Matemática Financeira

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MATEMÁTICA FINANCEIRA
Base Teórica
Lembrete : 10% = 10 / 100 = 0,10
 18% = 18 / 100 = 0,18
		 200% = 200 / 100 = 2,00
Juros Simples:
Montante ( S ) = Capital ( P ) + Juros sobre o Capital ( J )
	
		S = P + J = 	P +	P x i x n , onde 
i = taxa de juros
n = número de períodos de aplicação da taxa de juros
		S = P x ( 1 + i x n )
Equivalência de Capitais a Juros Simples:
Correlação de tempos de aplicações
 ia = is x 2 = iq x 3 = it x 4 = ib x 6 = im x 12 = id x 360
is	 = taxa semestral 
iq	 = taxa quadrimestral
it	 = taxa trimestral
ib	 = taxa bimestral
im	 = taxa mensal 
id	 = taxa diária 
Exercícios de Fixação
Um capital de R$ 3.000,00 é aplicado por um ano a taxa de juros de 25% aa. Calcular o juros ganhos na aplicação.
 
Qual a taxa de juros cobrada por um financiamento de R$ 1.000,00 a ser resgatado por R$ 1.600,00 ao final de um ano?
Qual a taxa de juros bimestral que permite transformar uma aplicação de R$ 4.500,00 em um montante de R$ 8.100,00 no prazo de um ano?
Calcular os juros obtidos por um capital de R$ 12.000,00 aplicado durante 8 meses e 3 dias à taxa de juros simples de 40% aa. Efetuar os cálculos considerando o ano comercial ( 360 dias ).
Aplicando R$ 18.000,00 pelo prazo de 7 meses recebemos R$ 4.000,00 de juros. Qual é a taxa anual de juros simples ganha?
Uma aplicação de R$ 5.000,00 obteve juros de R$ 1.200,00 no prazo de 180 dias. Qual é a taxa anual de juros ganha?
Um capital aplicado por 4 meses e 18 dias a juros simples de 12% am , transformou-se em R$ 23.000,00. Calcular o juros ganho na aplicação.
Um título foi resgatado por R$ 3.000,00. Se a taxa de juros simples aplicada foi de 180% aa e a remuneração ganha foi de R$ 1.636,36, quantos meses durou a aplicação?
Qual é o investimento necessário para produzir um montante de R$ 8.000,00 daqui a 3 meses a uma taxa de juros simples de 20% am?
 Um capital de R$ 100.000,00 aplicado por 105 dias transformou-se em R$ 145.000,00. Calcular a taxa mensal de juros simples ganha.
 
Exercícios 
Calcular os juros ganhos por um capital de R$ 23.000,00 aplicado pelo prazo de 14 dias à taxa de juros simples de 25% ao ano.
Qual a taxa anual de juros simples ganha por uma aplicação de R$ 1.300,00 que produz após um ano um montante de R$ 1.750,00?
Qual a remuneração obtida por um capital de R$ 2.400,00 aplicado por 17 meses à taxa de juros simples de 60% ao ano?
Calcular o rendimento de um capital de R$ 80.000,00 aplicado durante 28 dias à taxa de juros simples de 26% ao mês?
Aplicando R$ 80.000,00 por 17 meses resgatamos R$ 140.000,00. Qual é a taxa de juros anuais simples ganha na operação?
Em quantos meses um capital de R$ 28.000,00 aplicado à taxa de juros simples de 48% ao ano produz um montante de R$ 38.080,00?
Um capital acrescido de seus juros de 21 meses soma R$ 156.400,00. O mesmo capital diminuido de seus juros de 9 meses é reduzido a R$ 88.400,00. Calcular o capital e a taxa de juros envolvida?
Dois capitais foram colocados a juros simples , o primeiro à taxa de 20% ao ano e o segundo a 40% ao ano. Calcular os capitais sabendo que somados montam R$ 500,00, e que os dois produziram em um ano juros totais de R$ 130,00.
1. JUROS COMPOSTOS
	No regime de juros simples, apenas o capital inicial rende juros. No regime de juros compostos, a remuneração ou rendimento gerado pela aplicação será incorporado a ela, passando a participar da geração do rendimento no período seguinte. Diz-se que os juros são capitalizados.
Cálculo do Montante a Juros Compostos:
	
