3a Avaliacao Parcial de Calculo IV - Eng de Aut e Controle - 2013-02

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Escola Superior de Tecnologia - EST
3a Avaliac¸a˜o Parcial de Ca´lculo IV - Engenharia de Automac¸a˜o e Controle
Aluno (a):
Matr´ıcula: Prof. Msc. Jefferson Silva Data: 04/12/2013
Observac¸o˜es: Anexe a esta todas as folhas com resoluc¸o˜es e ca´lculos. Os ca´lculos podem ser feitos a la´pis e a resposta final
deve ser apresentada de caneta azul ou preta.
Questo˜es
Questa˜o 1. [2, 5 pontos] Seja L{f(t)} = F (s). Determine a transformada de Laplace de
cada uma das seguintes func¸o˜es:
(a) [0, 5 ponto] f(t) = eat sen bt
(b) [1, 0 ponto] f(t) = t sen at
(c) [1, 0 ponto] f(t) = sen2 at.
Questa˜o 2. [2, 5 pontos] Seja Y (s) = L{y(t)}. Determine a transformada inversa de La-
place da func¸a˜o:
(a) [1, 0 ponto] Y (s) =
s
(s− 2)(s− 1)
(b) [1, 5 pontos] Y (s) =
s2
(s + 1)(s2 + 4)
.
Questa˜o 3. [2, 5 pontos] Resolva, usando o me´todo das transformadas de Laplace, cada um
dos seguintes problemas de valor inicial:
(a) [1, 0 ponto] y′′ − 5y′ + 4y = e2t; y(0) = 0, y′(0) = 0
(b) [1, 5 pontos] y′′ + y′ − 2y = 2t; y(0) = 0, y′(0) = 0.
Questa˜o 4. [3, 0 pontos] Deduza a relac¸a˜o
L{y′′′(t)} = s3Y (s)− s2y(0)− sy′(0)− y′′(0)
e a use para resolver o problema de valor inicial:
y′′′ − 6y′′ + 11y′ − 6y = e4t; y(t0) = y′(t0) = y′′(t0) = 1,
atrave´s do me´todo das transformadas de Laplace.
Questa˜o 5. [1, 5 ponto] A func¸a˜o Gama e´ definida pea integral impro´pria
Γ(p) =
∫ ∞
0
tp−1e−tdt, para p > 0.
Mostre que Γ(n + 1) = n! para todo n ∈ N.
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