Apostila 03

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1
PROBABILIDADE 
 
Fundamentos 
 
Inicialmente iremos definir alguns termos importantes para a compreensão de 
probabilidade. 
 
Um experimento é qualquer processo que permite ao pesquisador fazer 
observações. 
 
Um evento é uma coleção de resultados de um experimento. 
 
Um evento simples é um resultado, ou um evento, que não comporta mais 
qualquer decomposição. 
 
O espaço amostral de um experimento consiste em todos os eventos simples 
possíveis; ou seja, o espaço amostral consiste em todos os resultados que não 
comportam mais decomposição. 
 
Exemplo: o arremesso de um dado é um experimento, e o resultado 3 é um 
evento. O resultado 3 é um evento simples porque não pode ser decomposto; e 
o espaço amostral consiste nesses eventos simples: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Outro 
exemplo: o arremesso de um par de dados é um experimento, o resultado 7 é 
um evento, mas 7 não é um evento simples porque pode ser decomposto em 
eventos mais simples, como 3-4 e 6-1. Na jogada de um par de dados, o 
espaço amostral consiste em 36 enventos simples: 1-1, 1-2, ..., 6-6. 
 
Notação de probabilidade: P denota uma probabilidade. A, B, C denotam 
eventos específicos. P(A) denota a probabilidade de ocorrência do evento A. 
 
Não há uma concordância universal sobre a definição de probabilidade, mas 
duas definições são correntes. 
 
Aproximação da probabilidade pela freqüência relativa (regra 1): Realize 
(ou observe) um experimento um grande número de vezes e conte quantas 
vezes o evento A ocorre efetivamente. Então P(A) é estimada como segue: 
erimentoexpdorepetiçõesdenúmero
Adesocorrênciadenúmero)A(P = 
 
Definição clássica de probabilidade (regra 2): Suponha que um experimento 
tenha n eventos simples diferentes, cada um dos quais com a mesma chance 
de ocorrer. Se o evento A pode ocorrer em s dentre as n maneiras, então: 
n
s
diferentessimpleseventosdenúmero
ocorrerpodeAcomomaneirasdenúmero)A(P == 
 
Lei dos Grandes Números: Se se repete um experimento um grande número 
de vezes, a probabilidade pela freqüência relativa de um evento tende para a 
probabilidade teórica (clássica). 
 
 2
Pode parecer que deveríamos utilizar sempre a regra 2 quando um 
experimento tem resultados igualmente prováveis. No entanto, algumas vezes 
tais experimentos são muito complicados que a regra 2 perde seu aspecto 
prático. Em lugar disso podemos obter estimativas através da regra 1. Em tais 
casos, as simulações costumam auxiliar. Uma simulação de um experimento é 
um processo que se comporta da mesma maneira que o próprio experimento, 
produzindo assim resultados análogos. 
 
Exemplos: 
1) Determine a probabilidade de uma pessoa escolhida aleatoriamente ser 
atingida por um raio este ano. 
 
Solução: O espaço amostral consiste nesses dois eventos simples: A pessoa é 
atingida por um raio, ou não é. Como esses eventos simples não são 
igualmente prováveis, devemos apelar para a regra 1. Não é pratico 
realizarmos experimentos, mas podemos pesquisar eventos passados. Em um 
ano recente, 371 pessoas foram atingidas por um raio nos EUA. Em uma 
população de 260 milhões, a probabilidade de ser atingida por um raio em um 
ano é estimada em 
 
000.701
1
000.000.260
371 = 
 
2) Em um teste, uma questão típica de múltipla escolha tem 5 respostas 
possíveis. Respondendo à questão aleatoriamente, qual é a probabilidade de 
sua resposta estar errada? 
 
Solução: Há 5 resultados possíveis e 4 maneiras de responder incorretamente 
a questão. A aleatoriedade implica que os resultados são igualmente possíveis. 
Pela regra 2, temos: 
 
8,0
5
4)erradaresposta(P == 
 
3) A companhia de seguros American Casualty Company estudou as causas 
de morte por acidente doméstico e compilou um arquivo que consistia em 160 
mortes causadas por quedas, 120 mortes causadas por envenenamento e 70 
causadas por fogo e queimaduras. Selecionando aleatoriamente um desses 
casos, qual é a probabilidade de que a morte tenha sido causada por 
envenenamento? 
 
