Relatorio Diapasão

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Universidade Federal de Lavras 
 
 
 
Frequências Fundamentais de um Diapasão 
 
Engenharia de Controle e Automação – 22A 
Bruno Henrique de Bastos Silva – 201221150 
Caroline Santos Pereira – 201221158 
Heitor Salve Silveira – 201220562 
Jéssica Junqueira Benetolo – 201221160 
Vitor Trugilho Zardo – 201221151 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Lavras – MG 
Janeiro – 2014 
Referencial Teórico 
 Ondas estacionárias são configurações de ondas onde uma onda 
sonora, onda luminosa ou onda em uma corda sofre interferência de seu 
reflexo gerando um padrão conhecido com onda estacionária. 
 Esse padrão apresenta algumas características exclusivas, como uma 
equação característica, (equação 01), e pontos denominados “nós” e “antinós”. 
 
Equação 01 – Equação de uma onda estacionária 
 Um nó é um ponto da onda onde não ocorre deslocamento, ou seja: 
y = 0. Já um antinó realiza deslocamento máximo, ou seja: y = 2A. 
 As demais equações usadas em ondas transversais permanecem as 
mesmas para ondas estacionarias. 
 
Equação 02 – Equação da velocidade de uma onda. 
 
Equação 03 – Equação para constante elástica. 
 
Equação 04 – Equação de velocidade angular. 
 Ao analisarmosas ondas estacionárias podemos estudá-las analisando 
seu comportamento em duas situações, a primeira, quando existem nós nas 
duas extremidades da “corda” ou quando existem um nó em uma extremidade 
e um antinó na outra. 
 
 Os padrões formados por essas ondas são chamados de harmônicos. 
Quando a “corda” se encontra fixa nas duas extremidades são vistos 
harmônicos tanto pares quanto impares. Já quando a “corda” se encontra fixa 
em uma extremidade e livre na outra só são vistos os harmônicos de números 
ímpares. 
 
Figura 1 – Esquema de onda estacionária fixa nas duas extremidades e seus cinco 
primeiros harmônicos. 
 O esquema apresentado na imagem faz referencia a uma corda fixa em 
duas extremidades. Onde seus harmônicos apresentam frequência e 
comprimento de onda regido pelas seguintes formula: 
 
Equação 05 – Equação do comprimento de onda do enésimo harmônico para corda fixa 
nos dois extremos. 
 
Equação 06 – Equação da frequência da onda do enésimo harmônico para corda fixa nos 
dois extremos. 
 Outra possível configuração de uma onda estacionária é quando a corda 
está fixa em uma extremidade e livre na outra. O esquema está ilustrado na 
figura 02. 
 
Figura 2 – Esquema de onda estacionária fixa em uma extremidade e livre na outra. 
Essa configuração por sua vez também apresenta equações de 
comprimento de onda e frequência, apresentadas a seguir. 
 
Equação 07 – Equação do comprimento de onda do enésimo harmônico para corda fixa 
em um extremo. 
 
Equação 08 – Equação da frequência da onda do enésimo harmônico para corda fixa em 
um extremo. 
 
Equação 09 – Equação do erro do cálculo de comprimento de onda. 
 
Equação 10 -Equação do erro do cálculo da velocidade do som. 
 
Equação 11 -Equação do erro percentual para comparação de resultado prático 
com valor teórico. 
Objetivo 
 O objetivo do experimento é determinar o nível de água em uma proveta 
para que seja gerado ressonância em um dos harmônicos para um diapasão 
de frequência 440 Hz. 
Material utilizado 
 1 béquer de plástico; 
 1 proveta de 500 ml; 
 1 diapasão; 
 1 trena; 
 1 martelo. 
Esquema de montagem 
 
Procedimentos 
 A priori foi montado o experimento conforme o esquema de montagem, 
após isto aproximou-se o diapasão na parte superior da proveta e o perturbou 
com o martelo, observando atentamente o som que o mesmo emitia. 
 Em seguida com o auxílio do béquer foi colocado uma porção de água 
na proveta, e repetiu-se o procedimento com o diapasão, notando se o som 
emitido seria maior que na observação anterior. 
 Tal procedimento foi repetido várias vezes adicionando pequenas 
porções de água na proveta, até que o som emitido fosse maior do que em 
todas as observações feitas antes. E então foi medido e anotado a altura da 
coluna de ar. 
Sabendo que o nó de pressão não se localiza exatamente no fim da 
proveta foi necessário adicionar a correção para a posição exata. Mediu-se o 
diâmetro do tubo para se encontrar o raio, após isto foi adicionado metade do 
valor do raio no valor L da coluna de água para que o nó de pressão fique em 
seu local exato. 
 Por fim, com toda a parte experimental concluída foram feitos os 
cálculos do comprimento de onda e da velocidade do som, comparando com os 
valores que são considerados teóricos, obtendo seus devidos erros 
percentuais. 
Resultados e Discussões 
Dados teóricos: frequência do diapasão – 440 Hz 
 Velocidade do som – 340 m/s 
 
