Derivadas Lista 1 (1)

Esta é uma pré-visualização de arquivo. Entre para ver o arquivo original

Prof. Msc. Isaias Lima Página 1 
 
INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA. 
SERTÃO PERNAMBUCANO – IFPE 
CAMPUS SERRA TALHADA 
 
Aluno(a): ______________________________________________________________ Data:_______/_______/2017. 
Professor Isaías Lima Disciplina: Cálculo 1 Curso: Licenciatura em Física 
 
LISTA 1 – DERIVDAS 
 
1 – Pela definição, encontre a deriva de cada uma das funções no ponto dado. 
 
a) f(x) = x, em x0 = 3 b) f(x) = x², em x0 = -1 c) f(x) = x³, em x0 = 2 
 
d) f(x) = √𝑥, em x0 = 3 e) f(x) = sen(x), x0 = π f) f(x) = 4x – 3x², em x0 = 1 
 
2 – Pela definição, encontra a função derivada de cada função a seguir. 
 
a) f(x) = x³ - 3x + 1 b) f(x) = 2√𝑥 c) f(x) = 
1−x
2+x
 
 
d) f(x) = 3/x d) f(x) = sen(x) e) f(x) = cos(x) 
 
3 – Encontre a equação da reta tangente e da reta normal ao gráfico de cada função no ponto dado. 
 
a) f(x) = x², em P(1,1) b) f(x) = 3/x, em P(1,3) c) f(x) = √𝑥, em P(1,1) 
 
d) f(x) = 3x² - x³, em P(1,2) e) y = x - √𝑥, em P(1,0) f) f(x) = √𝑥
4 , em P(1,1) 
 
4 – Ache os pontos sobre a curva y = 2x³ + 3x² - 12x + 1 onde a reta tangente é horizontal. 
 
5 – Encontre os pontos sobre a curva y = x4 – 6x² + 4, onde a reta tangente é horizontal. 
 
6 – Encontre uma função cúbica cujo gráfico tenha tangentes horizontais nos pontos (-2,5) e (2,0). 
 
7 – Encontre uma equação para a reta tangente à curva y = x√𝑥 que seja paralela à reta y = 1 + 3x. 
 
8 – Encontre uma equação para a reta normal a parábola y = x² -5x + 4 que seja paralela à reta 
x – 3y = 5. 
 
9 – Suponha que a bola foi deixada cair do ponto de observação da torre, 450 m acima do solo. 
 
a) Qual a velocidade da bola após 5 segundos? 
b) Com qual velocidade a bola chega ao solo? 
 
10 – Se uma bola for atirada ao ar livre com velocidade de 10 m/s, sua altura (em metros) depois 
de t segundos é dada por y = 10t – 4,9t². Encontre a velocidade quando t = 2 s. 
Prof. Msc. Isaias Lima Página 2 
 
11 – O deslocamento (em metros) de uma partícula movendo-se ao longo de uma reta é dado pela 
equação do movimento s = 1/t², onde t é medido em segundos. Encontre a velocidade nos 
instantes t = a, t = 1, t = 2 e t = 3. 
 
12 – A equação de movimento de uma partícula é s(t) = 2t³ - 5t² + 3t + 4, onde s é medida em 
centímetros e t, em segundos. Encontre a aceleração como uma função do tempo. Qual é a 
aceleração depois de 2 segundos? 
 
13 – A equação de movimento de uma partícula é s(t) = t4 – 2t³ + t² -t, em que s está em metros e 
t, em segundos. 
 
a) Encontre a velocidade e a aceleração como função de t. 
b) Encontre a aceleração após 1 s. 
 
14 – Derive: 
 
a) y = √13 b) y = -6x12 c) y = 1,4t5 – 2,5t2 + 8 d) h(x) = (2 – x)(3x – 2) 
 
e) v(x) = cx-6 f) y = x5/3 – x2/3 g) h(t) = √𝑡
4 – 4et h) y = √𝑥(x – 1) 
 
i) S(R) = 4πR² j) y = 
√𝑥 + x
𝑥²
 k) g(u) = √2.u + √3𝑢 l) k(r) = er + re 
 
m) y = aex + 
𝑏
𝑥
+
𝑐
𝑥²
 n) v = (√𝑥 + 
1
√𝑥
3 )² o) y = ex + sen(x) p) y = cos(x) – 3sen(x) 
 
15 – Encontre a primeira, a segunda e a terceira derivada de cada uma das funções: 
 
a) f(x) = 10x10 + 5x5 b) G(r) = √𝑟 + √𝑟
3 c) y = 4x² - 3x + 5 d) f(x) = 2x – 5x3/4 
 
e) y = ex – x-3 f) f(x) = sen(x) – cos(x) g) y = 3ex – 
1
4
sen(x) h) y = -3cos(x) 
 
16 – Encontre um polinômio de 2º grau P(x) tal que P(2) = 5, P’(2) = 3 e p’’(2) = 2. 
 