	M = P ( 1 + i ) n 
	
	Onde n é o tempo da aplicação, sempre na mesma unidade de tempo da taxa de juros.
	O fator ( 1 + i ) n é chamado de fator de capitalização ou fator de valor futuro para aplicação única. É o número pelo qual devemos multiplicar o valor da aplicação para obtermos o seu valor futuro ou de resgate.
2. Cálculo do Principal no Regime de Juros Compostos
	
	S = M ( 1 + i ) n , onde M = S 1
						 ( 1 + i ) n 
	
	
	O fator 1 é conhecido por fator de valor presente, fator de des-
		 ( 1 + i ) n conto ou fator de atualização para pagamento único.
	
	O cálculo do valor presente de uma aplicação, conhecido o montante, é apenas uma operação inversa do cálculo do montante, conhecido o valor da aplicação.
	O fator de valor futuro r ( 1 + i ) n “empurra” grandezas para a frente ( permite encontrar o valor futuro de uma aplicação, ou seja, permite capitalizar o principal )
	O fator de valor presente 1	 “ puxa “ grandezas para trás( permite 
( 1 + i ) n encontrar o principal de um determinado 
montante, ou seja, desconta um montante, trazendo-o a uma data anterior.
Exemplos
Calcular o montante de um principal de R$ 3.500,00 aplicado por 8 meses a juros compostos de 20% am.
 n = 8 meses i = 20% P= 3.500
	S = P ( 1 + i ) n = 3.500 ( 1 + 0,20 ) 8 = 3.500 x 4,29982 = 15.049,37 
	HP 12 C
	(f) (FIN)			apaga memória financeira da calculadora
	3500(CHS)(PV)		entra com o valor do principal com sinal oposto
20(i)				entra com a taxa de juros
	8(n)				entra com o número de períodos
	FV 15.049,37		pede para calcular o montante
Calcular o capital que aplicado durante 6 anos a taxa de juros compostos de 15% aa, transforma-se em R$ 14.000,00.
M = S 1 = 14000		=	14000		= 	6.052,59
	 ( 1 + i ) n 	(1,15)	6	 2,31306
Calculadora HP 12C
	(f)(FIN)			apaga a memória financeira
	14000(CHS)(PV)		entra com valor montante com sinal oposto
	15(i)				entra com a taxa de juros
	6(n)				entra com o nº de períodos
	(PV) 		6.052,59	pede para calcular o principal
Em que prazo um empréstimo de $ 55.000 pode ser quitado através de um único pagamento de $ 110.624,80; se a taxa de juros compostos cobrada for de 15% am ?
P = 55000	S = 110.624,80	i = 15% am		n = ?
S = P ( 1 + i ) n 110624,80 = 55000 ( 1 + 015 )n
				2,01136 = ( 1,15 ) n
log 2,01133 = n x log 1,15		n = 5 meses
Calculadora HP 12C
(f)(FIN)			apaga a memória financeira
110624,80(CHS)(FV)	entra com o valor do montante com sinal oposto
15(i)			entra com a taxa de juros
55000(PV)		entra com o valor do principal
(n)		5		calcula o nº de períodos	
A que taxa de juros um capital de $ 13.200 poderá transformar-se em $ 35.112,26, se o período de aplicação for de 7 meses ?
P = 13200	S = 35112,26	n = 7		i = ?
S = P ( 1 + i ) n		35112,26 = 13200 ( 1 + i ) 7
Calculadora HP 12C
(f)(FIN)			apaga a memória financeira
35112,56(CHS)(FV)	entra com o valor do montante com sinal oposto
55000(PV)		entra com o valor do principal com sinal positivo
5(n)			entra com o nº de períodos	
(i) 		15		Calcula taxa de juros
Exercícios de Fixação
Uma pessoa depositou $ 2.000 em uma poupança. Dois meses depois depositou mais $ 2.500 e, dois meses depois desde último depósito, realiza uma retirada de $ 1.300. Qual será o saldo da poupança ao final do quinto mês se a taxa de juros compostos ganha for de 15% am ?
Quanto rende um capital de $ 4.000 aplicado durante 10 meses a juros de compostos de 2% am?
Um capital de $ 2.000 rendeu $ 280 de juros em dois meses. Calcular a taxa de juros ganha na aplicação.
Um capital aplicado durante 7 meses a juros compostos de 4% am rendeu $ 10.000 de juros. Calcular o valor do capital.
Em quantos meses um capital de $ 5.000 aplicado a uma taxa de juros compostos de 5% am, produz jurosde $ 1.700,48?
Em quantos meses uma aplicação de $ 18.000 acumula um montante de $83.743 a juros de 15% am ?
