Apostila 06

Prévia do material em texto

1
ESTIMATIVAS E TAMANHOS DE AMOSTRAS 
 
As duas principais aplicações da estatística inferencial envolvem a utilização de 
dados amostrais para estimar o valor de um parâmetro populacional e para 
formular uma conclusão sobre uma população. 
 
Iremos, agora, estudar métodos de estimar valores de parâmetros 
populacionais e métodos para determinar o tamanho da amostra necessário 
para estimar esses parâmetros. 
 
 
Estimativa de uma média populacional: grandes amostras 
 
Definições: 
Um estimador é uma estatística amostral (como a média amostral x ) utilizada 
para obter uma aproximação de um parâmetro populacional. 
 
Uma estimativa é um valor específico, ou um intervalo de valores, usado para 
aproximar um parâmetro populacional. 
 
Exemplo 1: São dadas as temperaturas (em ºF) do corpo de 106 pessoas. 
98,6 98,6 98,0 98,0 99,0 98,4 98,4 98,4 98,4 98,6 
98,6 98,8 98,6 97,0 97,0 98,8 97,6 97,7 98,8 98,0 
98,0 98,3 98,5 97,3 98,7 97,4 98,9 98,6 99,5 97,5 
97,3 97,6 98,2 99,6 98,7 99,4 98,2 98,0 98,6 98,6 
97,2 98,4 98,6 98,2 98,0 97,8 98,0 98,4 98,6 98,6 
97,8 99,0 96,5 97,6 98,0 96,9 97,6 97,1 97,9 98,4 
97,3 98,0 97,5 97,6 98,2 98,5 98,8 98,7 97,8 98,0 
97,1 97,4 99,4 98,4 98,6 98,4 98,5 98,6 98,3 98,7 
98,8 99,1 98,6 97,9 98,8 98,0 98,7 98,5 98,9 98,4 
98,6 97,1 97,9 98,8 98,7 97,6 98,2 99,2 97,8 98,0 
98,4 97,8 98,4 97,4 98,0 97,0 
 
Com base nesses dados, podemos utilizar o estimador x para concluir que a 
estimativa da temperatura média do corpo de todos os adultos sadios é 
98,20ºF. 
 
A média amostral é o melhor estimador de uma média populacional. Há duas 
razões para este fato: 
1) Para muitas populações, a distribuição de médias x tende a ser mais 
consistente (apresentar menor variação) do que as distribuições de outras 
estatísticas amostrais. (Isto é, se utilizarmos médias amostrais para estimar a 
média populacional µ, essas médias amostrais terão menor desvio-padrão do 
que as outras estatísticas amostrais, tais como a mediana ou a moda). 
 
2) Para todas as populações, dizemos que a média amostral x é um 
estimador não-tendencioso da média populacional µ, o que significa que a 
distribuição de médias amostrais tende a centrar-se em torno da média 
populacional µ. 
 2
Por essas razões, utilizaremos a média amostral x como a melhor estimativa 
da média populacional µ. Como a média amostral x é um valor único que 
corresponde a um ponto na escala numérica, ela é chamada de estimativa 
pontual. 
 
Uma estimativa pontual é um valor (ou ponto) único usado para aproximar um 
parâmetro populacional. 
 
Exemplo 2: Com a amostra de temperaturas do exemplo 1, determine a 
melhor estimativa pontual da média populacional µ das temperaturas de todos 
os corpos. 
 
Solução: A média amostral é a melhor estimativa pontual da média 
populacional, e para os dados do exemplo 1, temos x =98,20ºF. Com base 
nesses dados amostrais particulares, a melhor estimativa pontual da média 
populacional de todas as temperaturas é, pois, 98,20ºF. 
 
Ao determinar uma estimativa pontual não temos qualquer indicação sobre 
quão boa é essa estimativa. Dessa forma os estatísticos desenvolveram outro 
tipo de estimativa (estimativa intervalar ou intervalo de confiança) que, 
efetivamente, indica quão boa é uma estimativa pontual. 
 
Um intervalo de confiança (ou estimativa intervalar) é uma amplitude (ou 
um intervalo) de valores que tem probabilidade de conter o verdadeiro valor da 
população. 
 
Um intervalo de confiança está associado a um grau de confiança que é uma 
medida da nossa certeza de que o intervalo contém o parâmetro populacional. 
 
O grau de confiança (ou nível de confiança, ou coeficiente de confiança) é 
a probabilidade 1-α de o intervalo de confiança conter o verdadeiro valor do 
parâmetro populacional. 
 