Solução: O número total de mortes por acidente doméstico é 350 
(160+120+70). Com a seleção aleatória, as 350 mortes são igualmente 
prováveis. Aplicando a regra 2: 
 
343,0
350
120)ntoenvenename(P == 
 
4) Determine a probabilidade de que um casal com três filhos tenha 
exatamente 2 meninos. Suponha que as probabilidades de menino e menina 
 3
sejam as mesmas, e que o sexo de uma criança não seja influenciado pelo 
sexo de qualquer outra. 
 
Solução: Inicialmente vamos determinar o espaço amostral: 
 
1º 2º 3º 
H 
H 
H 
H 
M 
M 
M 
M 
H 
H 
M 
M 
H 
H 
M 
M 
H 
M 
H 
M 
H 
M 
H 
M 
 
Dos 8 diferentes resultados possíveis, 3 (opções em negrito) correspondem a 
exatamente 2 meninos. Os 8 resultados são igualmente possíveis. Dessa 
forma, aplicando-se a regra 2: 
 
375,0
8
3)snascimento3emmeninos2(P == 
 
5) Ao escolher entre diversos fornecedores de computadores, um comprador 
deseja saber a probabilidade de um computador pessoal falhar durante os dois 
primeiros anos. Qual é essa probabilidade? 
 
Solução: Há apenas dois resultados possíveis: Um computador pessoal falha 
durante os dois primeiros anos, ou não falha. Como esses dois resultados não 
são igualmente prováveis, devemos recorrer à regra 1. Isso exige que 
observamos um grande número de computadores pessoais. Uma pesquisa do 
PC Wolrd feita junto a 4000 possuidores de computadores pessoais revelou 
que 992 dos computadores falharam durante os dois primeiros anos. Com base 
nesses dados, a probabilidade é: 
 
248,0
4000
992)anosprimeiros2nosfalhar(P == 
 
 
Algumas vezes vamos nos deparar com eventos que tem probabilidade zero de 
acontecer. Esses eventos são denominados impossíveis. Outras vezes iremos 
nos deparar com eventos que tem probabilidade de acontecer igual a 1. Esses 
eventos são denominados certos. É razoável concluir que a probabilidade de 
qualquer evento seja 0, 1 ou qualquer número entre 0 e 1. 
 
1)A(P0 ≤≤ 
 
Eventualmente, devemos determinar a probabilidade de um evento A não 
ocorrer. 
 
 4
O complemento de um evento A, denotado por A , consiste em todos os 
resultados em que o evento A não ocorre. 
 
Exemplo: A Nike Corporation deseja testar um novo material a ser usado na 
fabricação de tênis. Um grupo de teste consiste em 20 homens e 30 mulheres. 
Escolhida aleatoriamente uma pessoa desse grupo de teste, determine a 
probabilidade de não ser homem. 
 
Solução: O espaço amostral consiste de 50 pessoas. A probabilidade de não 
escolher um homem é a probabilidade de se escolher uma mulher. Assim 
 
6,0
50
30)mulher(P)emhom(P)emhomumescolhernão(P ==== 
 
As expressões de verossimilhança são freqüentemente dadas em forma de 
chances, como 50:1 (50 para 1). Uma desvantagem das chances é que elas 
tornam muitos cálculos extremamente difíceis. A vantagem das chances é que 
facilitam o manuseio com transferências de dinheiro associadas ao jogo. 
 
A verossimilhança de um evento pode expressar-se em termos de chances 
contra ou a favor do evento. 
 
A chance contra a ocorrência de um evento A é a razão )A(P/)A(P , 
comumente expressa na forma a:b (a para b), com a e b inteiros, primos entre 
si. 
 
A chance a favor do evento A é o inverso da chance contra aquele evento. Se 
a chance contra A é a:b, então a chance a favor é b:a. 
 
Exemplo: Se P(A) =2/5, então 
2
3
5/2
5/3
)A(P
)A(PAcontrachance === 
 
Sendo a chance contra igual a 3/2, a chance a favor é 2/3. 
 
