Algebra Lista Tranformação Linear

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Quinta Lista de Exerc��cios de SMA304 -
�
Algebra Linear
Professora: Maria do Carmo Carbinatto 19.09.2017
Exerc´ıcio 1. Determinar as coordenadas do vetor u = (−1, 8, 5) ∈ R3 em rela�c~ao a cada uma
das bases do espa�co vetorial real (R3,+, ·) abaixo:
(a) base cano^nica do espa�co vetorial real (R3,+, ·).
(b) B = {(0, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 1)}.
(c) C = {(1, 2, 1), (0, 3, 2), (1, 1, 4)}.
Exerc´ıcio 2. Determinar as coordenadas do polino^mio p ∈ P3(R), dado por
p(t) = 10+ t2 + 2t3,
em rela�c~ao �as seguintes bases do espa�co vetorial real (P3(R),+, ·):
(a) base cano^nica do espa�co vetorial real (P3(R),+, ·).
(b) B = {q0, q1, q2, q3}, onde
q0(t) = 1, q1(t) = 1+ t, q2(t) = 1+ t+ t
2, q3(t) = 1+ t+ t
2 + t3.
(c) C = {r0, r1, r2, r3}, onde
r0(t) = 4+ t, r1(t) = 2, r2(t) = 2− t
2, r3(t) = t+ t
3.
Exerc´ıcio 3. Determinar as coordenadas do vetor A =
 2 5
−8 7
 ∈ M2(R) em rela�c~ao �as
seguintes bases do espa�co vetorial real (M2(R),+, ·):
(a) base cano^nica do espa�co vetorial real (M2(R),+, ·).
(b) B =

 1 0
0 0
 ,
 1 1
0 0
 ,
 1 1
1 0
 ,
 1 1
1 1
 .
Exerc´ıcio 4. Encontre uma base do espa�co vetorial real (M2(R),+, ·) que contenha o conjunto
S =

 1 0
1 0
 ,
 1 1
0 0
 .
Exerc´ıcio 5. Veri�que que a matriz das coordenadas de p ∈ Pn(R), em rela�c~ao �a base B =
{p0, p1, p2, . . . , pn} do espa�co vetorial real (Pn(R),+, ·), onde
p0(x) = 1, p1(x) = x, p2(x) = x
2, . . . , pn(x) = x
n, para x ∈ R,
1
�e
[p]B =

p(0)
p ′(0)
1
2!
p ′′(0)
.
.
.
1
n!
p(n)(0)

,
sendo que p(k)(0) denota a k-�esima derivada do polinmio p, calculado em x = 0.
Exerc´ıcio 6. Determinar as coordenadas e a matriz das coordenadas do vetor p ∈ P3(R) em
rela�c~ao �a base B = {p0, p1, p2, p3} do espa�co vetorial real (P3(R),+, ·), onde
p0(x) = x
3, p1(x) = 1, p2(x) = 2− x, p3(x) = 2+ x+ x
2, para x ∈ R.
Exerc´ıcio 7. Determinar as coordenadas do vetor 1− 2i ∈ C, em rela�c~ao �a base C = {1− i, 1+ i}
do espa�co vetorial real (C,+, ·).
Exerc´ıcio 8. Sejam
B = {(1, 0), (0, 1)}, C = {(−1, 1), (1, 1)}, D = {(
√
3, 1), (
√
3,−1)}
bases do espa�co vetorial real (R2,+, ·).
(a) Determinar as coordenadas do vetor v = (3, 2) em rela�c~ao �a base B, em rela�c~ao �a base C e
em relaa�c~ao �a base D.
(b) Encontre as matrizes de mudan�ca da base B para a base C; da base C para a base D e da
base B para a base D.
(c) Existe alguma rela�c~ao entre as matrizes de mudan�ca de bases encontradas no item (b)?
Qual?
Exerc´ıcio 9. Seja B �e uma base de um espa�co vetorial real (V,+, ·). Qual �e a matriz de mudan�ca
da base B, para a base B?
Exerc´ıcio 10. Seja (V,+, ·) o espa�co das matrizes 2× 2 triangulares superiores. Sejam
B =

