Probabilidade 2 parte

Prévia do material em texto

F 
Principais regras de probabilidade 
 
Tabela para regra da soma e do produto 
 
 
 
 
 
 
Ocorrência Símbolo Equação 
Eventos Dependentes Regra da Soma 
A ou B A B= Regra (1) 
Eventos dependentes: A ou B P(A B) = P(A) + P(B) 
a probabilidade de um 
 ´´Ou´´ 
implica Pode ser escrita assim: 
evento [A] interfere na soma P(A ou B) = P(A) + P(B) 
na probabilidade de =´´ou´´ 
outro evento [B]. 
A ou B, mas não ambos Regra (2) 
A ou B podem ocorrer, 
mas não a interseção. A B= 
 P(A B) = P(A) + P(B) –
P(A B) 
O leitor deve verificar se tal A ou B 
interseção existe e subtraí-
la. 
Eventos independentes Regra do Produto 
A e B 
Eventos independentes: a A B= Regra (3) 
probabilidade de um evento A e B P(A B) = P(A).P(B) 
[A] não interfere na 
ocorrência =´´e´´ Pode ser escrita assim: 
de outro evento [B]. Os 
eventos ´´e´´ implica P(A e B) = P(A). P(B) 
A e B podem ocorrer ao 
mesmo tempo. multiplicação 
 Regra 
 (4) P(A e B)=P(A).P(B\A) 
Probabilidade condicional (5) P(A e B) =P(B) . P(A\B) 
 (6) P(B\A) = [P(A e B)] / P(A) 
 (7) P(A\B) = P (A e B) / P(B) 
Observe que enumeramos as regras de 1 a 7, mas há outras a 
serem vistas mais adiante. Resumindo: 
 
Regra (1): P(A ÈB) = P(A) + P(B). 
Podemos escrever essa equação desta forma: 
P (A ou B) = P(A) + P(B). 
Observação: Podemos aplicar essa regra para mais 
eventos. 
Ex.: A ou B ou C. 
 
Regra (2): P(AÈB) = P(A) + P(B) – P(AÇB). 
 
Regra (3): P(AÇB) = P(A). P(B). 
Podemos escrever essa equação desta forma: 
P(A e B) = P(A). P(B). 
Observação: Podemos aplicar essa regra para mais 
eventos. 
Ex.: A e B e C. 
Regras (4,5,6 e 7). Aplicamos as equações 4,5,6 e 7 
em problemas de probabilidade condicional. 
 
(4) P(A e B) = P(A). P(B\A); 
 
(5) P(A e B) = P(B). P(A\B); 
 
(6) P(B/A) = [P(A e B)] / P(A); 
 
(7) P(A/B) = P(A e B) / P(B). 
 
 
 
 
 
Principais palavras-chave e expressões para essas regras 
 
· Regra da soma: ou, um ou outro, uma ou outra etc., pelo 
menos 1(que quer dizer ´´um ou mais do que 1´´). 
 
· Regra do produto: e, um e outro, uma e outra, ambos, 
ambas, todos, todas. 
 
Exemplo 1 
 
Um estudante deseja escolher um filme ou uma peça de 
teatro. O filme tem a probabilidade 0,3 de ser escolhido, e a 
peça tem probabilidade 0,6 de ser escolhida. Qual a 
probabilidade de que o estudante escolha o filme ou peça? 
 
Resposta: usando a regra 1: 
 
 P(A ou B) = P(A) + P(B) = 0,3 + 0,6 = 0,9. 
 
 
 
 Aqui, existe a possibilidade de que esse estudante esteja ao 
mesmo tempo no cinema e no teatro? Não. Daí não aplicarmos 
a regra 2. 
 
Exemplo 2 
 
Caso o estudante tenha horários diferenciados, ir ao cinema 
não o impediria de ir ao teatro. Qual seria a probabilidade de o 
estudante escolher o filme e a peça? Ou seja, ambos os 
programas? Use a regra do produto P(A e B) = P(A). P(B) = 
0,3. 0,6=0,18. 
 