São escolhas comuns para o grau de confiança: 90% (α=0,10), 95% (α=0,05), 
e 99% (α=0,01). 
 
Pelo Teorema Central do Limite, sabemos que as médias amostrais tendem a 
distribuir-se normalmente (como na figura 1). As médias amostrais apresentam 
uma chance relativamente pequena de estar em uma das caudas extremas da 
figura 1. Denotando por α/2 a área sombreada de cada cauda, vemos que há 
uma probabilidade total α de a média amostral estar em uma das caudas. Pela 
regra do complemento, há uma probabilidade 1- α de uma média amostral estar 
na região não sombreada da figura 1. O escore z que separa a região da cauda 
direita é denotado comumente por zα/2, e é chamado valor crítico porque 
separa as médias amostrais possíveis de ocorrerem, das médias amostrais que 
provavelmente não ocorrerão. 
 
 
 
 
 3
Exemplo 3: Ache o valor crítico zα/2 correspondente a um grau de confiança de 
95%. 
 
Solução: Um grau de confiança de 95% corresponde a α = 0,05. Dessa forma, 
a área sombreada em cada cauda é α/2=0,025. Obtemos zα/2 =1,96, notando 
que a região à sua direita (e delimitada pela média z=0) deve ser 
0,5-0,025=0,475. 
 
Quando coletamos um conjunto de dados amostrais podemos calcular a média 
amostral x , mas essa média é diferente da média populacional µ. A margem 
de erro (E) é a diferença máxima provável (com probabilidade 1- α) entre a 
média amostral observada e a verdadeira média populacional e é dada por: 
n
zE 2/
σ⋅= α 
 
E se não conhecemos o valor do desvio-padrão populacional? 
 
Se n>30, podemos substituir σ pelo desvio-padrão amostral s. 
Se n≤30, a população deve ter distribuição normal, e devemos conhecer 
σ. 
 
Intervalo de confiança (ou estimativa intervalar) para a média 
populacional com base em grandes amostras: 
n
zEondeExEx 2/
σ⋅=+<µ<− α 
 
Exemplo 4: Para as temperaturas do exemplo 1, temos x =98,20 e s=0,62. 
Para um grau de confiança de 0,95, determine: 
a) A margem de erro E 
b) O intervalo de confiança para µ 
 
Solução: 
a) Sabemos que α = 0,05. Assim, zα/2 =1,96. O desvio-padrão populacional é 
desconhecido, mas n>30. Dessa forma, podemos utilizar o desvio-padrão 
amostral s. 
12,0
106
62,096,1
n
zE 2/ =⋅=σ⋅= α 
 
b) Como x =98,20 e E=0,12, o intervalo de confiança é: 
32,9808,98
12,020,9212,020,92
ExEx
<µ<
+<µ<−
+<µ<−
 
 
OBS: É incorreto afirmar que µ tem 95% de chance de estar entre os limites 
específicos de 98,08 e 98,32, porque µ é uma constante, e não uma variável 
aleatória. Ou µ está entre esses limites, ou não está; não há qualquer 
probabilidade em jogo. É correto dizermos que, a longo prazo, esses métodos 
darão intervalos de confiança que conterão µ em 95% dos casos. 
 4
Determinação do Tamanho da Amostra 
 
Em muitos casos é possível determinar o tamanho mínimo de uma amostra 
para estimar determinado parâmetro, como a média populacional. O tamanho 
da amostra para estimar µ pode ser calculado como se segue: 
2
2/
E
z
n ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ σ⋅= α 
 
OBS: O valor de n deve ser arredondado sempre para o próximo inteiro maior. 
 
Exemplo 5: Um economista deseja estimar a renda média para o primeiro ano 
de trabalho de um bacharel por uma faculdade, que teve a feliz idéia de fazer 
um curso de estatística. Quantos valores de renda devem ser tomados, se o 
economista deseja ter 95% de confiança em que a média amostral esteja a 
menos de R$500,00 da verdadeira média populacional? Suponha que 
saibamos, por um estudo prévio, que, para tais rendas, σ=R$6250,00. 
 
Solução: Dado que α=0,05 (95% de confiança) de forma que zα/2 =1,96, E=500 
e σ=6250, temos: 
60125,600
500
625096,1
E
z
n
22
2/ ==⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ⋅=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ σ⋅= α 
 
E se σ não for conhecido? Nesse caso, devemos utilizar um valor preliminar 
obtido por processos como os que se seguem: 
 
1) Utilizar a regra prática para estimar o desvio-padrão da seguinte maneira: 
σ ≈ amplitude/4. 
 
