Teoria de controle moderno 2

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RDR
Teoria de Controle Moderno II
Professor: Moacy 
Aluno: Fernando Oliveira dos Santos
RA: 249665813860
Brasília 05 de março 2018
DIAGRAMAS DE BODE: Para explicar os diagramas de Bode, vamos fazer, inicialmente, uma análise intuitiva. Dado um sistema realimentado:
Para que este sistema entre em oscilação, isto é fique instável, duas condições devem ser satisfeitas: 
1) O sinal de erro, aplicado em G(s) deve retornar com uma amplitude maior ou igual à original. 
2) O defasamento total do circuito deve ser 0° ou 360°. 
Note que o sinal negativo do somador significa um defasamento de 180o . Devido a isto temos que verificar se o defasamento de G(jw) poderá ser 180° (pois os outros 180° são devido ao sinal de menos do somador) ao mesmo tempo em que o módulo de |G(jw)| será 1. Para fazer a análise da variação da fase e do ganho serão utilizados os diagramas de Bode. 
Os diagramas de Bode, são compostos por dois diagramas: a) diagrama de módulo em função da frequência e b) diagrama de fase em função da frequência.
Para entender como se utilizam estes diagramas, podemos analisar os gráficos.
A margem de ganho é o fator pelo qual o ganho pode ser aumentado antes que o sistema fique instável. A margem de ganho pode ser lida diretamente das curvas de Bode, medindo a distância vertical entre a curva de módulo da função GH(j) e a linha |GH(j) |=1, isto é, a linha de 0 db, na frequência onde GH(j) =180º. A margem de fase é o número de graus de GH(j) acima de -180º, na frequência de cruzamento de ganho, onde o módulo da função é igual a 1 (ou seja, 0db). A margem de fase é definida como 180º mais o ângulo de fase da função de transferência de malha aberta na frequência cujo módulo tem o valor unitário, isto é: Margem de fase = [180º + argGH(jg)], onde |GH(jg)|=1 e g é chamada frequência de cruzamento de ganho. As margens de ganho e de fase são medidas de estabilidade relativa. Os diagramas de bode são desenhados utilizando-se a função de transferência de malha aberta. Isto é uma vantagem, pois evita termos de calcular a função de transferência em malha fechada. 
 Desta forma será possível fazer a análise do sistema em malha fechada, verificando apenas a função de transferência em malha aberta. Pelo diagrama da figura 1, o sinal realimentado é subtraído do sinal de referência. Este sinal negativo, equivale a defasar o sinal em 180o . Desta forma para termos um defasamento de 360o do sistema em malha fechada, e que poderia tornar o sistema instável, resta verificar se a função G(s)H(s) irá causar um defasamento de 180o (pois os outros 180o são causados pelo sinal de menos do somador). Através da figura 2 podemos ver que o diagrama de fase terá 180o no momento em que o módulo for menor que 0 dB (isto é ganho menor que 1). Isto significa que o sistema é estável. 
Margem de fase: é o atraso de fase adicional na frequência de cruzamento do ganho, necessário para levar o sistema ao limiar da instabilidade. A frequência de cruzamento de ganho é a frequência na qual o módulo da função de transferência em malha aberta é unitário, isto é |G(jg)|= 1. A margem de fase é definida como 180º mais o ângulo de fase da função de transferência de malha aberta, na frequência cujo módulo tem o valor unitário: 
Onde argGH(jg) é o valor da fase na frequência onde |G(jg)| = 1.
Margem de ganho: é o inverso do módulo |G(j)| na frequência onde o ângulo de fase é – 180º . Definindo-se a frequência de cruzamento de fase (f) como a frequência na qual o ângulo de fase da função de transferência a malha aberta é igual a – 180° , a margem de ganho é:
 
Margem de ganho é um valor em decibéis que indica o quanto o módulo da função de malha aberta, |GH(jg)|, está abaixo de 0db, na frequência cuja fase vale - 180º. A margem de ganho, em db, é dada por: 
 
Uma margem de ganho positiva (em dB) significa que o sistema é estável. Do diagrama de módulo, o valor lido será positivo se for menor que 0db. Uma margem de ganho negativa (em dB) significa que o sistema é instável. Do diagrama de módulo, o valor lido será negativo se for maior que 0db. a) Para um sistema de fase mínima estável, a margem de ganho indica de quanto o ganho pode ser aumentado antes de o sistema se tornar instável. b) Para um sistema instável, a margem de ganho indica de quanto o ganho deve ser diminuído para tornar o sistema estável. 
DESENHO DOS DIAGRAMAS DE BODE: Dada uma função de transferência, a primeira coisa a ser feita é escrevê-la na forma de Bode.
 