 
 
O estudante tem 90% de chance de escolher um ou outro 
Programa, ao passo que a chance de que ele escolha ambos 
cai para 18%. 
 
Comentário: 
Comentários
: 
 
O estudante deve ter em mente que os resultados da 
probabilidade de que um evento ocorra estão entre 0 e 1, 
incluindo o 0 e o 1. 
 
Em porcentagem, isso significa que a chance de que um 
evento ocorra está situada entre 0% e 100%, incluindo 0% e 
100%. 
Ora, quando afirmamos que um acontecimento tem 0% de 
chance de ocorrer é que se trata de algo bem improvável. 
 
Quando afirmamos, ao contrário, que um evento tem 100% de 
chance de ocorrer é porque se trata de algo bem provável. 
 
 
Teorema da probabilidade total, 
Teorema de Bayes e da probabilidade condicional 
 
 Teorema da probabilidade total (regra 8) 
 
 (P(A). P(X\A) + P(B). P(X\B) + P(C). P(X\C)) 
 
 Teorema de Bayes (regra 9) 
 
P(A\X) = P(A) . P(X\A) / P(A) .P(X\A) + P(B). P(X\B) + P(C). P(X\C) 
 
 
 Probabilidade condicional (ver regras 4, 5, 6 e 7 acima) 
 
 O que significa P(B\A) ? 
 
Esse símbolo deve ser lido assim: ´´a probabilidade de ocorrer 
B, sabendo que A ocorreu´´. 
 
 O estudante não deve supor que P(B\A) significa que B esteja 
sendo dividido por A. 
 
O símbolo \ deve ser lido como ´´sabendo que´´ ou ´´sabendo-
se que´´ ou ´´dado que´´ ou ´´uma vez que´´. 
 
Como já ocorreu um fato, queremos calcular a probabilidade de 
outro fato ocorrer, uma vez que o primeiro aconteceu. 
Regra do complemento (regra 10) 
 
q = 1 – p 
 
Essa é uma regrinha muito útil. Vamos denotá-la por ´´RC´´. 
Nós a usaremos em problemas de probabilidade e em 
distribuições de probabilidade (exemplo: binomial, normal, 
Poisson). 
 
O que ela significa? 
 
Significa que, se somarmos p e q o resultado será 1 ou 100%. 
Se quisermos o valor de p, então, faremos p = 1 – q; 
Se quisermos o valor de q, então, faremos q = 1 – p. 
 
Exemplo de aplicação da RC 
 
Em um quarto de hospital está internado um paciente que tem 
50% de chance de sobreviver a uma operação. 
Quais são suas chances de não sobreviver? 
Sejam: 
 p sua chance de sobreviver e 
 
q sua chance de não sobreviver. 
 
 Lembre-se: queremos descobrir a chance de ele não sobreviver. 
 
Logo, queremos o valor de q. 
 
Sendo q = 1 – p, então, teremos que a chance de o paciente não 
sobreviver é dada por q = 1 – 0,5. Logo, q = 0,5. 
 
 
 
 
 
 
Exemplo de um problema utilizando o teorema de Bayes 
 
Em uma empresa, estão trabalhando dia e noite três máquinas 
A, B e C. A máquina A produz 40% das peças, a máquina B 
produz 30% e a máquina C Produz 30%. O percentual de peças 
defeituosas da máquina A é de 1%, da máquina B é de 3% e da 
máquina C é de 5%. Podemos explorar esse tipo de problema 
com algumas questões: 
 
1) Qual a probabilidade de uma peça, selecionada ao acaso, 
ser defeituosa? 
2) Qual a probabilidade de essa peça, sabendo-se que é 
defeituosa, ter sido feita pela máquina A? 
 
 Uma maneira didática de organizar os dado é montar uma 
tabela, como a que se segue: 
 
 
Qual o significado do resultado geral de 0,028? O resultado, em si, indica a 
probabilidade de uma peça selecionada ao acaso ser defeituosa. 
 