2) Realizar um estudo piloto, iniciando o processo de amostragem. Com base 
na primeira coleção de pelo menos 31 valores amostraisselecionados 
aleatoriamente, calcular o desvio-padrão amostral s e utilizá-lo em lugar de σ. 
Esse valor pode ser refinado com a obtenção de mais dados amostrais. 
 
Exemplo 6: Deseja-se estimar o preço médio de venda de um livro-texto para 
uma faculdade. Quantos exemplares devemos selecionar, para termos 95% de 
confiança de que a média amostral esteja a menos de R$2,00 da verdadeira 
média populacional? 
 
Solução: Sabemos que α=0,05 (95% de confiança), de forma que zα/2 =1,96 e 
E=2. Não conhecemos o desvio-padrão populacional, mas podemos estimá-lo. 
Admitindo que os preços dos livros típicos de faculdade variem de R$10,00 a 
R$90,00, tem-se uma amplitude de R$80,00, de modo que: 
20
4
)1090(
4
amplitude =−=≈σ 
Dessa forma, 
38516,384
2
2096,1
E
z
n
22
2/ ==⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ⋅=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ σ⋅= α 
 5
Exemplo 7: Se queremos estimar o peso médio do plástico descartado por 
residências em uma semana, quantas residências devemos selecionar 
aleatoriamente para termos 99% de confiança em que a média amostral esteja 
a menos de 0,250 lb da verdadeira média populacional? 
 
Solução: Sabemos que α=0,01 (99% de confiança), de forma que zα/2 =2,575 e 
E=0,250. Não conhecemos o desvio-padrão populacional, mas podemos fazer 
um estudo piloto. Realizando esse estudo com 62 residências, calculamos o 
valor do desvio-padrão amostral, obtendo s=1,065 lb. Como a amostra é 
grande (n>30), podemos utilizar s no lugar de σ. 
1213,120
250,0
065,1575,2
E
z
n
22
2/ ==⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ⋅=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ σ⋅= α 
 
 
Estimativa de uma média populacional: pequenas amostras 
 
No caso de pequenas amostras, a média amostral x é, em geral, a melhor 
estimativa pontual da média populacional µ. 
 
Podem-se construir intervalos de confiança para pequenas amostras utilizando-
se a distribuição normal com mesma margem de erro das amostras grandes, 
desde que a população original tenha distribuição normal e que se conheça o 
desvio-padrão populacional. 
 
No caso de uma amostra pequena com distribuição normal mas σ 
desconhecido, podemos utilizar a distribuição t de Student. 
 
A Distribuição t de Student 
Se a distribuição de uma população é essencialmente normal (com a forma 
aproximadamente de um sino), então a distribuição de 
n
s
xt µ−= 
é essencialmente uma distribuição t de Student (ou distribuição t) para todas as 
amostras de tamanho n. Essa distribuição é utilizada na determinação de 
valores críticos denotados por tα/2. 
 
Um conceito importante a ser definido para a utilização da distribuição t é o de 
graus de liberdade. O número de graus de liberdade para um conjunto de 
dados corresponde ao número de valores que podem variar após terem sido 
impostas certas restrições a todos os valores. 
 
Por exemplo, se 10 estudantes têm em um teste notas com média 80, 
podemos atribuir valores arbitrários a 9 delas, mas a última fica determinada 
univocamente. Como as 9 primeiras notas podem ser escolhidas 
arbitrariamente, dizemos que há 9 graus de liberdade. Por enquanto, 
utilizaremos a seguinte relação: 
graus de liberdade=n-1 
 6
A tabela de distribuição t relaciona os valores da distribuição t juntamente com 
áreas denotadas por α. 
 
Condições para utilização da distribuição t de Student 
1) O tamanho da amostra é pequeno (n≤30); e 
2) σ é desconhecido; e 
3) A população original tem distribuição essencialmente normal. 
 
