Movimento Retilíneo

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Movimento Retilíneo
29 de agosto de 2017
A análise do movimento é um problema da física. O mundo, e tudo que há
nele, está em constante movimento. Até mesmo uma pessoa deitada no chão
está em movimento, pois o planeta Terra se move em torno do Sol. O Sol, por
sua vez, se move ao longo da Via-Láctea, e assim por diante. Em nosso estudo
sobre movimento vamos inicialmente considerar os conceitos que envolvem a
classificação e comparação do movimento (cinemática), posteriormente iremos
considerar as causas do movimento (dinâmica).
Para descrever o movimento de um corpo precisamos, em primeiro lugar,
estabelecer um método para medir a posição deste corpo, em outras palavras
precisamos determinar um sistema de referência. Em um movimento unidi-
mensional, ou movimento retilíneo, um sistema de referência não passa de uma
reta orientada em que se escolhe uma origem a partir da qual realizamos nossas
medidas.
Sistemas de Referência (Posição e Deslocamento)
Na Fig. 1 temos alguns exemplos de como podemos escolher um sistema de
referência. Nesta figura ilustramos um carro que se move desde a posição inicial
até a posição final. O movimento do carro é algo independente da nossa escolha
de referencial. No exemplo em questão estamos considerando 3 referenciais
diferentes, este referenciais, grosso modo, equivalem a uma régua que utilizamos
para medir o deslocamento do carro. No referencial “A” adotamos como origem
o ponto no qual o carro inicial o movimento, neste caso podemos ver que o carro
se moveu desde a posição zero até a posição cinco. No referencial “B” a origem
não está no ponto onde o carro inicial o movimento, neste segundo exemplo, o
carro move-se desde a posição -2 até a posição +3. No referencial “C” podemos
notar que a medida de distância se dá no sentido contrário, em relação aos casos
anteriores, e o carro se move desde a posição 5 até a posição 0.
Não é difícil notar que em todos os referenciais o carro se moveu por uma
distância de 5 unidades. Contudo, nos referenciais “A” e “B” temos um desloca-
mento no mesmo sentido do eixo de coordenadas, já no referencial “C” o carro
desloca-se no sentido contrário do eixo de coordenadas.
1
0 21 3 4 5
-2 0-1 1 2 3
5 34 2 1 0
A
B
C
Posição Inicial Posição Final
Figura 1: Sistemas de Referência
Definimos deslocamento pela diferença entre a posição final e a posição inicial
de um objeto. Assim, temos que o deslocamento no referencial “A” é
dA = 5− 0 = 5. (1)
No referencial “B” temos
dB = 3− (−2) = 5. (2)
Já no referencial “C” o deslocamento é dado por
dC = 0− 5 = −5. (3)
Como podemos ver, o valor do deslocamento depende da escolha do referencial.
Todavia, o módulo do deslocamento (o valor do deslocamento sem considerar o
sinal + ou -) é igual em todos os casos. O deslocamento é uma gradeza vetorial,
ou seja, possui módulo direção e sentido. Deste modo, como toda grandeza
vetorial, a descrição do deslocamento depende do sistema de referencia adotado.
No caso unidimensional, o caráter vetorial é caracterizado pelo sinal positivo
ou negativo da grandeza em questão. Nas aulas seguintes iremos considerar o
movimento em duas e três dimensões. Apesar de não ser necessário o uso da
notação vetorial no movimento unidimensional, bastando apenas utilizar o sinal
de positivo ou negativo nas medidas, vamos trabalhar com o deslocamento (e
grandezas relativas ao deslocamento) na notação vetorial, assim, já vamos nos
familiarizando com o futuro que nos aguarda.
