) = |x |. Como lim
x→0
|x | = 0 = |0|, a func¸a˜o f e´ cont´ınua
em x = 0. Por outro lado,
lim
x→0+
f (x)− f (0)
x − 0 = limx→0−
|x |
x
= lim
x→0−
x
x
= 1,
e o limite pela direita do mesmo quociente e´ igual a −1.
x
f (x)
Assim, na˜o existe o limite
lim
x→0
f (x)− f (0)
x − 0
na˜o havendo portanto reta tangente
no ponto (0, 0).
Continuidade versus reta tangente
Conclu´ımos que a existeˆncia da reta tangente no ponto (a, f (a))
implica na continuidade de f em x = a. O contra´rio na˜o e´ verdade
em geral. Uma func¸a˜o pode ser cont´ınua em x = a sem que exista
reta tangente no ponto (a, f (a)).
−1 1 3
A func¸a˜o ao lado na˜o tem reta tan-
gente no ponto (3, f (3)), por na˜o ser
cont´ınua em x = 3. Mesmo sendo
cont´ınua nos pontos x = −1 e x = 1,
ela tambe´m na˜o tem reta tangente
nos pontos (−1, f (−1)) e (1, f (1)).