Um investimento resultou num montante de $ 43.000 no prazo de 3 meses. Se a taxa de juros compostos ganha foi de 10% am, calcular o valor do investimento.
Um capital de $ 51.879,31 aplicado pelo prazo de 6 meses transformou-se em $ 120.000. Determinar a taxa de juros compostos.
Uma pessoa deve pagar 3 prestações iguais de de $ 3.500 a vencer daqui a 1 mês, 2 meses e 3 meses, respectivamente. Se resolvesse pagar a dívida por meio de um pagamento único daqui a 3 meses, qual seria o valor desse pagamento considerando uma taxa de juros compostos de 5% am ?
Um cliente dispõe de duas formas de pagamento: pagamento a vista de $ 1.400 ou doi8s cheques pré datados de $ 763,61 cada um, para 30 e 60 dias respectivamente. Calcular a taxa de juros compostos cobrada. Se o cliente ganha 5% am em suas aplicações financeiras, qual será a melhor opção de compra: à vista ou a prazo ? 
EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS
CONCEITO : 
Dois capitais podem ser equivalentes mesmo se colocados em épocas diferentes. Os capitais só podem ser comparados em uma mesma época, pois somente desta forma saberemos se um conjunto de capitais se equivale ao outro.
	Para melhor compreensão do conceito de equivalência, consideremos S1, S2, ..., Sn como sendo os valores de n capitais resgatáveis nos prazos t 1,t 2,..., t n, respectivamente.
	 	 	S1		 S2			 Sn
0		t 1		 t 2		t	 t n
	Dizemos que estes capitais são equivalentes em determinada data t, se apresentarem valores iguais quando avaliados naquela data para uma mesma taxa de juros compostos. Então, os capitais acima serão equivalentes na data t, se a seguinte igualdade se verificar:
		S1 ( 1 + i ) t – t1 = S2 ( 1 + i ) t – t2 = S n
							 ( 1 + i ) tn – t
	O conjunto de capitais anterior e o conjunto abaixo:	
			M1		 M2			 
0		t 3		 t 4		t	
serão equivalentes na época t, se 
S1 ( 1 + i ) t – t1 + S2 ( 1 + i ) t – t2 + S n	 = M1 ( 1 + i ) t – t3 + M2 ( 1 + i ) t – t4
				 	 ( 1 + i ) tn – t
A equação anterior chama-se equação de valor na época. É importante ressaltar que no regime de juros compostos, dois conjuntos de obrigações que sejam equivalentes em uma determinada data o serão em qualquer outra. 
Aplicação
1. Verificar se a juros compostos de 10% am, os juros dos capitais A e B são equivalentes.
2. Uma pessoa deve $3.000 com vencimento em 2 anos e $ 4.500 em 6 anos. Pretende pagar seus débitos por meio de um pagamento a ser efetuado no final de 4 anos. A juros de 10% aa, calcular o valor do pagamento único que liquida a dívida. ( 
3. Uma pessoa deve fazer um pagamento de $ 1.000 daqui a 10 meses. Propõe pagar a dívida em 3 parcelas, $ 350 daqui a 3 meses, $ 300 daqui a 7 meses e uma parcela final no vencimento de dívida. A juros compostos de 4% am, determinar o valor da parcela final que liquida a dívida.
Uma dívida de $ 1.000 vence daqui a 10 meses; entretanto, o devedor propõe parcelar a dívida pagando 3 parcelas semestrais iguais. A juros compostos de 5% am, calcular o valor das parcelas.
Por um eletrodoméstico com valor à vista de $ 140, uma pessoa deve pagar uma entrada no ato da compra e duas prestações de $ 80 no final dos próximos dois meses. A juros efetivos de 20 % am, determinar o valor da entrada.
TAXA DE JUROS EFETIVA
	Uma taxa efetiva pressupõe a incidência de juros uma única vez em cada período a que se refere a taxa.
	Exemplos:
		12% ao mês, capitalizados mensalmente
		47% ao trimestre, capitalizados trimestralmente
		189% ao ano, capitalizados anualmente
TAXA DE JUROS NOMINAL
	Quando os juros são capitalizados mais de uma vez no período a que se refere a taxa, ou seja, incorporados ao principal mais de uma vez no período da taxa nominal.
	Exemplos:
		18% ao ano, capitalizados mensalmente
		5% ao mês, capitalizados diariamente
			S = P ( 1 + j / k ) k x m
	Onde:
		j = taxa de juros nominal
		k = nº de vezes que os juros são capitalizados no período
		m = prazo de aplicação na mesma unidade de tempo da taxa nominal
		P = capital aplicado
		S = montante
	 ( 1 + i a ) = ( 1 + j / k ) k x m
		i a = taxa de juros efetiva ao ano
 APLICAÇÃO
Qual dentre as alternativas de investimento abaixo se mostra como uma melhor aplicação? 48% aa com capitalizações mensais ou 50% aa com capitalizações semestrais.
j1 = 48% aa j2 = 50% aa
k1 = 12 	 k2 = 2 m = 1 i a1 = ? 	i a2 = ?
i a1 = 60,10% 	i a2 = 56,25%
HP 12 C
(f)(FIN)					(f)(FIN)
48(g)(12:)					50[ENTER] 2( : )(i)
1(g)(12X)					2[ENTER](n)
1(CHS)(PV)					1(CHS)(PV)
(FV)						(FV)
1(-)100(X) 60,101			(-)100(X) 56,25
EQUIVALÊNCIA
	( 1 + i a ) = ( 1 + i s ) 2 = ( 1 + i t ) 4 = ( 1 + i m ) 12 = ( 1 + i d ) 360
APLICAÇÃO
Calcular a taxa efetiva ao mês, equivalente a taxa efetiva de 30% aa. 
i m = 2,21% am
EXERCÍCIOS
Um capital de R$ 1.000,00 será investido à taxa nominal de 50% aa pelo prazo de um ano. Qual será a periodicidade na capitalização dos juros que representa o maior montante e a maior taxa efetiva ao ano?
P = R$ 1.000,00		k1 = 1		k2 = 12	k3 = 360	m = 1	 j = 50% aa
S1 = ?	S2 = ?		S3 = ?		i a1 = ?	i a2 = ?	i a3 = ?
Uma aplicação de R$ 4.500,00 em CDB é resgatada por R$ 4.860,00 no prazo de 60 dias. Calcular a taxa de juros efetiva ao ano ganha na aplicação.
P = R$ 4.500,00		S = R$ 4.860,00	n = 60		 i a = ?
Calcular o montante resultante de um investimento de $ 1.200 aplicados por 3 anos a juros nominais de 16% aa capitalizados mensalmente. ( $ 1.933,15 )
Calcular o valor de resgate para um capital de $ 200 aplicado pelos prazos e taxas nominais seguintes:
27 dias a 9% am capitalizados diariamente ( $ 216,85 )
6 meses a 28% aa capitalizados mensalmente ( $ 229,69 )
8 meses a 18% as capitalizados mensalmente ( $ 253,35 )
27 meses a 12% ao trimestre capitalizados mensalmente ( $ 576,67 )
7 meses a 28% aa capitalizados trimestralmente ( $ 228,98 )
Calcular a taxa nominal ao ano, capitalizada mensalmente, que produz um montante de $ 1.933,15 a partir de um investimento de $ 1.200 aplicado pelo prazo de 3 anos. ( 16% aa )
Um capital de $ 15.000 é aplicado por 180 dias à taxa de 24% ao trimestre capitalizada mensalmente. Calcular o valor do resgate da aplicação. 
( $ 23.803,12 )
Uma aplicação de $ 1.000 foi efetuada em 17/03/00 para resgate em 24/06/2003. Se a taxa de juros ganha é nominal de 12% am com capitalização diária, calcular o valor de resgate. ( $ 117.974,14 )
SÉRIE UNIFORME DE CAPITAIS
1. Uma série uniforme é uma sequência de pagamentos ou recebimentos iguais efetuados a intervalos de tempos iguais. Os vencimentos dos termos de uma série uniforme podem ocorrer no final de cada período ( termos Postecipados ), no início ( termos antecipados ), ou ao término de um período de carência ( termos diferidos ). A seguir , apresentamos os diagramas representativos dos fluxos de caixa genéricos dos três esquemas de séries uniformes:
Fluxo de Séries Uniformes Postecipadas
		S1		 S2			 Sn
0		1		 2			 n
Fluxo de Séries Uniformes Antecipadas
 S0		S1		 S2			 Sn
0		t 1		 t 2			 t n
Fluxo de Séries Uniformes Diferidas
 Carência
			 S0		 S1		 S2			 Sn
0		 	 c 		 c + t 1	c + t 2			 c + t n
	2. Valor Presente de Séries Uniformes
	O valor presente de uma série uniforme postecipada corresponde a soma dos valores dos termos da série, que representa a soma dos termos de uma progressão geométrica limitada. Utilizando a fórmula de soma de progressões geométricas,podemos desenvolver a seguinte expressão para o valor presente de uma série uniforme com n termos postecipados capitalizados à taxa efetiva i :
	P = R a1 – a n x q	onde : a1 = primeiro termo da série = ( 1 + i ) -1
		 1 – q a n = n – ésimo termo da série = ( 1 + i ) –n
						q = razão =	( 1 + i ) –1
	