 1 0
0 0
 ,
 0 1
0 0
 ,
 0 0
0 1
 e C =

 1 0
0 0
 ,
 1 1
0 0
 ,
 1 1
0 1

duas bases do espa�co vetorial real (V,+, ·).
(a) Encontre as coordenadas do vetor
 1 2
0 4

, em rela�c~ao �as base B e em rela�co �a base C.
(b) Encontre as matrizes de mudan�ca da base B, para a base C, e a da base C, para a base B.
Exerc´ıcio 11. A matriz de mudan�ca de uma base B do espa�co vetorial (R2,+, ·), para a base
C = {(1, 1), (0, 2)}, desse mesmo espa�co vetorial, �e dada por
 1 0
2 3

. Determine os vetores da
base B.
Exerc´ıcio 12. A matriz de mudan�ca da base B = {p1, p2} para uma base C, ambas de um mesmo
subespa�co W do espa�co vetorial real (P2(R),+, ·), �e dada por:
 1 2
1 −1

, onde
p1(x) = 1+ x, p2(x) = 1− x
2, para x ∈ R.
Determine os vetores da base C.
Exerc´ıcio 13. Considere as bases B = {e1, e2, e3} e C = {g1, g2, g3} de um espa�co vetorial real
(V,+, ·), relacionadas da seguinte forma
g1 = e1 + e2 − e3
g2 = 2e2 + 3e3
g3 = 3e1 + e3.
(a) Determine as matrizes mudan�ca da base B para a base C, isto �e, MCB, e da base C para �a
base B, isto �e, MBC .
(b) Se a matriz das coordenadas do vetor v ∈ V em rela�c~ao �a base B, isto �e, [v]B, �e dada por
1
3
2
, encontrar a matriz das coordenadas do vetor v, em rela�c~ao �a base C, isto �e, [v]C.
(c) Se a matriz das coordenadas do vetor v ∈ V, em rela�c~ao a base C, isto �e, [v]C, �e dada por
2
3
−1
, encontre a matriz das coordenadas do vetor v, em rela�c~ao �a base B, isto �e, [v]B.
Exerc´ıcio 14. Considere as bases ordenadas B = {p0, p1, p2} e C = {q0, q1, q2} do espa�co vetorial
real (P2(R),+, ·), onde
p0(t) = 1, p1(t) = 1+ t, p2(t) = 1+ t
2, para t ∈ R
e
q0(t) = t
2, q1(t) = t, q2(t) = 1, para t ∈ R.
(a) Encontre as matrizes de mudan�ca da base B para a base C, isto �e MCB, e da base C para a
base B, isto �e MBC .
(b) Se [v]B =

1
−4
6
, encontre [v]C.
(c) Se [v]C =

8
−1
3
, encontre [v]B.
(d) Se a base D = {r0, r1, r2} �e a base cano^nica do espa�co vetorial real (P2(R),+, ·), encontre as
matrizes de mudan�ca da base B para a base D e da base D para a base C, isto �e, MDB e M
C
D,
respectivamente.
Exerc´ıcio 15. Considere W =

 x y
z t
 ∈M2; x− y− z = 0
 o subespa�co vetorial do espa�co
vetorial real (M2(R),+, ·).
(a) Mostre que os conjuntos
B =

 1 1
0 0
 ,
 1 0
1 0
 ,
 0 0
0 1

e
C =

 1 0
1 0
 ,
 0 −1
1 0
 ,
 0 0
0 1

s~ao bases do subespa�co vetorial W.
(b) Encontre as matrizes de mudan�ca da base B para a base C e da base C para a base B, isto
�e, MCB e M
B
C , respectivamente.
(c) Encontre uma base D, do subespa�co vetorial W, de modo que a matriz
P =

1 1 0
0 0 2
0 3 1
 ,
seja a matriz de mudan�ca da base D para a base B, isto �e, P =MBD.