Relatório 1 - Pêndulo Simples

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Universidade Federal de Lavras 
 
 
 
 
 
Pêndulo Simples 
Engenharia de Controle e Automação – 22A 
Alex Bruno da Silva – 201221428 
Bruno Henrique de Bastos Silva – 201221150 
Caroline Santos Pereira – 201221158 
Heitor Salve Silveira – 201220562 
Jéssica Junqueira Benetolo – 201221160 
Vitor Trugilho Zardo – 201221151 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Lavras – MG 
Novembro – 2013 
Objetivos 
Estudar o movimento de um pêndulo simples para inclinação de 10º, 20º e 70º 
obtendo seus respectivos períodos. Determinar a relação entre o período de 
oscilação e o comprimento do pêndulo, comparando os valores obtidos 
experimentalmente com os valores teóricos. Verificar como angulações 
maiores que 10° podem interferir no período de oscilação. 
 
Referencial Teórico 
O pêndulo consiste de um corpo de pequena massa suspenso por um fio ideal 
(sem peso e inextensível). Quando o corpo for afastado de um ângulo θ com a 
vertical (retirado da posição de equilíbrio) e solto a partir desse novo ponto ele 
oscilará em torno da posição de equilíbrio. A figura 01 representa o esquema 
de um pêndulo simples. 
 
Figura 01 – Esquema simplificado de um pêndulo simples 
Analisando o movimento do pêndulo surge uma relevante questão: o pêndulo 
simples descreveria um Movimento Harmônico Simples (MHS)? O MHS pode 
ser descrito como sendo o movimento cuja força restauradora (no caso do 
pêndulo simples, o peso mg) é proporcional à quantidade de deslocamento e 
possui orientação contrária ao mesmo. O deslocamento não ocorre em linha 
reta, mas sim em um arco de círculo com raio L. Sabendo que a força 
restauradora é o peso do corpo de massa m pode-se decompô-la na direção do 
eixo x do sistema de coordenadas cartesianas: 
 
Equação 01 – Força restauradora no movimento do pêndulo simples 
O ângulo θ é dado pelo quociente do arco do movimento descrito pelo ângulo e 
o raio do mesmo, portanto o ângulo θ pode ser descrito de acordo com a 
equação 02. 
 
 
 
 
Equação 02 – Ângulo em função do deslocamento e raio do movimento 
Substituindo-se a equação 02 em 01 obtém-se: 
 ⁄ 
Equação 03 – Força restauradora em função do deslocamento 
Observando a equação 03 é possível concluir que o pêndulo simples não 
descreve um MHS uma vez que a força restauradora é proporcional ao 
quando deveria ser proporcional a , apesar de ter orientação contrária a esse 
deslocamento. Em casos onde o ângulo é pequeno (no máximo 10°) o 
movimento do pêndulo pode ser estudado como sendo um MHS, pois 
trabalhando em radianos , nesse caso a força seria proporcional a 
Ao tratar o pêndulo simples como um MHS a força restauradora pode ser 
escrita como: 
 
 
 
 
Equação 04 – Força restauradora do pêndulo estudado como um MHS 
Uma vez que a massa do corpo, a gravidade local e o comprimento do fio são 
constantes a equação 04 pode ser reescrita como sendo: 
 
Equação 05 
Para todo movimento harmônico simples o seu período pode ser calculado 
seguindo a fórmula: 
 √
 
 
 
Equação 06 – Fórmula utilizada para o cálculo do período de um MHS 
Substituindo a constante pelo que representa no caso do pêndulo simples e 
realizando as devidas manipulações algébricas a equação do período para um 
pêndulo simples tratado como MHS pode ser descrita da seguinte maneira: 
 √
 
 
 
Equação 07 – Período de oscilação do pêndulo simples estudado como MHS 
Para pêndulos que não podem ser estudados como movimento harmônico 
simples (aqueles que começam seu movimento em um ângulo > 10°) o 
período deve ser calculado utilizando-se uma fórmula que considera a correção 
devido à aproximação linear entre sin ( e . 
 √
 
 
 ( 
 
 
 
 
 
 ) 
Equação 08 – Período de oscilação de um pêndulo simples 
 
 
Material Utilizado 
 Disco de aço; 
 Fio de nylon; 
 Um tripé e haste de fixação para o pêndulo; 
 Uma trena; 
 Transferidor; 
 Cronômetro; 
 
 
Esquema da Montagem Experimental 
A figura a seguir mostra a montagem inicial do experimento que foi realizado. 
 
Figura 02 – Esquema inicial da montagem do experimento de Pêndulo Simples 
 
A próxima imagem mostra a utilização de um novo fio de nylon para demarcar 
a posição de equilíbrio do pêndulo montado com o primeiro fio e o disco de 
aço. 
 