Margem de erro para a estimativa de µ com base em uma amostra 
pequena e σ desconhecido 
liberdadedegrausntemtonde
n
stE 12/2/ −= αα 
 
Intervalo de confiança para a estimativa de µ com base em uma amostra 
pequena e σ desconhecido 
 
ExEx +<<− µ 
 
Exemplo 8: Com um teste destrutivo, as amostras são destruídas no processo. 
O teste de colisão de carros é um exemplo muito dispendioso de teste 
destrutivo. Se o você fosse responsável por tais testes de colisão, dificilmente 
convenceria seu chefe da necessidade de fazer colidir e destruir mais de 30 
carros, a fim de utilizar uma distribuição normal. Suponha que tenhamos feito 
um teste de colisão em 12 carros esporte Dodge Viper (preço de venda atual: 
$59300,00) sob uma diversidade de condições que simulam colisões típicas. A 
análise dos 12 carros danificados resulta em custos de conserto que parecem 
ter distribuição em forma de sino com média x = $26.227 e desvio-padrão s = 
$15.873 (com base em dados do Highway Loss Data Institute). Determine: 
a) A melhor estimativa pontual de µ, o custo médio de conserto de todos os 
Dodge Vipers envolvidos em colisões. 
b) A estimativa intervalar de 95% de µ. 
 
Solução: 
a) A melhor estimativa pontual de µ é o valor de x . Nesse caso, a melhor 
estimativa pontual de µ é $26.227. 
 
b) Utilizaremos a distribuição t porque as três condições descritas 
anteriormente são satisfeitas. O valor tα/2 é obtido na tabela de distribuição t na 
interseção da coluna rotulada “0,05 bilateral” (95% de confiança) com a linha 
correspondente a 11 graus de liberdade (n-1=11). Assim, tα/2 é 2,201. A 
margem de erro é: 
29,085.10
12
15873201,22/ === n
stE α 
Dessa forma, a estimativa intervalar é: 
ExEx +<<− µ 
26.227-10.085,29< µ<26.227+10.085,29 
$16.142< µ<$36.312 
 
 
 7
Estimativa de uma proporção populacional 
 
Notação para proporção: 
ntamanhodeamostraumaemsucessosxdeamostralproporção
n
xpˆ
alpopulacion proporçãop
=
=
 
 
Estimativa pontual: 
A proporção amostral pˆ é a melhor estimativa pontual da proporção 
populacional p. 
 
OBS: Utilizamos pˆ como estimativa pontual de p assim como usamos x como 
estimativa pontual de µ. 
 
Margem de erro da estimativa de p: 
n
qˆpˆzE /2α= 
 
Intervalo de confiança (ou estimativa intervalar) para a proporção 
populacional p: 
EpˆpE-pˆ +<< 
 
Exemplo 9: Os pesquisadores de opinião são atormentados por uma 
diversidade de fatores de confusão, como secretárias eletrônicas. Em uma 
pesquisa junto a 1068 americanos, 673 informaram ter secretária eletrônica 
(com base em dados da International Mass Retail Association, relatado em 
USA Today). Com esses resultados amostrais, determine: 
a) a estimativa pontual da proporção populacional de todos os americanos que 
têm secretária eletrônica. 
b) a estimativa intervalar de 95% de confiança da proporção populacional de 
todos os americanos que têm secretária eletrônica. 
 
Solução: 
a) A estimativa pontual de p é 
630,0
1068
673
n
xpˆ === 
 
b) Sabendo que pˆ = 0,630, qˆ =0,370 e zα/2 = 1,96 (para 95% de confiança), 
calculamos a margem de erro como se segue: 
0290,0
1068
)370,0)(630,0(96,1
n
qˆpˆzE /2 === α 
Agora, podemos encontrar o intervalo de confiança: 
0,659p0,601
0,02900,630p0,0290-0,630
EpˆpE-pˆ
<<
+<<
+<<
 
 
 8
Determinação do tamanho da amostra: 
 
Quando se conhece uma estimativa pˆ : 
2
2
/2
E
qˆpˆ][z
n α= 
 
Quando não se conhece uma estimativa pˆ : 
2
2
/2
E
25,0][z
n
⋅= α 
 
A razão para substituirmos o produto qˆpˆ quando não conhecemos uma 
estimativa pˆ é que o valor máximo possível do produto qˆpˆ é 0,25 (veja a tabela 
a seguir). 
 
pˆ qˆ qˆpˆ 
0,1 
0,2 
0,3 
0,4 
0,5 
0,6 
0,7 
0,8 
0,9 
0,9 
0,8 
0,7 
0,6 
0,5 
0,4 
0,3 
0,2 
0,1 
0,09 
0,16 
0,21 
0,24 
0,25 
0,24 
0,21 
0,16 
0,09 
 