 O ganho de Bode é definido como: 
 
Os controladores PID tem sido muito utilizado em sistemas de controles industriais ha décadas, mais precisamente, desde que, Ziegler e Nichols propuseram o primeiro método de ajuste de controladores PID (Ziegler e Nichols, 1942), tendo a capacidade de estabilizar e controlar cerca de 90% dos processos industriais existentes.
Com o objetivo de comparar as diversas técnicas de projeto, Cominos e Munro (2002) desenvolveram um trabalho, resumindo alguns dos métodos recentes de projetos de controladores PID, tais como: o método de Ziegler-Nichols, de re-alocacão de pólos, projetos baseados em especificações em ganhos de fase e de margem, técnicas de polinômios de intervalos, projetos baseados no teorema da estabilidade de Nyquist, Algoritmo Genéticos para ajustes de PID, ajustes de PID utilizando a teoria da interação adaptativa, métodos baseados em cancelamento, métodos de integração de magnitude múltipla ótima, entre outras, visando apresentar vantagens e desvantagens destes métodos. Mais recentemente, outros métodos de ajuste de parâmetros de controladores PID foram desenvolvidos visando melhorar o desempenho de sistemas realimentados com este controlador. Ge et al. (2001) propuseram um método de projeto de controladores PID robustos em que utilizam técnicas padrões como reguladores lineares quadráticos (LQR) e H1 e solucionam o problema proposto utilizando LMI. Em Ho et al. (2001) é apresentada uma generalização do teorema de Hermite-Biehler, com o objetivo de se ter uma caracterização para todos os controladores PID que estabilizem uma dada planta. Astrom e Hagglund (2004) revisaram o método de resposta ao degrau de Ziegler-Nichols, utilizando uma forma de malha robusta. Em Toscano (2004), tem-se um trabalho de projeto de controlador PID robusto, utilizando a curva de Nyquist da função de transferência de malha aberta. Oviedo et al. (2006) utiliza uma identificação do sistema e, posteriormente uma otimização de um critério do erro, como a integral do erro absoluto (IAE), a energia do erro e a integral da multiplicação do erro pelo tempo (ITAE). Um primeiro trabalho que considera o ajuste de controladores PID para plantas instáveis foi apresentado por (Sha¯ei e Shenton, 1994), sem com tudo caracterizar as condições necessárias para a estabilização das plantas instáveis pelos controladores PID. O problema da estabilizaçãode plantas estáveis e instáveis utilizando controladores P, PI e PID foi considerado em Datta et al. (2000) e Silva et al. (2004); esse ¶ultimo para sistemas com atraso. Nesses trabalhos, diferentemente da abordagem apresentada por (Sha¯ei e Shenton, 1994), foi apresentada uma caracterização dos controladores PI e PID estabilizantes, isto ¶e, conjuntos de pontos kp, (kp; ki) e (kp; ki; kd) cujos controladores PI e PID tornam o sistema realimentado estável. Contudo, uso não foi feito dessa região para considerar outros objetivos de projeto, tais como resposta transitória e rejeição de sinais externos de perturbação. 
Método de ajuste dos controladores PID, supondo conhecida a função de transferência da planta. Será utilizado um critério de otimização quadrático em que fazem parte desta função a norma quadrática do sinal do erro e da componente do sinal de perturbação no sinal de saída. Para minimizar este custo, que é função dos parâmetros do controlador PID, será utilizado o Algoritmo Genético, onde o espaço da busca será a região na qual o sistema de malha fechada é estável, ou seja, os pontos (kp; ki; kd) que tornam o sistema compensado estável. Uma vez que a varredura ¶e feita sobre a região de estabilidade, os controladores PI e PID obtidos garantem a estabilidade do sistema realimentado para plantas estáveis ou instáveis.
 