Nas apostas, a chance contra um evento representa a razão do ganho líquido 
para a quantia apostada. Suponhamos que uma aposta pague 50:1. Se a 
chance não é especificada como sendo contra ou a favor, trata-se 
provavelmente de chance contra a ocorrência de um evento. Se uma pessoa 
(por um pequeno milagre) ganha esta aposta de 50:1, ela terá um lucro de 
R$50,00 para cada R$1,00.Sendo assim, se apostar R$2,00, terá um lucro de 
R$100,00, recebendo, portanto, R$102,00. 
 
 
 
Regra da Adição 
 
Vamos inicialmente definir um evento composto. Esse tipo de evento 
compreende qualquer evento que combina dois ou mais eventos simples. 
 5
Notação para a regra da adição: P(A ou B) = P(ocorrência de A, ou de B, ou 
de ambos). 
 
Exemplos: 
 
1) Se escolhermos aleatoriamente um número ente 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 
qual a probabilidade de o número escolhido ser o 0 ou 1? 
 
Solução: 2,0
10
2)1ou0(P == 
 
2) Determinar a probabilidade de obter um número ímpar ou um número 
superior a 6 ao escolher aleatoriamente um número do conjunto {0, 1, 2, ...,9}. 
 
Solução: Dentre os 10 resultados possíveis, 5 são ímpares (1, 3, 5, 7, 9) e 3 
são superiores a 6 (7, 8, 9). Ao contar o número de resultados ímpares ou 
superiores a 6, devemos ter cuidado para não contar o mesmo resultado mais 
de uma vez. Há seis resultados separados que são ímpares ou superiores a 6 
(1, 3, 5, 7, 8, 9). A probabilidade é 
 
6,0
10
6)6aeriorsupouímpar(P == 
 
Regra formal da adição: P(A ou B) = P(A) + P(B) – P(A e B), onde P(A e B) 
denota a probabilidade de ocorrência simultânea de A e B em um mesmo 
experimento. 
 
É costume também escrever a regra da adição como se segue: 
)BA()B(P)A(P)BA(P ∩−+=∪ 
 
Os eventos A e B dizem-se mutuamente excludentes senão podem ocorrer 
simultaneamente. 
 
Algumas vezes, será conveniente organizar os dados de um problema em uma 
tabela para facilitar o raciocínio. 
 
Exemplo: Em um teste com o antialérgico Seldane, 49 dos 781 usuários de 
Seldane experimentaram dores de cabeça, 49 dos 665 que usaram placebo 
experimentaram dores de cabeça, e 24 dos 626 indivíduos do grupo de 
controle experimentaram dores de cabeça. Se um dos 2072 indivíduos é 
escolhido aleatoriamente, determine a probabilidade de se obter um indivíduo: 
 
a) que fez uso de um placebo ou que estava no grupo de controle. 
b) que tenha usado Seldane ou que não teve dor de cabeça. 
 
Solução: Inicialmente, vamos organizar os dados em uma tabela: 
 
 
 
 
 6
Seldane Placebo Grupo de controle Total 
Dor de cabeça 
Não-dor de cabeça 
 49 
732 
 49 
616 
 24 
602 
122 
1950 
Total 781 665 626 2072 
 
 
a) 623,0
2072
1291
2072
626
2072
665)controleouplacebo(P ==+= 
 
 
b) 
 
965,0
2072
1999
2072
732
2072
1950
2072
781)cabeçadedorsemouSeldane(P
ou965,0
2072
1999
2072
60261673249)cabeçadedorsemouSeldane(P
==−+=
==+++=
 
 
 
Quando dois eventos são complementares implica que devem ser 
mutuamente excludentes, pois é impossível um evento ocorrer e não ocorrer 
simultaneamente. Logo 
1)A(P)A(P)AouA(P =+= 
 
A regra a acima é chamada de regra dos eventos complementares. 
 