		 ( 1+ i )n – 1 
		P = R 					P = R a n i
 ( 1+ i )n i 
		 			
Aplicação
Um bem cujo preço à vista é de R$ 4.000,00 será pago em 8 prestações mensais iguais pagas ao final de cada mês. Considerando que o juro composto cobrado é de 5% am, calcular o valor das prestações.
Dados : P = R$ 4.000,00 	i = 5% am ( 0,05 )		n = 8 	R = ?
P = R a8 5 R = R$ 618,89
HP 12 C
( g ) ( END ) = modo postecipado
(f) ( FIN )
4000 ( CHS ) ( PV )
5 ( i )
8 ( n )
( PMT ) 618,89
No exemplo anterior, se no ato da compra fosse paga uma entrada de 20% sobre o valor à vista, calcular o valor das prestações:
Dados : P = R$ 4.000,00 	i = 5% am ( 0,05 ) E = R$ 800,00		n = 8 R = ?
	P – E = R a8 5 R = R$ 495,11
HP 12 C
( g ) ( END ) = modo postecipado
(f) ( FIN )
3200 ( CHS ) ( PV )
5 ( i )
8 ( n )
( PMT ) 495,11
Uma pessoa recebeu R$ 7.500,00 pelo seu carro usado na compra de um novo, cujo valor a vista é R$ 18.500,00. O saldo será pago por meio de uma determinada entrada, mais 18 prestações mensais de R$ 350,00. Sendo aplicados juros nominais de 72% aa, capitalizados mensalmente, calcular o valor da entrada.
C = R$ 18.500,00	j = 72% aa	n = 18		R = R$ 350,00	
A = R$ 7.500,00	E = ? ( $ 7.210,34 )
Uma dívida de R$1.000,00 vence daqui a 10 meses; entretanto, o devedor propõe parcelar a dívida pagando 3 parcelas semestrais iguais. A juros efetivos de 5% am, calcular o valor das parcelas.
0		6	10	12		18
		X 1000	X		X
Exercícios
Conforme exemplo 1 da aplicação, se no ato da compra fosse paga uma entrada de 20% juntamente com a primeira prestação, calcular o valor das prestações. ( $ 471,53 )
A juros nominais de 36% aa capitalizados mensalmente, determinar o tempo necessário para liquidar um financiamento de $ 842,36 por meio de prestações mensais de $ 120,00. ( 8 meses )
Quanto se deve aplicar hoje em um investimento de forma a poder retirar $ 100.000 no final de todo mês, durante 20 meses, se a taxa de juros nominal ganha é de 120% aa capitalizados mensalmente. ( $ 851.356 )
Um empréstimo será liquidado em 8 prestações de $ 60.000 pagas todo final de mês. Se a taxa de juros efetiva é de 15% am, determinar o valor do empréstimo. ( $ 269.239,29 )
Um financiamento de $ 450.000 foi contratado a juros efetivos de 20% aa, devendo ser amortizado em 12 prestações mensais iguais. Calcular o valor das prestações. ( $ 41.335,57 )
Em quantos meses uma pessoa consegue liquidar um empréstimo de $ 1.895.395 pagando prestações mensais de $ 500.000 a juros efetivos de 10% am ? ( 5 meses )
Uma compra no valor de $ 50.000 foi financiada em 12 prestações mensais antecipadas. Se o credor aplica juros efetivos de 8% am, calcular o valor das prestações. ( $ 6.143,29 )
Uma pessoa deve pagar por um financiamento 6 prestações mensais antecipadas de $ 13.000 cada uma. Calcular o valor do financiamento efetivo se a taxa de juros cobrada for de 15% am. ( $ 56.578,02 )
2) 1000 = X ( 1,05 )10-6 + X ( 1,05 ) 10-12 + X ( 1,05 ) 10-18
( 1 + im ) = (1 + 0,72 / 12)
R = Financ. Efetivo / a 18 6%
Financ. Efetivo = 18500 – 7500 - E