17 – A equação y’’ + y’ – 2y = x² é chamada de equação diferencial, pois envolve uma função 
desconhecida y e suas derivadas y’ e y’’. Encontre as constantes A, B e C tais que a função y = Ax² 
+ Bx + C satisfaça essa equação. 
 
18 – Sabemos que a área de um quadrado é função de seu lado. Determinar: 
 
a) A taxa de variação média da área de um quadrado em relação ao lado quando esta varia de 2,5 a 
3,0 m; 
b) A taxa de variação da área em relação ao lado quando este mede 4,0m. 
 
Prof. Msc. Isaias Lima Página 3 
 
19 – Uma cidade X é atingida por uma moléstia epidêmica. Os setores de saúde calculam que o 
número de pessoas atingida pela moléstia depois de um tempo t (medido em dias a partir do 
primeiro dia) é, aproximadamente, dado por: f(t) = 64t – t³/3. 
 
a) Qual a razão da expansão da epidemia no tempo t = 4? 
b) Qual a razão da expansão da epidemia no tempo t = 8? 
c) Quantas pessoas serão atingidas pela epidemia no 5º dia? 
 
20 – Analistas de produção verificam que, em uma montadora X, o número de peças produzidas 
nas primeiras horas diárias de trabalho é dado por: 
 
𝑓(𝑡) = {
50(𝑡2 − 𝑡), 𝑝𝑎𝑟𝑎 0 ≤ 𝑡 ≤ 4
200(𝑡 + 1), 𝑝𝑎𝑟𝑎 4 ≤ 𝑡 ≤ 8
 
 
a) Qual a razão de produção (em unidades por hora) após 3 horas de trabalho? E após 7h? 
b) Quantas peças são produzidas na 8ª hora de trabalho? 
 
21 – Derive. 
a) y = x.ex b) f(t) = √𝑡 . (a + bt) c) y = 
x²+x−2
x³+6
 d) y = 
2 𝑒𝑥
1+x²
 
 
f) y = 
𝑥 + 1
x³+x−2
 e) y = (x³ + 2x).ex g) h(u) = (u – √𝑢)(u + √𝑢) 
 
22 – Encontre g’(x) e g’’(x). 
 
a) g(x) = x4 ex b) g(x) = x2/3 ex c) g(x) = 
x²
1+2𝑥
 d) g(x) = 
𝑥
𝑥²−1
 
 
23 – Se f(x) = √𝑥.g(x), onde g(4) = 2 e g’(4) = 3, encontre f ’(4). 
 
24 – Encontre equações para a reta tangente e para reta normal à curva no ponto especificado. 
 
a) y = 2xex, (0, 0) b) y = 
2𝑥
𝑥²+1
, (1, 1) 
 
25 – Suponha que f(5) = 1, f ‘(5) = 6, g(5) = -3 e g’(5) = 2. Encontre os seguintes valores. 
 
a) (f.g)’(5) b) (f/g)’(5) c) (g/f)’(5) 
 
26 – Derive. 
 
a) y = tg(x) b) y = sec(x) c) y = cossec(x) d) y = cotg(x) 
 
e) y = 
sec (x)
1+tg(x)
 f) g(t) = t³.cos(t) g) y = 
cotg (x)
1−cossec (x)
 h) y = ex.tg(x) 
 
 
Prof. Msc. Isaias Lima Página 4 
 
27 – Para quais valores de x o gráfico de f tem uma reta tangente horizontal? 
 
a) f(x) = x + 2sen(x) b) f(x) = excos(x) 
 
28 – Encontre constantes A e B de forma que a função y = A.sen(x) + B.cos(x) satisfaça a equação 
diferencial y’’ + y’ – 2y = sex(x). 
 
29 – Uma tira elástica é presa a um gancho e uma massa é presa na ponta inferior da tira. Quando 
o corpo é puxado para baixo e então solto, ele vibra verticalmente. A equação do mo vimento é s(t) 
= 2cos(t) + 3 sen(t), t ≥ 0, onde s é medido em centímetros e t, em segundos. (Considere o 
sentido positivo como para baixo.) 
 
a) Encontre a velocidade e a aceleração no tempo t. 
b) Quando o corpo para pela primeira pela posição de equilíbrio? 
c) A que distância da posição de equilíbrio o corpo chega? 
d) Quando a velocidade é máxima? 
 
30 – Uma escada de 6m de comprimento está apoiada em uma parede vertical. Seja 𝜃 o ângulo 
entre o topo da escada e a parede e x, a distância do pé da escada até a parede. Se o pé da escada 
escorregar para longe da parede, com que velocidade x variará em relação a 𝜃 quando 𝜃 = 𝜋/3?