LISTA DE EXERCICIOS - Balanco diferencial

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LISTA DE EXERCÍCIOS: Equação da continuidade e Equação do movimento 
 
1. Para um escoamento bidimensional no plano xy, a componente x da velocidade é dada por vx = Ax. 
Determine uma possível componente y para escoamento permanente e incompressível. Quantas 
componentes y são possíveis? (Resp. vy = -Ay) 
2. Um amortecedor a gás na suspensão de um automóvel comporta-se como dispositivo pistão-cilindro. 
No instante em que o pistão está em L = 0,15 m afastado da extremidade fechada do cilindro, a massa 
específica do gás é uniforme em ρ = 18 kg/m3, e o pistão começa a se mover afastando-se da 
extremidade fechada do cilindro, com v = 12 m/s. A velocidade do gás é unidimensional e é 
proporcional à distância em relação à extremidade fechada, varia linearmente de zero, na 
extremidade, a u = v, conforme o pistão. Avalie a taxa de variação da massa específica do gás nesse 
instante. Obtenha uma expressão para a massa específica média como função do tempo. (Resp. taxa 
de variação de ρ em t = 0 é 4400 kg/(m3.s) e ρ = 18/(1 + 80θ)). 
3. Considere um escoamento radial e unidimensional no plano rφ, caracterizado por vr = vr(r) e vφ = 0. 
Determine as condições sobre vr(r) necessárias para que o escoamento seja incompressível. (Resp. vr = C/r). 
4. Quais dos seguintes conjuntos de equações 
representam possíveis casos de escoamento 
bidimensional incompressível? (Resp. a, b, d) 
 
 
(a) u = 2xy - x2 + y e v = 2xy - y2 + x2 
(b) u = xt + 2y e v = xt2 – yt 
(c) u = 2x2 + y2 – x2y e v = x2 + x(y2 – 2y) 
(d) u = (x + 2y)xt e v = -(2x + y)yt 
5. A componente y da velocidade em um campo de escoamento permanente e incompressível no plano 
xy é v = A = y2/x2, onde a = 2 m/s e x é medido em metros. Determine a mais simples componente x 
da velocidade para este campo de escoamento. (Resp. u = 2Ay/x) 
6. Para um escoamento incompressível no plano rθ, a componente θ da velocidade é dada por vθ = -
Asenθ/r2. Determine uma possível componente r da velocidade. Quantas possíveis componentes r 
existem? Resp.: vr = -A(cosθ)/r2 
7. Um fluído viscoso e incompressível escoa entre duas placas planas verticais. Assuma que o 
escoamento é laminar, permanente e uniforme. a) determine, usando as equações de Navier-Stokes, 
uma expressão para o gradiente de pressões na direção do escoamento. Expresse dp/dy como uma 
função da vazão por unidade de largura (q). b) diga qual seria a vazão se dp/dy = 0 ? Resp: a) dp/dy = 
-[γ +(3 q µ/ 2 h3 )]; b) q = - 2h3γ/3µ. 
8. Uma esteira larga movendo-se com velocidade vertical, passa através de um recipiente que contém 
um líquido viscoso (figura abaixo). Devido às forças viscosas a esteira "pega" uma lâmina de fluído 
de espessura h. A gravidade tende a drenar o fluído para baixo. Use as equações de Navier-Stokes 
para determinar uma expressão para a velocidade média da lâmina de fluído à medida que ela é 
arrastada para cima pela esteira. Assuma que o escoamento é laminar, permanente e uniforme. Resp: 
V = Vo - (γh2/ 3 µ). 
 
x 
V0 
h 
9. Considere as situações ao lado onde um 
fluido newtoniano escoa descendentemente 
entre duas placas planas e paralelas. 
Obtenha o perfil de velocidade em cada 
uma as situações abaixo. Escreva as 
hipóteses envolvidas na resolução. 
10. Em um trocador de calor tubo-duplo (r1 = 2 
in, r2 = 4 in) escoa uma suspensão de 
amido no lado casco (anel), explicitando as 
hipóteses envolvidas, determine: 
a. O perfil de velocidade 
b. A posição radial na qual a velocidade 
atinge seu máximo (rmax). 
11. Água escoa por um tubo ascendentemente. Ao chegar no topo do tubo, transborda e passa a escoar no exterior 
do tubo formando um filme ao redor dele. Desprezando os efeitos de bordas, determine: 
a. O perfil de velocidade no interior do tubo 
b. O perfil de velocidade no filme que escoa 
pelo exterior do tubo 
 
 
 
 
12. Um eixo, inicialmente parado, está 
mergulhado em um grande tanque. Num 
dado instante ele começa a girar numa 
velocidade angular ω. Determine o perfil de 
velocidade e a tensão aplicada na superfície 
do eixo de raio R. Considere que após uma 
distância δ contada a partir da superfície do 
eixo, a velocidade é praticamente a mesma 
do início, ou seja, nula. 
 
 
 
13. Um líquido de viscosidade µ e massa 
específica ρ escoa para baixo sobre uma 
superfície plana inclinada (ângulo com a 
horizontal = 15°) formando um filme laminar 
em escoamento permanente, completamente 
desenvolvido, de espessura h e largura em z 
igual a b. Simplifique as equações da 
continuidade e de Navier-Stokes para modelar 
este campo de escoamento. Obtenha (a) 
expressões para o perfil de velocidade, (b) a 
distribuição de tensões de cisalhamento, (c) a 
vazão volumétrica e (d) a velocidade média. 
(e) Relacione a espessura do filme líquido 
com a vazão volumétrica por unidade de 
profundidade do filme líquido (a partir da 
superfície). (f) Calcule a vazão volumétrica 
em um filme d’água com espessura h = 1 mm, 
escoando sobre uma superfície de largura b = 
1 m. (Respostas: 
(a) 





−=
2
2yhysengu
µ
θρ , 
(b) )( yhgsenyx −= θρτ , 
(c) 
3
3hgbsenQ
µ
θρ
= 
(d) 
3
2hgsen
v
µ
θρ
= 
(e) 
3/1
3






=
θρ
µ
gbsen
Qh , (f) Q = 0,846 L/s. 
 
15
˚