2
O vetor deslocamento é definido a partir do vetor posição, dado o vetor
posição inicial ~r (t = ti) e o vetor posição final ~r (t = tf ) definimos o vetor des-
locamento da seguinte forma
∆~r = ~r (t = tf )− ~r (t = ti) . (4)
No referencial “A” a posição inicial do carro é dada pelo vetor
~rA (t = ti) = ~0, (5)
e a posição final
~rA (t = tf ) = 5 iˆ, (6)
logo, o vetor deslocamento no referencial “A” é dado por
∆~rA = 5 iˆ. (7)
Já no referencial “C” a posição inicial do carro é dada pelo vetor
~rC (t = ti) = 5 iˆ, (8)
e a posição final
~rC (t = tf ) = ~0, (9)
logo, o vetor deslocamento no referencial “C” é dado por
∆~rC = −5 iˆ. (10)
Contudo, temos que
|∆~rA| = |∆~rC | . (11)
Velocidade Média e Velocidade Instantânea
A velocidade é uma grandeza que no diz como a posição de um objeto está
variando com o tempo. Na Fig. 2 temos a representação gráfica de como a
posição de um objeto pode variar com o tempo. Como podemos ver, após
a passagem de 0, 5 segundos o objeto descrito pelo gráfico saiu da origem e
atingiu a distância de 1 metro.
Definimos velocidade média pela razão entre o deslocamento ∆~r e o intervalo
de tempo ∆t, deste modo, a velocidade média entre 0 e 0, 5 segundos é
v =
1− 0
0, 5− 0 = 2m/s. (12)
Como o próprio nome já diz, a velocidade média nos dá a média da velocidade
no intervalo de tempo considerado. A velocidade média não nos informa qual é
3
Figura 2: Posição em função do Tempo.
a velocidade do objeto com o decorrer do tempo. Veja que se considerarmos o
intervalo de tempo de 0 a 1, 5 segundos a velocidade média será
v =
2− 0
1, 5− 0 =
4
3
m/s. (13)
Agora, considerando o intervalo de tempo entre 0 e 3 segundos temos
v =
0− 0
3− 0 = 0m/s, (14)
ou seja, obtemos uma velocidade média nula apesar do objeto ter se movido no
intervalo de tempo em questão.
Para conhecermos a velocidade de um objeto em um determinado instante
de tempo devemos calcular a velocidade instantânea. Obtemos a velocidade
instantânea a partir da velocidade média considerando um intervalo de tempo
∆t muito pequeno, ou seja, considerando o limite no qual o intervalo de tempo
tende a zero. Deste modo, definimos a velocidade instantânea, ou simplesmente
velocidade, por
~v = lim
∆t→0
∆~r
∆t
=
d
dt
~r. (15)
Uma vez que a velocidade é uma grandeza vetorial, obtida a partir do vetor
∆~r, esta possui módulo, direção e sentido. Note que, uma vez que ∆t é um
escalar positivo definido, o vetor velocidade aponta no mesmo sentido do vetor
∆~r. No movimento representado pela Fig. 2, a velocidade é positiva entre 0 e
1, 5 segundos, a partir de então a velocidade torna-se negativa.
4
Aceleração
Assim como a posição de um objeto pode variar com o tempo, neste caso dizemos
que tal objeto possui uma velocidade não nula, a velocidade também pode variar
com o tempo. Quando a velocidade de um objeto varia com o tempo dizemos que
este objeto está variando. Analogamente a velocidade, definimos a aceleração
média por
a =
v (t = tf )− v (t = ti)
tf − ti =
∆v
∆t
. (16)
Novamente, considerando o limite ∆t→ 0 obtemos a aceleração instantânea.
Assim, definimos aceleração instantânea, ou simplesmente aceleração, por
~a = lim
∆t→0
∆~v
∆t
=
d
dt
~v. (17)
Aceleração constante
A aceleração constante é um caso particular da aceleração. Neste curso iremos
focar no caso especial da aceleração constante.
Podemos utilizar a Eq. (17) para encontrar a função que descreve a variação
da velocidade e a variação da posição em função do tempo. A partir da definição
de aceleração
~a =
d
dt
~v, (18)
podemos escrever
~a dt = d~v. (19)
Podemos agora integrar ambos os lados da equação acima, ou seja
ˆ t=tf
t=0
~a dt =
ˆ vf
v0
d~v, (20)
onde v0 é o valor da velocidade em t = 0 e vf é o valor da velocidade em t = tf .