Exemplo 10: As companhias de seguro estão ficando preocupadas com o fato 
de que o número crescente de telefones celulares resulte em maior número de 
colisões de carros; estão, por isso, pensando em cobrar prêmios mais elevados 
para os motoristas que utilizam celulares. Desejamos estimar, com uma 
margem de erro de três pontos percentuais, a percentagem de motoristas que 
falam ao celular enquanto estão dirigindo. Supondo que se pretende um nível 
de confiança de 95% nos resultados, quantos motoristas devem ser 
pesquisados? 
a) Suponhaque tenhamos uma estimativa pˆ com base em estudo anterior, que 
mostrou que 18% dos motoristas falam ao celular (com base em dados da 
revista Prevention). 
b) Suponha que não tenhamos qualquer informação que possa sugerir um 
valor de pˆ . 
 
Solução: 
a) Sabendo que pˆ =0,18, qˆ =0,82, zα/2 = 1,96 (para 95% de confiança) e E=0,03 
(3 pontos percentuais), n pode ser calculado como se segue: 
6310224,630
)03,0(
)82,0)(18,0()96,1(
E
qˆpˆ][z
n 2
2
2
2
/2 ==== α 
 
 9
b) Tal como na parte (a), utilizamos zα/2 = 1,96 e E=0,03. Como não temos 
conhecimento prévio de pˆ , devemos calcular n como se segue: 
10681111,1067
)03,0(
25,0)96,1(
E
25,0][z
n 2
2
2
2
/2 ==⋅=⋅= α 
 
 
Estimativa de uma variância populacional 
 
Em muitas situações reais, como o controle de qualidade em processos de 
fabricação, devemos estimar valores de variâncias ou desvios-padrão 
populacionais. Além de medidas que apresentem uma média desejada, o 
fabricante deve produzir artigos de qualidade consistente, que não variem de 
extremamente bons a extremamente maus. Essa consistência pode ser 
geralmente avaliada pela variância ou pelo desvio-padrão, que são, assim, 
estatísticas vitais para a manutenção da qualidade de produtos. 
 
Suposição: Vimos que para a estimativa de uma média populacional, bastava 
que os dados tivessem uma distribuição aproximadamente em forma de sino. 
Já no caso de uma estimativa de uma variância ou de um desvio-padrão 
populacional a população deve ter seus valores distribuídos normalmente. Ao 
calcular variâncias com os métodos que iremos estudar a seguir, a utilização 
de populações com distribuições muito não-normais pode levar a erros sérios. 
 
A distribuição qui-quadrado 
 
Em uma população distribuída normalmente com variância σ2, escolhemos 
aleatoriamente amostras independentes de tamanho n e calculamos a 
variância amostral s2 para cada amostra. A estatística amostral χ2 tem uma 
distribuição chamada distribuição qui-quadrado. 
2
2
2 s)1n(
σ
−=χ 
 
Para achar valores críticos da distribuição qui-quadrado, recorremos à tabela 
de distribuição qui-quadrado. Essa distribuição é determinada pelo número de 
graus de liberdade. Por enquanto utilizaremos n-1 graus de liberdade. 
 
OBS: Cada valor crítico de χ2 corresponde a uma área dada na linha 
superior da tabela, e essa área representa a região total localizada à 
direita do valor crítico. 
 
Exemplo 11: Determine os valores críticos de χ2 que definem regiões críticas 
contendo uma área de 0,025 em cada cauda. Suponha que o tamanho da 
amostra seja 10, de modo que o número de graus de liberdade é 10 - 1= 9. 
 
Solução: Para o valor crítico à direita, localiza-se na tabela de distribuição qui-
quadrado 9 na coluna de graus de liberdade e 0,025 na parte superior. O valor 
encontrado para χ2 é 19,023. Para o valor crítico à esquerda, localiza-se na 
 10
tabela de distribuição qui-quadrado 9 na coluna de graus de liberdade e 0,975 
na parte superior. O valor encontrado para χ2 é 2,700. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Estimadores de σ2 
 
A variância amostral s2 é a melhor estimativa pontual da variância populacional 
σ2. Como s2 é a melhor estimativa pontual de σ2, seria natural esperarmos que 
s fosse a melhor estimativa pontual de σ, mas isso não ocorre, porque s é um 
estimador tendencioso de σ. Entretanto, se o tamanho da amostra é grande, a 
tendenciosidade é tão pequena que podemos utilizar s como uma estimativa 
razoavelmente boa de σ. 
 