 
Regra da Multiplicação 
 
Vamos, inicialmente, considerar o seguinte exemplo: Suponhamos que um 
teste seja composto de duas questões. A primeira questão é do tipo verdadeiro 
ou falso, enquanto que a segunda é do tipo de múltipla escolha, com 5 
respostas possíveis (a, b, c, d, e). Utilizaremos as questões seguintes: 
 
1. Verdadeiro ou falso: O fumo é uma das principais causas do câncer. 
2. O coeficiente de correlação de Pearson é assim chamado em homenagem a: 
a) Karl Marx 
b) Carl Friedrich Gauss 
c) Karl Pearson 
d) Carly Simon 
e) Mario Triola 
 
Vamos determinar a probabilidade de uma pessoa “dar um palpite” e acertar as 
duas respostas. Listando o espaço amostral temos: 
V,a V,b V,c V,d V,e 
F,a F,b F,c F,d F,e 
 
Se as respostas são aleatórias, então os 10 resultados possíveis são 
igualmente prováveis. As respostas corretas são V e c, e assim: 
 7
1,0
10
1)corretasambas(P == 
Considerando as respostas individuais de V e c, respectivamente, vemos que, 
com suposições aleatórias, temos P(V)=1/2 e P(c)=1/5. Como 1/10 é o produto 
de 1/2 e 1/5, vemos que P(V e c)=P(V).P(c). Isso sugere que, de modo gera, 
P(AeB)=P(A).P(B). 
 
Algumas vezes, o uso de diagramas de árvores pode nos auxiliar na 
determinação dos resultados possíveis. Um diagrama de árvore é uma 
representação pictórica dos resultados possíveis de um experimento, 
consistindo em segmentos retilíneos que emanam de um ponto de partida. 
 
Vamos agora analisar um segundo exemplo: Na extração de duas cartas de 
baralho bem misturado, determine a probabilidade de que a primeira carta seja 
um ás e a segunda seja um rei. (Admita que a primeira carta extraída não seja 
reposta antes da extração da segunda carta.) 
 
Como há 4 ases em um baralho de 52 cartas, temos que P(ás)=4/52. Para a 
segunda extração, restaram 51 cartas. Como há 4 reis no baralho, temos que 
P(rei)=4/51. A probabilidade de obter um ás na primeira extração e um rei na 
segunda é, pois, 
00603,0
51
4
52
4)reieás(P =×= 
 
Esse exemplo ilustra o importante princípio de que a probabilidade do evento B 
deve levar em conta o fato de que o evento A já ter ocorrido. 
 
Notação para a Regra da Multiplicação: P(B|A) representa a probabilidade 
de ocorrência de B quando se sabe que o evento A já ocorreu. 
 
Dois eventos A e B são independentes se a ocorrência de um deles não afeta 
a probabilidade de ocorrência do outro. 
 
Assim é que a jogada de uma moeda e a jogada de um dado são eventos 
independentes, porque o resultado da moeda não afeta a probabilidade do 
resultado do dado. Por outro lado, os eventos “conseguir dar partida no carro” e 
“chegar à aula no horário” são dependentes. 
 
Regra Formal da Multiplicação: 
P(A e B) = P(A).P(B) se A e B são independentes. 
P(A e B) = P(A). P(B|A) se A e B são dependentes. 
 
Exemplo: A Detroit Auto Supply Company produz um lote de 50 filtros de 
combustível, dos quais 6 são defeituosos. (Os otimistas diriam que 44 são 
bons.) Escolhem-se aleatoriamente e testam-se dois filtros do lote. Determine a 
probabilidade de ambos serem bons, se os filtros são selecionados (a) com 
reposição, (b) sem reposição. 
 
Solução: 
 8
a) Se os filtros são escolhidos com reposição, as duas escolhas são 
independentes. 
774,0
50
44
50
44)bonssegundoeprimeiro(P =×= 
 
b) Se os filtros são escolhidos sem reposição, as duas escolhas são 
dependentes. 
772,0
49
43
50
44)bonssegundoeprimeiro(P =×= 
 
 
A regra da multiplicação e a regra dos complementos podem ser conjugadas 
para simplificar consideravelmente certos tipos de problemas, como a 
determinação da probabilidade de que, em várias tentativas, ao menos 1 tenha 
um resultado especificado. Em tais casos, devem ficar bem claros os conceitos: 
 
- “Ao menos 1” é equivalente a “1 ou mais”. 
- O complemento de “obter ao menos 1 item de determinado tipo” é “não 
obter nenhum item daquele tipo”. 
 
Exemplos: 
 
1) Suponha que um empregado na cidade de São Francisco precise falar com 
1 de seus 5 colegas em sua casa. Determine a probabilidade de ao menos 1 
dentre 5 empregados em São Francisco ter o número de telefone na lista. 
Suponha que os números de telefone sejam independentes e que, em São 
Francisco, 39,5% dos números não estejam na lista telefônica. 
 