Como estamos tratando do caso no qual a aceleração é constante, podemos tirar
a aceleração da integral do lado esquerdo, ou seja
~a
ˆ t=tf
t=0
dt =
ˆ vf
v0
d~v (21)
~a tf = ~vf − ~v0. (22)
Chamando tf simplesmente de t, ~vf simplesmente de ~v e rearranjando os termos
da última equação obtemos
~v = ~v0 + ~a t. (23)
5
Podemos agora integrar a Eq. (23) para obter uma equação para a posição
em função do tempo. Logo, usando a definição de velocidade podemos escrever
a Eq. (23) como
d
dt
~x = ~v0
+ ~a t (24)
d~x = ~v0 dt + ~a t dt, (25)
integrando a última equação
ˆ xf
x0
d~x =
ˆ t=tf
t=0
~v0 dt + ~a
ˆ t=tf
t=0
t dt (26)
~xf − ~x0 = ~v0 tf + 1
2
~a t2f . (27)
Chamando tf simplesmente de t, ~xf simplesmente de ~x e rearranjando os termos
da última equação obtemos
~x = ~x0+ ~v0 t +
1
2
~a t2. (28)
Com esta última equação definimos o que chamamos de Movimento Unifor-
memente Variado (MUV). Note que, assim como obtemos a Eq. (28) a partir
da Eq. (23) via integração, podemos a Eq. (23) a partir da Eq. (28) por meio
de uma derivada em relação ao tempo.
Podemos adaptar a Eq. (28) para o caso no qual a aceleração é nula, para
isso basta fazer a = 0, assim obtemos
~x = ~x0 + ~v t. (29)
Esta equação, válida para o caso no qual a aceleração é nula, define o que
chamamos de Movimento Uniforme (MU).
Exercícios
1. Um jato voa horizontalmente próximo ao chão, a uma altura de 35m,
para evitar ser detectado por um radar. De repente o piloto se depara
com uma leve inclinação de 4, 3° no terreno. Quanto tempo o piloto tem
para corrigir a trajetória do avião de modo a evitar uma colisão com o
solo? Considere que a velocidade do avião é 1300 km/h.
2. Um objeto move-se ao longo de uma linha reta e sua posição em função do
tempo é dada por x = 3 t−4 t2+t3, onde x está em metros e t em segundos.
Considere o intervalo de t = 2 s a t = 3 s e calcule (a) a velocidade média
e (b) o deslocamento. Qual a velocidade instantânea em (c) t = 2 s e em
(d) t = 3 s? (e) Qual a velocidade instantânea quando quando o objeto
está no ponto médio das posições em t = 2 s e t = 3 s?
6
3. A posição de uma partícula é dada por x = 20 t− 5 t3, com x em metros e
t em segundos. Quando, se ocorrer, (a) a velocidade da partícula é zero?
(b) Quando a aceleração é zero? (c) Quando a aceleração é negativa? (d)
Quando a aceleração é positiva? (e) Trace o gráfico de x(t), v(t) e a(t)?
4. A cabeça de uma cascavel pode acelerar 50m/s2 no instante do ataque. Se
um carro, partindo do repouso, também pudesse imprimir essa aceleração,
em quanto tempo atingiria a velocidade de 100 km/h?
5. Duas estações de trem estão separadas por uma distância de 1100m. Se
o trem parte do repouso e mantém uma aceleração de 1, 2m/s2, durante
a primeira metade da distância, e depois desacelera a −1, 2m/s2, durante
a segunda metade, quais são (a) o tempo de viajem e (b) a velocidade
máxima? (c) Trace os gráficos da posição da velocidade e da aceleração
em função do tempo.
6. Uma caixa cai a partir do andar mais alto de um edifício. 0, 5 s antes de
atingir o chão a caixa passa pelo terceiro andar do edifício, situado a 20m
do chão. (a) Qual é a altura do edifício? (b) Com qual velocidade a caixa
toca o solo?
7. Para estimar a profundidade de um poço, podemos abandonar uma pedra
a partir do repouso dentro do poço e cronometrar o tempo que demora para
ouvirmos o barulho da pedra batendo na água. Sabendo que a velocidade
do som é de 330m/s e que que o barulho da pedra é ouvido 2 s após o
lançamento, qual é a profundidade do poço?
8. Numa construção, uma ferramenta cai e chega ao solo com a velocidade
de 24m/s. (a) De que altura a ferramenta caiu? (b) Qual o tempo de
queda?
7