Figura 03 – Demarcação do ponto de equilíbrio do pêndulo 
 
 
Procedimento Experimental 
Foi montado o suporte para o experimento, que consiste em um tripé, duas 
hastes de ferro e um suporte na parte superior (como mostra a figura 02). 
 Amarrou-se no suporte superior um fio de comprimento L. No final desse fio foi 
amarrado um pequeno disco de aço m. 
Com o sistema em equilíbrio, foi medido o comprimento L do fio, até o centro de 
massa do corpo pendurado. O valor encontrado para L foi de 0,495m. 
Foi amarrado outro fio, de comprimento maior que L, no mesmo ponto em que o 
primeiro fio havia sido amarrado, e em sua extremidade foi colocado outro 
corpo para mantê-lo esticado, a fim de ser usado como referencial da posição 
de equilíbrio do fio L (paralelo ao suporte do experimento). 
Tendo o valor de L, foi possível calcular a distância que L deveria ser afastado 
de sua posição de equilíbrio, de acordo com a fórmula , onde d é 
a distância do centro de massa do corpo m à posição de equilíbrio do fio L, de 
acordo com o ângulo desejado para cada parte do experimento: 10º, 20º e 70º. 
Com a ajuda de uma trena, a massa m foi posicionada na distância necessária 
para que os fios formassem o ângulo de 10º. Após isso, o corpo era solto e o 
cronômetro acionado, medindo o tempo gasto para 10 oscilações. O processo 
foi repetido, nas mesmas condições, cinco vezes. 
Os dois últimos passos foram realizados novamente, para os ângulos de 20º e 
70º. 
Todos os valores encontrados foram anotados para serem utilizados na análise 
de resultados posteriormente. 
 
 
Resultados e Discussões 
Sabendo-se que o comprimento L (do fio até o centro de massa do disco) é de 
(49,50 ± 0,05) cm e os ângulos desejados eram θ = 10º, θ = 20º e θ = 70º, 
utilizou-se a projeção de L no eixo x para encontrar a distância d, como 
mostrado no esquema a seguir: 
 
 Figura 04 – Mostra a relação (I) 
 
Utilizando a fórmula (I), obteve-se os seguintes valores: 
Para θ = 10º 
d = 49,50 * sin (10º) 
d = (8,60 ± 0,05) cm 
Para θ = 20º 
d = 49,50 * sin (20º) 
d = (16,90 ± 0,05) cm 
Para θ = 70º 
d = 49,50 * sin (70º) 
d = (46,50 ± 0,05) cm 
Experimento I (θ = 10º) 
 Os tempos medidos com o cronômetro estão na tabela a seguir: 
 
 
 
Tabela 1: Tempo gasto para 10 oscilações 
 
Tempo (s) 
1º 14,04 
2º 13,84 
3º 13,95 
4º 13,79 
5º 13,98 
 
Com os valores obtidos acima calcularam-se os períodos de oscilação 
experimentais através da seguinte fórmula: 
 
 
 
 
Em que t é o tempo (s) e n, o número de oscilações (no caso do experimento, 
10). Os respectivos valores encontram-se na tabela 2: 
Tabela 2: Períodos de oscilação 
 
Período (s) 
1º 1,404 
2º 1,384 
3º 1,395 
4º 1,379 
5º 1,398 
 
Assim, calculou-se a média dos períodos experimentais . 
 
 
 
 
 
Como os tempos foram medidos através de cronômetros de celulares, não foi 
possível obter o erro para os períodos experimentais e médio. 
Para título de comparação, foi calculado o período de oscilação teórico, 
utilizando-se a seguinte fórmula: 
 √
 
 
 
Onde L é o comprimentodo fio até o centro de massa do disco e g é a 
gravidade (9,8 m/s²). 
L = (49,50 ± 0,05) cm = (0,4950 ± 0,0005) m 
 √
 
 
 
 √ 
 
Como existe somente uma variável, o erro foi calculado da seguinte forma: 
 √
 
 
 
 √
 
 
 
 √ 
 
Logo, encontrou-se o valor teórico do período de oscilação: 
 
Comparando-se os períodos experimental médio e teórico pôde-se calcular o 
percentual de erro com a seguinte fórmula: 
 
 
 
 
Em que é o valor teórico do período e , o valor experimental médio. 
 
 
 
 
 
Como o erro foi menor que 5%, pode-se descartá-lo. Assim, conclui-se que o 
experimento foi conduzido corretamente. 
 Experimento II (θ = 20º) 
 Os tempos medidos com o cronômetro estão na tabela a seguir: 
 
 
Tabela 3: Tempo gasto para 10 oscilações 
 
Tempo (s) 
1º 14,02 
2º 13,89 
3º 14,11 
4º 14,24 
5º 13,79 
 
Com os valores obtidos acima calcularam-se os períodos de oscilação 
experimentais através da fórmula (II). Os respectivos valores encontram-se na 
tabela 4: 
Tabela 4: Períodos de oscilação 
 
Período (s) 
1º 1,402 
2º 1,389 
3º 1,411 
4º 1,424 
5º 1,379 
 
Assim, calculou-se a média dos períodos experimentais . 
 
