Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
10 4) Forma Trigonométrica Norma e módulo Chama-se norma de um número complexo z = x + yi ao número real não negativo. N (z) = x2 + y2 Chama-se módulo ou valor absoluto de um número complexo z = x + yi ao número real não negativo. 22)( yxzNz Algumas vezes, em lugar de z usamos os símbolos ou r para representar o módulo. Exemplos: 1º) iz 3 2º) z = -2i 3º) z = -5 4º) z = -1 -i Propriedades do módulo Se z = x + yi é um número complexo qualquer, então: (I) 0z (II) 00 zz (III) z z (IV) Re(z) zz )Re( (V) Im(z) zz )Im( Se z1 e z2 são dois números complexos quaisquer, então: 11 VI) 2121 z . zz . z VII) 0)(z z z z z 2 2 1 2 1 VIII) 2121 zzzz Observemos que, se z é um número real, então o módulo de z, segundo a definição dada, coincide com o módulo de z como elemento de IR, pois: z xxxzixzIR 222 0.0 Assim, por exemplo, temos: 0z 0z 3;z 3z 2;z 2z Exemplo: Sendo z1= 3 + 4i e z2 = 12 – 5i, temos: Argumento Chama-se argumento de um número complexo z = x + yi, não nulo, ao ângulo tal que 12 zρ que em , ρ y θsen e ρ x θ cos Notemos que: 1º) a condição 0z garante 0 2º) existe ao menos um ângulo satisfazendo a definição, pois: 1cos 22 22 2 2222 22 yx yxyxyx sen 3º) Fixando o complexo 0z , estão fixados senθ e cosθ , mas o ângulo pode assumir infinitos valores, congruentes dois a dois (congruência módulo 2 ). Assim, o complexo 0z tem argumento Zk ,2kθθ 0 em que 0 chamado argumento principal de z, é tal que x 0cos , y sen 0 e 200 0 . Freqüentemente trabalhamos com 0 chamando-o simplesmente argumento de z. Exemplos: 1º) z = i3 2º) z = -2i 3º) z = -5 13 4º) z = -1 –i Plano de Argand-Gauss As noções de módulo e argumento tornam-se mais concretas quando representamos os números complexos z = x + yi = (x, y) pelos pontos do plano cartesiano xOy com a conveção de marcarmos sobre os eixos Ox e Oy, respectivamente, a parte real e a parte imaginária de z. Assim, a cada número complexo z = (x, y) corresponde um único ponto P do plano xOy. Nomenclatura: xOy = plano de Argand-Gauss Ox = eixo real Oy = eixo imaginário P = afixo de z Notemos que a distância entre P e O é o módulo de z: OP = 22 yx e o ângulo formado por OP com o eixo real é 0 tal que x 0cos e y sen 0 ; portanto 0 é o argumento principal de z. Forma Trigonométrica Dado um número complexo z = x + yi, não nulo, temos: 14 z = x + yi = y i p x .. e portanto: )..(cos seniz Chamada forma trigonométrica ou polar de z. Exemplos: 1º) z = i3 2º) z = -2i 3º) z = -5 15 4º) z = -1 –i 3ª Lista de Exercícios 1. Determine o módulo e o argumento principal, coloque na forma trigonométrica e dê a representação gráfica dos números: a) 4 b) 31 i c) i3 d) 2.2 i e) -5 f) -2i g) -5 - 5i h) 2 - 2i 2. Calcule o módulo dos seguintes números: a) 3 – 4i b) 2.2 i c) i512 d) seni.cos e) itg f) 24+7i 3. Coloque na forma trigonométrica os números: a) 3 + 3i b) 35.5 i c) -8 – 8i d) 11 e) 2i 16 f) i3 g) i 3 h) i(1 + i) i) 2i (1 – i) 4. Coloque na forma algébrica os seguintes números: a) seni.cos.3 b) 4 . 4 cos.2 seni c) 6 11 . 6 11 cos.4 seni d) 2 3 . 2 3 cos.5 seni 5. Calcule o módulo dos números: a) (1 + i)3 b) (1 – i)4 c) (5 + 12i).i d) (1 + i).(2 + 2i).(4 + 4i) e) i i 22 1 f) i i 43 5 6. Escreva na forma trigonométrica os números: a) 2 2 3 . 2 1 i b) i i1 c) 00 30.30cos.5 seni 7. Escreva na forma trigonométrica o inverso multiplicativo de 31 i . 17 8. Escreva na forma trigonométrica os números: a) i i 22 55 b) i i 2 1 c) 5 3 3.1 i i 9. Como é representado, na forma trigonométrica, o número complexo: i i z 1 1 2 ? 10. Represente no plano de Argand-Gauss os seguintes complexos: a) 3 + 5i b) -3 + 2i c) -2 – 3i d) 1 – 4i e indique graficamente o módulo e o argumento principal o de cada um deles. 11. Represente geometricamente no plano de Argand-Gauss os seguintes subconjuntos de ℂ: 1iz CzC 3 Cz B 2z CzA z
Compartilhar