HP 12C
(f) (FIN)
350 (g) (END) (PMT)
72 (g) (12: )
18 (n)
(PV) 11000 (+) 7210,34
EMPRÉSTIMOS
Classificação : curto, médio ( até 3 anos ) e longo ( diferentes modalidades de restituição do principal e juros. Contratos regem a relação ) prazos.
Nos sistemas de amortização os juros serão calculados sempre sobre o saldo devedor. Serão considerados o regime de juros compostos ( não pagamento dos juros em um dado período leva a um saldo devedor maior, com cálculo de juro sobre juro ).
Definições :
Mutuante ou credor : aquele que dá empréstimo.
Mutuário ou devedor : aquele que recebe o empréstimo.
taxa de juros : custo efetivo do empréstimo.
IOF : Imposto sobre Operações Financeiras.
Prazo de utilização : intervalo de tempo durante o qual o empréstimo é transferido do credor ao devedor.
Prazo de Carência : período compreendido entre o prazo de utilização e o pagamento da primeira amortização. Durante a carência somente se paga os juros. Pode-se capitalizar os juros durante o prazo de carência para pagamento posteriormente.
Parcelas de Amortização : parcelas de devolução do principal.
Prazo de amortização : intervalo em que se pagam as amortizações.
Prestação : Soma da amortização acrescida de juros e outros encargos, pagos em um dado período.
Planilha : Cronograma dos valores de recebimentos e pagamentos.
Prazo total do financiamento : Soma do prazo de carência com o prazo de amortização.
Saldo Devedor : Débito em um determinado instante de tempo.
Período de amortização : intervalo de tempo existente entre duas amortizações.
Principais sistemas de amortização :
Sistema de Amortização Constante ( SAC):
	As parcelas de amortização são iguais entre si. Os juros são calculados a cada período, pela taxa de juros contratada ( na forma unitária ) pelo saldo devedor existente no período anterior. As prestações são continuamente decrescentes.
 Prestação
				Juro
					Amortização
								Períodos
Sistema Francês ( SF ) :
As prestações são iguais entre si e calculadas de tal modo que uma parte paga os juros e a outra o principal. A dívida fica completamente saldada na última prestação. Acrescida de certas particularidades de cálculo, é também conhecido como Sistema Price.
 Prestação
				
				Amortização
				Juro
								Períodos
Sistema Americano (S A) :
Após um certo prazo o devedor paga, em uma única parcela, o capital emprestado. A modalidade mais comum é aquela em que o devedor paga juros durante o período de carência. 
 					 Principal
 Prestação
					Juro
								Períodos
Sistema de Amortizações Variáveis (SAV) :
	As parcelas de amortização são contratadas entre as partes e os juros calculados sobre o saldo devedor.
	Prestação
		 Juro
				
 				Amortização
								Períodos
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_1000469813.xls
Plan1
		Conj. A						Conj. B
		Capital		Mês Vencimento				Capital		Mês Vencimento
		* 2,000.00		1				* 2,100.00		1
		* 2,200.00		2				* 2,000.00		2
		* 2,420.00		3				* 2,300.00		3
		* 2,662.00		4				* 2,902.90		4