 
 
 
 
Assim como no experimento I, os tempos foram medidos através de 
cronômetros de celulares e não foi possível obter o erro para os períodos 
experimentais e médio. 
Para comparar os valores dos períodos teórico e médio experimental, foi 
calculado o período de oscilação teórico, utilizando-se a fórmula: 
 √
 
 
 ( 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ) 
Onde L é o comprimento do fio até o centro de massa do disco, g é a gravidade 
(9,8 m/s²) e θ o ângulo em questão. Como θ > 10°, não se pode fazer a 
aproximação θ sin θ. Assim, utiliza-se a fórmula acima com aproximação de 
segunda ordem. 
L = (49,50 ± 0,05) cm = (0,4950 ± 0,0005) m 
 √
 
 
 ( 
 
 
 
 
 
) 
 √ 
 
Como existe somente uma variável, o erro foi calculado da seguinte forma: 
 √
 
 
 ( 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ) 
 √
 
 
 ( 
 
 
 
 
 
) 
 √ 
 
Logo, encontrou-se o valor teórico do período de oscilação: 
 
Através da fórmula (V), calculou-se o erro percentual: 
 
 
 
 
 
Novamente, como o erro foi menor que 5%, pode-se descartá-lo. Logo o 
experimento II também foi conduzido de forma correta. 
 
Experimento III (θ = 70º) 
 Os tempos medidos com o cronômetro estão na tabela a seguir: 
Tabela 5: Tempo gasto para 10 oscilações 
 
Tempo (s) 
1º 14,73 
2º 15,05 
3º 15,00 
4º 15,23 
5º 15,03 
 
Com os valores obtidos na tabela anterior calcularam-se os períodos de 
oscilação experimentais através da fórmula (II). Os respectivos valores 
encontram-se na tabela 6: 
Tabela 6: Períodos de oscilação 
 
Período (s) 
1º 1,473 
2º 1,505 
3º 1,500 
4º 1,523 
5º 1,503 
 
Assim, calculou-se a média dos períodos experimentais . 
 
 
 
 
 
Assim como nos experimentos I e II, os tempos foram medidos através de 
cronômetros de celulares e não foi possível obter o erro para os períodos 
experimentais e médio. 
Para comparar os valores dos períodos teórico e médio experimental, utilizou-
se a fórmula (VI). Novamente, como θ > 10°, não se pode fazer a aproximação 
θ sin θ. Assim, utiliza-se a fórmula acima com aproximação de terceira 
ordem. 
L = (49,50 ± 0,05) cm = (0,4950 ± 0,0005) m 
 √
 
 
 ( 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
) 
 √ 
 
Utilizou-se a fórmula (VII) para calcular o erro do período de oscilação teórico: 
 √
 
 
 ( 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
) 
 √ 
 
Logo, encontrou-se o valor teórico do período de oscilação: 
 
Através da fórmula (V), calculou-se o erro percentual: 
 
 
 
 
 
Mais uma vez, como o erro foi menor que 5%, pode-se descartá-lo. Logo o 
experimento III também foi conduzido de forma correta. 
Ao observar os valores experimentais e teóricos do período, pode-se notar um 
aumento, mesmo que pequeno comparando o experimento I e II. Isto ocorre 
devido ao aumento do ângulo θ, pois a partir de θ = 10º não se pode fazer a 
aproximação , o que causa uma discrepância nos valores obtidos, 
porque não se pode mais considerar um movimento harmônico simples. Isto é, 
a aceleração já não é mais proporcional a θ e sim a como mostra a 
relação abaixo. 
∑ ⃗ 
 s n θ 
 
 θ
 
 s n θ 
 θ
 
 
 s n θ
 
 
*Com L e g constantes. 
Portanto só se pode considerar um MHS angulações θ ≤ 10º. Com angulações 
maiores que esta deve-se usar os fatores de correção mostrado na fórmula 
(VI). 
 
 
 
Bibliografia 
Física 2 (Mecânica dos Fluidos – Calor – Movimento Ondulatório) – 
SEARS.ZEMANSKY.YOUNG – Livros Técnicos e Científicos Editora S.A – 2ª 
Edição 
Fundamentos de Física (Volume 2 Gravitação, Ondas e Termodinâmica) – 
HALLIDAY.RESNICK – LTC – 8ª Edição 
Imagem. Disponível em: 
<http://www.google.com.br/imgres?sa=X&biw=1280&bih=697&tbm=isch&tbnid=
ff2znUp46e5s9M:&imgrefurl=http://www.oceanica.ufrj.br/deno/prod_academic/r
elatorios/2008/Debora%2BThiagoDouglas/relat2/frame.htm&docid=2pfnAuveho
hRwM&imgurl=http://www.oceanica.ufrj.br/deno/prod_academic/relatorios/2008/
Debora%252BThiagoDouglas/relat2/PROJETO%252520ZILMA%252520TRUE
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=12&ndsp=25&tx=39&ty=84> Acessado em: 3 nov. 2013 
Só Física. Disponível em: 
<http://www.sofisica.com.br/conteudos/Ondulatoria/MHS/pendulo.php> 
Acessado em: 3 nov. 2013