Solução: 
 
Etapa 1: Represente por um símbolo a probabilidade desejada. Em nosso 
caso, seja L=ao menos 1 número na lista, dentre os números dos 5 
empregados. 
Etapa 2: Identificar o complemento do evento indicado em 1. 
=L nenhum número na lista dentre os 5 empregados. 
 = 5 números não-listados dentre os 5 empregados. 
Etapa 3: Determinar a probabilidade do complemento da etapa 2. 
00962,0)395,0(
)395,0)(395,0)(395,0)(395,0)(395,0()empregados5entrelistadosnãonúmeros5(P)L(P
5 ==
===
 
Etapa 4: Determinar a probabilidade do evento considerado, subtraindo de 1 a 
probabilidade do complemento. 
990,000962,01)L(P1)L(P =−=−= 
 
Há, pois 0,990 de probabilidade de ao menos 1 dos empregados ter seu 
número na lista,podendo, portanto, ser contactado. 
 
 9
2) Determinar a probabilidade de ao menos 1 menina se um casal planejar 3 
filhos. Admita que as probabilidades de menino e menina sejam iguais, e que o 
sexo de qualquer filho não seja influenciado pelo sexo dos que o precedem. 
 
Solução: 
Etapa 1: Represente por um símbolo a probabilidade desejada. Em nosso 
caso, A=ao menos 1 menina em 3 filhos. 
Etapa 2: Identificar o complemento do evento indicado em 1. 
=A nenhuma menina em três filhos = obter 3 meninos em três filhos 
Etapa 3: Determinar a probabilidade do complemento da etapa 2. 
125,0)5,0()5,0)(5,0)(5,0()filhos3emmeninos3(P)A(P 3 ==== 
Etapa 4: Determinar a probabilidade do evento considerado, subtraindo de 1 a 
probabilidade do complemento. 
875,0125,01)A(P1)A(P =−=−= 
 
Há, assim uma probabilidade de 0,875 de ao menos 1 menina em 3 filhos. 
 
 
A regra da multiplicação para eventos dependentes pode expressar-se 
formalmente como P(A e B) = P(A). P(B|A). É fácil resolver algebricamente 
essa equação em relação a P(B|A); basta dividir ambos os membros da 
equação por P(A). O resultado é chamado de probabilidade condicional de 
ocorrência do evento B, dado que A já ocorreu. Essa probabilidade é 
determinada como se segue: 
)A(P
)BeA(P)A|B(P = 
 
 
Testes de dependência entre dois eventos: 
 
Dois eventos são independentes se 
P(B|A)=P(B) 
Ou P(A e B)=P(A).P(B) 
Dois eventos são dependentes se 
P(B|A) ≠ P(B) 
Ou P(A e B) ≠ P(A).P(B) 
 
Exemplo: Com referência a tabela a seguir, admita que todas as escolhas 
envolvam os 2000 indivíduos representados na tabela e determine: 
a) Se uma pessoa é selecionada aleatoriamente, qual é a probabilidade de ela 
ter sido vítima de um estranho, dado que foi escolhida uma vítima de furto? 
b) Escolhida uma vítima de assalto, qual a probabilidade de o criminoso ser um 
estranho? 
 
 
 
 
 
 
 10
 Homicídio Furto Assalto Totais 
Estranho 
Conhecido ou parente 
Ignorado 
12 
39 
18 
379 
106 
 20 
727 
642 
 57 
1118 
 787 
 95 
Totais 69 505 1426 2000 
 
Solução: 
a) Queremos P(estranho|furto). Se uma pessoa selecionada foi vítima de furto, 
estamos lidando com as 505 pessoas da segunda coluna de valores. Dessas 
505, 379 foram vítimas de estranhos. Portanto, 
750,0
505
379)furto|estranho(P == 
 
Podemos chegar ao mesmo resultado com a abordagem formal: 
750,0
2000/505
2000/379
)furto(P
)estranhoefurto(P)furto|estranho(P === 
 
b) Aqui, queremos P(estranho|assalto). Se uma pessoa selecionada foi vítima 
de assalto, está entre as 1426 pessoas da terceira coluna de valores. Dessas 
1426 pessoas, 727 foram vítimas de estranhos. Portanto, 
510,0
1426
727)assalto|estranho(P == 
 