Intervalo de confiança ou estimativa intervalar para a variância 
populacional σ2 
2
L
2
2
2
R
2 s)1n(s)1n(
χ
−<σ<χ
− 
 
Intervalo de confiança ou estimativa intervalar para o desvio-padrão 
populacional σ 
2
L
2
2
R
2 s)1n(s)1n(
χ
−<σ<χ
− 
 
Com uma área total α dividida igualmente entre as duas extremidades de uma 
distribuição qui-quadrado, χ2L denota o valor crítico da extrema esquerda e χ2R 
denota o valor crítico da extrema direita. 
 
Exemplo 12: A confeitaria Hudson Valley fabrica sonhos que são embalados 
em pacotes com a indicação de que há 12 sonhos pesando um total de 42 oz. 
Se a variação entre os sonhos é muito grande, algumas caixas terão peso a 
menos (prejudicando o consumidor) e outras terão peso a mais (diminuindo o 
lucro). O supervisor de controle de qualidade constatou que esses problemas 
podem ser evitados se os sonhos tiverem um peso médio de 3,50 oz e um 
desvio-padrão de 0,06 oz ou menos. Selecionam-se aleatoriamente, na linha 
de produção, 12 sonhos, que são pesados, dando os resultados a seguir. 
Construa dois intervalos de confiança de 95%, um para σ2 e outro para σ, e 
determine se o supervisor de controle está com problemas. 
 
3,58 3,50 3,68 3,61 3,42 3,52 3,66 3,50 3,36 3,42 3,38 3,42 
 
Solução: Com base nos dados amostrais, a média amostral é 3,504 parece 
satisfatória, pois está muito próxima do valor desejado de 3,50 oz. Os valores 
 11
dados acusam um desvio-padrão s=0-109, superior ao valor desejado de 0,06 
ou menos. Passemos à construção do intervalo de confiança para σ2. Com uma 
amostra de 12 valores, temos 11 graus de liberdade. Com um grau de 
confiança de 95%, dividimos α=0,05 igualmente entre as duas caudas da 
distribuição χ2 e localizamos os valores 0,975 e 0,025 na linha superior. Os 
valores críticos χ2L e χ2R são, respectivamente, 3,816 e 21,920. Sendo s=0,109 
temos: 
034,0006,0
816,3
)109,0)(112(
920,21
)109,0)(112(s)1n(s)1n( 2222
2
L
2
2
2
R
2
<σ<⇒−<σ<−⇒χ
−<σ<χ
−
 
Tomando a raiz quadrada de cada membro (antes de arredondar), vem 
185,0077,0 <σ< . Com base no intervalo de confiança de 95%, parece que o 
desvio-padrão é superior ao valor desejado de 0,06 oz; sugere assim um 
problema para o supervisor de controle. 
 
Determinação do tamanho da amostra 
 
Para achar o tamanho da amostra necessário para estimar a variância 
populacional iremos utilizar a tabela a seguir. 
 
Tamanho de amostra para σ2 Tamanho de amostra para σ 
Para estarmos 95% 
confiantes de que s2 
esteja a menos do 
valor de 
do valor de σ2, o 
tamanho n da 
amostra deve ser 
no mínimo 
Para estarmos 95% 
confiantes de que s 
esteja a menos do 
valor de 
do valor de σ, o 
tamanho n da 
amostra deve ser 
pelo menos 
1% 
5% 
10% 
20% 
30% 
40% 
50% 
77.207 
3.148 
805 
210 
97 
56 
37 
1% 
5% 
10% 
20% 
30% 
40% 
50% 
19.204 
767 
191 
47 
20 
11 
7 
Para estarmos 99% 
confiantes de que s2 
esteja a menos do 
valor de 
do valor de σ2, o 
tamanho n da 
amostra deve ser 
no mínimo 
Para estarmos 99% 
confiantes de que s 
esteja a menos do 
valor de 
do valor de σ, o 
tamanho n da 
amostra deve ser 
pelo menos 
1% 
5% 
10% 
20% 
30% 
40% 
50% 
133.448 
5.457 
1.401 
368 
171 
100 
67 
1% 
5% 
10% 
20% 
30% 
40% 
50% 
33.218 
1.335 
335 
84 
37 
21 
13 
 
Exemplo: Com 95% de confiança, queremos estimar σ a menos de 10%. Qual 
deve ser o tamanho da amostra? Admita que a população tenha distribuição 
normal. 
 
Solução: Pela tabela acima, vemos que 95% de confiança e um erro de 10% 
para σ correspondem a um tamanho amostral de 191.