Encontramos esse resultado utilizando o teorema da probabilidade 
total. 
(P(A). P(X\A) + P(B). P(X\B) + P(C). P(X\C)) 
 
 % 
 
 
Máquina 
(A) 
% de produção 
(em decimal) 
(B) 
% de peças 
defeituosas 
(em decimal) 
Produto 
(entre A e B) 
Máquina A 0,4 0,01 0,004 
Máquina B 0,3 0,03 0,009 
Máquina C 0,3 0,05 0,015 
 Soma do 
produto entre 
A e B 
 
0,028 
 
Suponha o leitor que, agora, estamos interessados em encontrar a 
probabilidade de uma peça, sabendo que ela é defeituosa, ter sido feita 
em uma das três máquinas. Para achar essa probabilidade, usaremos o 
teorema de Bayes. O procedimento é muito simples: 
 
a) Se queremos saber a probabilidade de essa peça ter sido feita na 
máquina A, dividimos o resultado da multiplicação entre o 
percentual de produção e o percentual de defeito pela soma total 
de todas as multiplicações. Logo, basta fazermos: 
 
0,004/0,028 = 0,14 (ou 14%, aproximadamente). 
 
b) O mesmo será válido para as outras máquinas. Assim, se 
queremos saber a probabilidade de a peça defeituosa ter sido feita 
na máquina B, devemos fazer: 
 
0,009/0,028 = 0,32 (ou 32%, aproximadamente). 
 
Para a máquina C, devemos fazer: 
 
0,015/0,028 = 0,54 (ou 54%, aproximadamente). 
 
Em resumo, para analisar os resultados, temos que: 
 
há uma chance de 54%, aproximadamente, de essa peça 
defeituosa ter sido feita na máquina C; 
 
uma chance de 32%, aproximadamente,de ter sido feita pela 
máquina B; 
 
uma chance de 14%, aproximadamente, de ter sido feita pela 
máquina A. 
 
A pergunta que poderia ser feita é a seguinte: e daí? Em uma 
análise superficial, a probabilidade de uma peça selecionada ao 
acaso ser defeituosa é de ´´apenas´´ 0,028(ou, aproximadamente, 
3%). Ora, em um processo produtivo, cabe a quem administra 
uma empresa saber qual a margem de problemas com a qual se 
vai operar. Os percentuais indicados dão uma idéia de onda 
poderá vir o problema de perda de qualidade da peça. Isso 
depende, obviamente, dos custos advindos das perdas. 
 
 
Atividade em sala 
 
1- Qual a probabilidade de sair 5 ou 6 no lançamento de um dado ? 
 
 
2- Uma escola resolveu adotar projetos pedagógicos alternativos, introduzindo 
alguns cursos, tais como: teatro, dança e capoeira. 
A tabela abaixo classifica os alunos por sexo e opção pelo curso. 
a) O curso escolhido seja teatro sabendo que se trata de uma aluna. 
 
b) O curso escolhido seja capoeira, sabendo que se trata de um aluno. 
 
c)Seja um aluno, sabendo que o curso escolhido foi dança. 
 
3-Uma amostra de 40 alunos que prestaram o ENEM foi selecionada ao acaso. 
Sabe-se que, desse grupo, 15 alunos não conseguiram aprovação em português. 
 
a)Qual a probabilidade de selecionado ao acaso um aluno que não tenha sido 
aprovado em português? (sugestão: p = e/n). 
 
b)Qual a probabilidade de selecionarmos um aluno tenha sido aprovado em 
português? (sugestão: use a regra do complemento) 
 
4- O departamento de marketing da VW automóveis S.A. detectou, em uma 
pesquisa de mercado que a probabilidade de um indivíduo da classe A comprar 
um carro é de 3/4, da classe B é de 1/6, e da classe C é de 1/20. A 
probabilidade de um individuo da classe A comprar um carro da marca “S” da 
WW é de 1/10, da classe B é de 3/5 e da classe C é de 3/10. No último fim de 
semana, uma loja registrou a venda de um carro da marca “S” da WW. Qual a 
probabilidade de que um indivíduo da classe B o tenha comprado? 
(Sugestão: monte a tabela com os dados ) 
 % 
opção 
 
 M 
 
F 
 
TOTAL 
Teatro 10 8 
Dança 6 5 
capoeira 8 4 
TOTAL