Podemos chegar ao mesmo resultado com a abordagem formal: 
510,0
2000/1426
2000/727
)assalto(P
)estranhoeassalto(P)assalto|estranho(P === 
 
 
Probabilidades Por meio de Simulações 
 
A determinação direta de probabilidades de eventos às vezes é muito difícil. 
Eventualmente os resultados, embora corretos, não são o que esperávamos. 
Em lugar de confiar exclusivamente nos princípios abstratos da teoria das 
probabilidades, a simulação pode vir em nosso auxílio. 
 
Uma simulação de um experimento é um processo que se comporta como o 
próprio experimento, produzindo resultados análogos. 
 
Exemplos: 
1) Em técnicas de teste sobre seleção de sexo, os pesquisadores médicos 
precisam conhecer probabilidades relacionadas com o sexo dos nascituros. 
Admitindo que os sexos masculino e feminino tenham a mesma probabilidade, 
descreva um experimento que simule o sexo em nascimentos. 
 
Solução: Uma simulação consiste no simples arremesso de uma moeda, com 
“cara” representando masculino e “coroa” representando feminino. Outra 
abordagem consiste em utilizar um programa de computador para gerar 0s e 
1s, com o 0 representando masculino e 1 representando feminino. Tais 
números devem ser gerados de maneira que os 0s e os 1s sejam igualmente 
 11
prováveis. Mostra-se a seguir um resultado típico gerado por computador. Com 
base nesse resultado, podemos utilizar a aproximação da probabilidade por 
freqüência relativa para estimar P(masculino)=6/10. 
 
0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 
H H M H M M M H H H 
 
2) O problema do aniversário é um exercício clássico em probabilidade. Trata-
se de determinar a probabilidade de que, em uma turma de 25 estudantes, ao 
menos 2 tenham a mesma data de aniversário. Ignorando os anos bissextos, 
descreva uma simulação do experimento que dê os aniversários de 25 
estudantes em uma turma. 
 
Solução: Inicialmente, representaremos as datas de aniversário como 
números inteiros de 1 a 365: 
1= 1 de Janeiro 
2=2 de Janeiro 
. 
. 
. 
365= 31 de Dezembro 
 
Com esta representação, basta gerarmos inteiros entre 1 e 365, em lugar de 
dias e meses separados. Utilizando qualquer fonte de inteiros igualmente 
prováveis, podemos gerar uma relação de 25 números aleatórios entre 1 e 365. 
Essa lista pode ser ordenada para facilitar a verificação de coincidência de 
“aniversários”. Repetindo muitas vezes o processo, podemos simular muitas 
turmas diferentes e estimar então a probabilidade de que, em uma turma de 25 
estudantes, ao menos 2 tenham a mesma data de aniversário. 
 
3) A fabricante de telefones celulares Delmarva Comunications Company vem 
experimentando uma taxa de 6% de defeitos. O controlador de qualidade sabe 
que os telefones são produzidos em lotes de 250 e que em média, há 15 
defeitos por lote. Ele deseja saber a variação típica do número de defeitos. 
Descreva uma simulação de 250 telefones celulares fabricados com uma taxa 
de 6% de incidência de defeitos. 
 
Solução: Gere 250 inteiros, cada inteiro entre 1 e 100. Os inteiros 1, 2, 3, 4, 5, 
6 representarão os telefones com defeito, enquanto que os outros números (7, 
8,...100) representarão os aparelhos perfeitos. Ordenando os 250 inteiros, 
torna-se fácil achar o número de “defeitos”. 
 
4) Simular 500 jogadas de um par de dados e, com base nos resultados, 
estime P(7). 
 
Solução: Gerar dois conjuntos de 500 inteiros, cada inteiro entre 1 e 6. 
Ordenar esses dois conjuntos em duas colunas. Somar os elementos das duas 
colunas que estão em uma mesma linha. Ordenar os resultados obtidos e 
contar quantas vezes um mesmo resultado apareceu. Damos a seguir um 
 12
resumo dos resultados obtidos em um programa que executa as instruções 
acima. 
 