Estabilização de sistemas realimentados utilizando controladores P, PI e PID 
Considere o diagrama de blocos da figura em que G(s) e K(s) denotam, respectivamente, a planta a ser controlada e o controlador a ser projetado, u(t) é o sinal de controle, e(t) é o sinal do erro, que é a diferença entre o sinal de referência r(t) e o sinal de saída medido y(t), d(t) representa um sinal externo de perturbação, N(s) é o ruído de
Diagrama de blocos de um sistema realimentado com controlador.
medição e x(t) é o sinal de saída. O controlador a ser considerado neste trabalho é o do tipo PID cuja forma geral é:
sendo kp, ki e kd, respectivamente, os ganhos proporcional, integral derivativo. Suponha que G(s) seja descrita por uma função de transferência racional, isto é,
sendo B(s) e A(s) coprimos e gr[B(s)] = m e gr[A(s)] = n (m · n), com gr(.) denotando o grau de um polinômio e considere as seguintes fatorações de B(s) e A(s):
Caracterização de todos os controladores proporcionais estabilizantes 
Seja, inicialmente, K(s) = kp. É fácil verificar que o polinômio característico de malha fechada
∂ (s; k) é dado por:
Usando as Eqs. (3) e (4) e substituindo-se s = j, pode-se escrever:
e suponha que 0 = 0 < 1 < 2 < : : : < l-1 denote os zeros reais, não-negativos, distintos e finitos de qf () com multiplicidade ímpar. Forme um conjunto A de todas as possíveis sequências de números i0; i1; i2; :::; il que podem ser geradas satisfazendo as seguintes condições: (i) Se B¤(jt) = 0 para algum t = 1; 2; : : : ; l - 1, então define-se it = 0; caso contrário it ϵ {-1; 1}; (ii) Se B*(jt) tem um zero de multiplicidade p na origem, então define-se i0 = sgn[p1 (0)]; caso contrário io ϵ {-1; 1}; sendo
 