Figura 3 – Comprimento L do tudo de ar. 
Utilizando a equação 2, calculou-se o valor teórico do comprimento de 
onda: 
 
A partir deste resultado utilizando a equação 7 encontrou-se 
comprimento teórico de L para o qual haveria ressonância. 
 
Esse valor de L foi calculado e indicaria o valor aproximado para o qual 
ocorreria ressonância. Tendo como base essa medida, foi-se colocando água e 
observando até que ocorresse a ressonância e então anotou-se o seguinte 
valor de L0 = (18,05 ± 0,05) cm. 
 Utilizando o valor medido de L0 calculou-se o comprimento de onda a 
partir da equação 7 e com ele a velocidade do som a partir da equação 2 
 
O erro do comprimento de onda é calculado através da equação 9 
 
 
 
O erro da velocidade do som é calculado a partir da equação 10 
 
 
A partir desse valor é calculado o erro relativo percentual para a 
velocidade do som através da equação 11 
 = 6,56% 
Como o erro percentual foi maior do que 5% conclui-se que houve um 
desvio maior do que o desejado nas medidas efetuadas. 
Entretanto sabe-se que o nó de pressão não se encontra exatamente no 
fim do tubo, mas sim a 0,5 vezes o seu raio acima do mesmo. 
 
Figura 4 – Posição real do nó de pressão. 
Para encontrar o valor da velocidade do som mais próximo do real 
calculou-se o novo comprimento L1 considerando a posição real do nó de 
pressão e refez-se todos os cálculos. Foi medido o diâmetro do tubo e a parir 
dele calculado o raio para então calcular o comprimento L1. 
D = (4,85 ± 0,05) cm 
R = D/2 e ΔR = ΔD/2 
R = 4,85/2 e ΔR = 0,05/2 
R = (2,42 ± 0,02) cm 
L1 = L0 + (0,5)R e ΔL1 = ΔL0 + (0,5ΔR) 
L1 = 18,05 + (0,5 * 2,42) e ΔL1 = 0,05 + (0,5 * 0,02) 
L1 = (19,26 ± 0,06) cm 
Utilizando o valor de L1 calculou-se λ1 a partir da equação 7 
 
 
 
Então, calculou-se a velocidade do som através da equação 2 
 
 
Com esse novo valor da velocidade do som calculou-se o erro relativo 
percentual. 
 = 0,29% 
Ao realizar o experimento sem a informação de que o nó de pressão não 
se situa exatamente no fim do tubo os valores obtidos experimentalmente ficam 
muito longe do desejado, acarretando um grande erro. 
A partir deste novo erro percentual concluiu-se que considerando a 
posição real do nó de pressão o desvio das medidas efetuadas ficou muito 
próximo de zero, ou seja, o experimento foi realizado da maneira mais correta 
possível, dadas as condições do ambiente em que foi trabalhado. 
 
Todo o experimento foi realizado considerando o primeiro harmônico. 
Surgiu então, a questão de qual seria o valor de L para o terceiro e quinto 
harmônicos. As contas para esses casos são mostradas a seguir utilizando as 
equações 8 e 7: 
Para n = 3 temos: 
 
 
Para n = 5 temos: 
 
 
 Como demonstrado na figura 3, o L representa a quantidade de ar 
presente dentro do tubo. Com o tubo (proveta) utilizado no experimentoseria 
inviável tentar alcançar a ressonância nos terceiro e quinto harmônicos, pois o 
tamanho da proveta era incompatível com o tamanho da coluna de ar que seria 
necessária deixar para que ocorresse ressonância. 
 
 
 
 
 
 
 
Bibliografia 
Física 2 (Mecânica dos Fluidos – Calor – Movimento Ondulatório) – 
SEARS.ZEMANSKY.YOUNG – Livros Técnicos e Científicos Editora S.A – 2ª 
Edição 
Física para Cientistas e Engenheiros Volume 1 – TIPLER, Paul A. MOSCA 
Gene – 6ªEdição 
Só Física Ondulatória e acústica. Disponível em: 
<http://www.sofisica.com.br/conteudos/Ondulatoria/Acustica/tubos.php> 
Acesso em: 20.dez.2013.