Soma Contagem 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
10 
11 
12 
13 
29 
34 
56 
73 
84 
61 
55 
45 
32 
18 
 
Por esses resultados, vemos que 7 ocorreram 84 vezes entre as 500 provas, e 
assim estimamos P(7)=84/500=0,168. 
OBS: A aplicação das regras de probabilidade dão P(7)=6/36=0,167. 
 
 
Contagem 
 
Imagine que você queira saber a probabilidade de ganhar na Mega Sena. Para 
que uma pessoa ganhe na Mega Sena é preciso que ela acerte o conjunto de 6 
números (escolhidos entre 1 e 60) sorteados na loteria. Para determinar a 
probabilidade de uma pessoa ganhar na Mega Sena iremos utilizar a regra 2 da 
probabilidade. Essa regra, que exige que os resultados sejam igualmente 
prováveis, afirma que a probabilidade de um evento A P(A) é a razão entre o 
número (s) de maneiras como A pode ocorrer e o número total de resultados 
(n). Como há apenas uma maneira de ganhar na Mega Sena (acertando todos 
os números), basta saber o número total de resultados possíveis. Relacionar 
tosas as possibilidades exigiria muito tempo (cerca de 4 anos). Construir um 
diagrama de árvores também não seria adequado uma vez que este teria cerca 
de 120 milhas de altura. Dessa forma, devemos encontrar uma maneira de 
calcular o número total de possibilidades. Vamos, agora, estudar como isso 
pode ser feito. 
 
Regra fundamental da contagem: Dados dois eventos, o primeiro dos quais 
pode ocorrerde m maneiras distintas e o segundo pode ocorrer de n maneiras 
distintas, então os dois eventos conjuntamente podem ocorrer de m.n 
maneiras. 
 
Exemplo: Se um médico laboratorista deve escolher aleatoriamente 1 dentre 
os 2 tipos de Rh (positivo, negativo) e 1 dos 4 grupos sangüíneos (A, B, AB, O), 
o número total de possibilidades é 2.4=8. Podemos ver a razão da 
multiplicação por meio de um diagrama de árvores. 
 
 
 
 13
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos: 
 
1) Ao planejarmos um computador, se definirmos um byte como uma 
seqüência de 8 bits, e cada bit deve ser 0 ou 1, quantos bytes diferentes são 
possíveis? 
 
Solução: Como cada bit pode ocorrer de duas maneiras (0 ou 1), e temos uma 
seqüência de 8 bits, o número total de possibilidades distintas é dado por 
 
2.2.2.2.2.2.2.2=256 
 
2) Ao planejar pesquisas, os entrevistadores procuram minimizar o efeito 
causado pela ordem em que as questões são apresentadas. Se se deseja fazer 
uma pesquisa com 5 questões, quantas versões distintas da pesquisa são 
necessárias de modo a incluir todas as ordenações? 
 
Solução: Para qualquer pesquisa em particular, há 5 escolhas possíveis para a 
primeira questão, 4 escolhas restantes para a segunda questão, 3 escolhas 
para a terceira questão, 2 para a quarta e apenas 1 escolha para a quinta 
questão. O número total de arranjos possíveis é, pois, 
 
5.4.3.2.1 
 
O exemplo acima, é resolvido a partir de uma regra conhecida como regra do 
fatorial. 
 
Regra do fatorial: Uma coleção de n objetos pode ser ordenada de n! 
maneiras distintas. 
 
Exemplo: Suponha que um vendedor de computadores deva visitar 3 cidades 
distintas denotadas por A, B e C. Quantos caminhos são possíveis? 
 
+ 
_ 
A 
B 
AB 
O 
A 
B 
AB 
O 
Rh Grupo 
 14
Solução: Pela regra do fatorial, vemos que as 3 diferentes cidades podem ser 
dispostas em 3!=6 maneiras distintas. É possível verificar tal resposta através 
de um diagrama de árvores. 
 
A regra do fatorial nos diz quantos arranjos são possíveis quando se tomam 
todos os n elementos distintos de um conjunto. Às vezes, no entanto, 
desejamos selecionar apenas alguns dentre os n elementos. 
 
Exemplo: Se em uma pesquisa em capitais dos estados, temos tempo para 
visitar apenas 4 capitais, o número de caminhos diferentes possíveis é 
50.49.48.47=5.527.200. Outra maneira de obter esse mesmo valor é calcular 
200.527.547484950
!46
!50 =×××= 
Nesse tipo de resolução do problema estamos utilizando a regra dos arranjos. 
 