E
 
(iii) il = 0 se m + n é ímpar; il ϵ {-1; 1} se m + n é par. Para cada um dos elementos I = {i0; i1; : : : ; il} do conjunto A obtido acima, calcule a sua assinatura imaginária ϒ(I) da seguinte forma: suponha que 0 = 0 < 1 < 2 < : : : < l-1 denotem os zeros reais, não-negativos, distintos e finitos de qf () com multiplicidade ímpar e defina l = ∞. Então:
Forme agora o conjunto F* com os elementos do conjunto A cujas assinaturas são iguais a n – {l[B(s)] - r[B(s)], isto é:
sendo l(.) e r(.) os números de raízes de B(s) nos semi-planos esquerdo e direito do plano s, respectivamente. A estabilização de sistemas realimentados com controladores proporcionais é regida pelo seguinte teorema. Teorema 1 (Datta et al., 2000) O problema da estabilização de sistemas realimentados compensados com controladores proporcionais realimentado tem solução para uma dada planta com função de transferência G(s) se e somente se as seguintes condições são asseguradas:
 (i) F*é não vazio e 
(ii) Existe uma sequência I = {i0; i1; : : : ; il} 2 F* tal que
Além disso, se a condição acima é satisfeita pelas sequencias viáveis I1; I2; : : : ; Is ϵ F*, então o conjunto de todos os ganhos que estabilizam o sistema é dado por
, sendo 
Caracterização de todos os controladores PI estabilizantes
Sendo, agora, o controlador do tipo PI, K(s), terá a seguinte função de transferência:
Consequentemente o polinômio característico de malha fechada será
Fatorando B(s) e A(s) e calculando ±(s; kp; ki)B*(s) e, substituindo s =j, obtém-se: Substituindo s = j, obtém-se:
sendo
definindo
tem-se que ki e kp aparecem somente em pf (; ki) e qf (; kp), respectivamente. Além disso, para todo kp fixo, os zeros de q(; kp) não dependem de ki e, portanto, os resultados apresentados podem ser aplicados para encontrar (se existir) os intervalos de ki que tornam o sistema realimentado estável para um dado valor de kp. Assim variando-se o valor de kp e resolvendo-se o problema de estabilização para o controlador proporcional, expresso agora para ki, encontra-se os intervalos desejados para ki. Deve ser ressaltado que o intervalo da “varredura" de kp não precisa ser (-∞,∞). Em muitos casos pode-se reduzir este intervalo fazendo-se uso de conceitos utilizados na construção do lugar das raízes. Para tanto, escreva q(; kp) = [U()+kpV ()], como U() = Ae(-2)Be(-2)+ 2Ao(-2)Bo(-2) e V () = Be(-2) Be(-2) + 2Bo(-2)Bo(-2). É fácil verificar que q(; kp) tem pelo menos uma raiz real, não-negativa na origem e, assim, para se determinar os zeros reais 0 = 0 < 1 < 2 < : : : < l¡1 não-negativos, distintos e finitos de qf () com multiplicidade ímpar para diferentes intervalos de kp basta achar os valores de kp correspondentes aos pontos de partida/chegada no eixo real. Definindo-se kp0 = -1 e kpz+1 =
1, então i, i = 1; 2; : : : ; z são as raízes reais múltiplas de U() + kpV () = 0 que correspondem aos valores de kpi ,i = 1; 2; : : : ; z + 1. Note ainda que para kp 2 (kpi ; kpi+1), as raízes reais de U() + kpV () = 0 são simples e o número de raízes reais de U() + kpV () = 0 é invariante.
Caracterização dos controladores PID estabilizantes
Nesse caso o controlador terá a seguinte função de transferência:
Nessa Seção, será mostrado como o resultado, pode ser estendido para resolver o problema de se determinar os ganhos kp, ki, e kd, para que o sistema realimentado da figura 1 seja estável. Procedendo-se, obtém-se inicialmente as decomposições de B(s) e A(s) em suas partes par e ímpar. Em seguida, multiplicando-se o polinômio característico de malha fechada ∂(s; kp; ki; kd) por B*(s) e, finalmente, fazendo a substituição s = j, obtém-se:
Sendo
Definindo 
vê-se, mais uma vez, que ki e kd aparecem somente em p(; ki; kd) e que kp aparece somente em q(; kp). Assim para todo kp fixo, os zeros de q(; kp) não dependem de ki ou de kd e, então, pode-se usar o resultado, para determinar os valores de ki e kd que tornam o sistema realimentado estável. Contudo, como para cada valor de kp, duas variáveis devem ser determinadas, utiliza-se programação linear para encontrar os intervalos de ki e kd associados a cada kp.
Seja gr[∂ (s; kp; ki; kd)] = n± e considere a função qf (w) definida. Suponha que 0 = 0 < 1 < 2 < : : : < l -1 denotem sendo e(t) o sinal do erro, yd(t) a componente do sinal de perturbação no sinal de saída y(t) e ɑ ϵ R* é utilizado para estabelecer uma ponderação entre os objetivos de rastreamento e de rejeição de perturbação.
Utilizando o teorema de Parseval (Lathi, 1968), tem-se que é equivalente a:
Sendo
com W(s) descrito pela seguinte função racional
em que ϒ,β ϵ Ɍ+. Note que o termo W(s) funciona como uma função de ponderação, que produz o efeito de bloquear sinais de alta ou de baixa frequência, dependendo dos valores de ϒ e β; quando ϒ é maior que β os sinais de baixa frequência presentes em e(t) são atenuados e quando o contrárioocorre (isto é ϒ < β), os sinais de alta frequência presentes em e(t) são atenuados. Dessa forma, os parâmetros ° e ¯ representam novos parâmetros de projeto a serem arbitrados pelo projetista. Sendo G(s) descrita pela Eq. (2), R(s) = R=s, D(s) = D=s (R;D 2 R e notando que K(s) pode ser escrito como
em que C(s) = kps+ki para controladores PI e C(s) = kds² + kps + ki para controladores PID, não é difícil verificar que Ew(s) e Yd(s) podem ser escritos como:
Uso de algoritmos genéticos no ajuste dos parâmetros de controladores PI e PID ótimos quadráticos
Os algoritmos genéticos (AG) são uma família de modelos computacionais, que é inspirada na teoria da evolução de Charles Darwin (sobrevivência do mais apto). São métodos de busca estocásticos baseados no mecanismo de seleção natural e genética natural (Dasgupta e Michalewicz, 2001) e tentam “imitar” a teoria de a adaptação do indivíduo que é mais forte no meio onde ele se encontra, por isso tem mais chance de sobrevivência. Assim o algoritmo gera populações de indivíduos que serão mais ou menos aptos a determinados meios (função que se quer otimizar). A partir daí, os melhores indivíduos vão gerar novos (e melhores) indivíduos até que se chegue a solução do problema. A popularidade dos AGs se deve, principalmente, a dois fatos: são robustos e aplicáveis a uma grande variedade de problemas e são eficazes e eficientes, já que acham soluções boas e, inclusive, ótimas para o problema, em um tempo razoável. A estrutura básica do AG pode ser descrita pelo seguinte algoritmo.
Algoritmo 1
Passo 1: Iniciar o número da geração, i=1.
Passo 2: Gerar uma população aleatória de cromossomos Pi.
Passo 3: Calcular a Função Objetivo de cada cromossomo e a sua probabilidade de sobrevivência.
Passo 4: Se for alcançado o número máximo de gerações, terminar o processo.
Passo 5: Baseado na probabilidade de sobrevivência, realizar a seleção e reprodução dos melhores indivíduos gerando a população Pi1.
Passo 6: Aplicar o operador de Cruzamento µa população Pi1, gerando a população Pi2.
Passo 7: Aplicar o operador de Mutação µa população Pi2 gerando a população Pi+1.
Passo 8: Incrementar i e voltar ao passo 3.
Referência
Basilio, J. C. (1989). Controle ótimo quadrático no domínio da frequência com objetivos de rastreamento de sinais limitados e margem de estabilidade, Tese de Mestrado, Instituto Militar de Engenharia.