Regra dos arranjos: O número de arranjos (ou seqüências) de r elementos 
escolhidos dentre n elementos (sem repetição) é 
)!rn(
!nPrn −= 
 
Obs: Ao empregar a regra dos arranjos a ordem deve ser levada em conta. 
 
Exemplo: No planejamento de um programa noturno da rede de televisão 
NBC, devem ser escolhidos 6 shows dentre 30 disponíveis. Quantas 
programações diferentes são possíveis? 
 
Solução: Devemos selecionar r=6 dentre n=30 programas. Aqui a ordem tem 
importância. Assim o número de arranjos é 
000.518.427
)!630(
!30
)!rn(
!nPrn =−=−= 
 
 
Às vezes devemos determinar o número de arranjos, quando alguns dos 
elementos são idênticos entre si. Aplica-se então a seguinte variante da regra 
dos arranjos. 
 
Regra dos arranjos (quando alguns dos elementos são idênticos): Se há n 
elementos com n1 iguais, n2 iguais, ..., nk iguais, o número de permutações 
(arranjos com a totalidade dos elementos) de todos os n elementos é 
!n!...n!n
!n
k21
 
 
Exemplos: 
 
1) Quantas permutações são possíveis com as letras da palavra Mississippi. 
 
Solução: Na palavra Mississippi há 11 letras sendo que as letras i e s 
aparecem 4 vezes e a letra p aparece 2 vezes. Assim pela regra dos arranjos, 
o número de permutações possíveis é: 
 15
 650.34
!2!4!4
!11 = 
 
2) Vamos considerar as letras DDDDRRRRR incluídas numa discussão do 
teste de repetições para aleatoriedade. As letras representam uma seqüência 
de coca-colas tipos direita (D) e regular (R). De quantas maneiras podemos 
dispor as letras DDDDRRRRR? 
 
Solução: Na seqüência DDDDRRRRR temos n=9 elementos, com n1=4 iguais 
e n2=5 iguais. O número de permutações é: 
126
!5!4
!9
!n!n
!n
21
== 
 
O exemplo precedente envolveu n elementos, cada um deles pertencente a 
uma de duas categorias. Quando há apenas duas categorias, podemos 
estipular que x elementos são iguais e os outros n-x são também iguais, de 
modo que a fórmula das permutações se simplifica para 
!x)!xn(
!n
− 
 
Quando queremos selecionar r elementos de um conjunto de n elementos 
distintos sem levar em consideração a ordem, estamos considerando 
combinações. 
 
Regra das combinações: O número de r elementos extraídos de um conjunto 
de n elementos diferentes é 
!r)!rn(
!nCrn −= 
 
 
Exemplo: O Conselho Curador de uma faculdade tem 9 membros. Cada ano é 
eleito um comitê de 3 pessoas para supervisionar os prédios e o campus. São 
eleitos também, anualmente, um presidente, um vice-presidente e um 
secretário. 
 
a) Na eleição do comitê de edifícios e campus, quantos comitês diferentes 
podem ser formados? 
b) Quando o Conselho elege o presidente, o vice-presidente e o secretário, 
quantas chapas são possíveis? 
 
Solução: 
a) Nesse caso a ordem não importa. Dessa forma, temos que calcular o 
número de combinações de r=3 pessoas a serem selecionadas dentre n=9: 
84
!3)!39(
!9C39 =−= 
 
b) Aqui, a ordem de escolha faz diferença. Assim, devemos calcular o número 
de arranjos de r=3 pessoas escolhidas dentre n=9. 
 16
504
)!39(
!9P39 =−= 
 
 
As técnicas de contagens costumam ser usadas em problemas de 
probabilidades. 
 
Exemplo: Para um apostador da Mega Sena ganhar o prêmio, ele deve 
acertar a combinação de 6 números extraídos de um conjunto de 1 a 60. 
Determine a probabilidade de o apostador ganhar. 
 
Solução: O número de combinações possíveis é 
860.063.50
!6)!660(
!60C660 =−= 
Como só existe uma combinação que dá o prêmio, a probabilidade de o 
apostador ganhar é 1/50.063.860.