lista newton

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Lista de Ca´lculo Nume´rico: Me´todo de Newton
Prof: Fernando Tosini
1. Encontrar a ra´ız das func¸o˜es pelo Me´todo de Newton, com precisa˜o de 10−3 no intervalo dado:
(a) f(x) = x2 − 10 ln(x)− 5 para x ∈ [4.2; 5]
(b) f(x) = x3 − e2x + 3 para 0.3 ≤ x ≤ 0.8
2. Calcular pelo menos uma raiz real das func¸o˜es, usando o Me´todo de Newton, com � ≤ 10−3.
(a) f(x) = 2x− sin(x) + 4 = 0
(b) f(x) = ex − tan(x) = 0
(c) f(x) = 10x + x3 + 2 = 0
(d) f(x) = x3 − x2 − 12x = 0
3. Achar o ponto de inflexa˜o da func¸a˜o f(x) = 2ex + x3 − 1, com � ≤ 10−3.
4. Seja f(x) = x4−2xe−x+e−2x−4−x uma func¸a˜o. Aplique o me´todo de Newton para encontrar
uma aproximac¸a˜o para uma raiz de f(x), que satisfac¸a o crite´rio |f(x)| < 10−4.
5. Responda sucintamente a`s perguntas abaixo:
(a) Seja uma equac¸a˜o f(x) = 0. Porque no Me´todo de Newton e´ necessa´rio que a derivada
primeira e a derivada segunda da func¸a˜o f preservem o sinal e na˜o se anulem no intervalo?
Justifique com um exemplo gra´fico.
(b) Em que situac¸a˜o o Me´todo de Newton-Raphson tem convergeˆncia lenta? Justifique.
6. Segundo o Prof. Wellis afirma que se o algoritmo da bissec¸a˜o pode ser aplicado para encontrar a
raiz de uma func¸a˜o f, enta˜o tambe´m podemos aplicar o me´todo de Newton. Voceˆ concorda ou
discorda da afirmac¸a˜o?
7. Considere a fo´rmula para determinar a raiz cu´bica de Q: xn+1 =
1
3
(
2xn +
Q
x2n
)
, n = 0, 1, ...
(a) Mostre que a fo´rmula acima e´ um caso especial de iterac¸a˜o de Newton;
(b) Usando a fo´rmula dada a cima, calcule 3
√
4 com precisa˜o de 10−2, determinando o valor
inicial atrave´s do me´todo do gra´fico.
8. Seja f uma func¸a˜o definida por:
f(x) =
{ √
x, se x ≥ 0
−√−x, se x < 0
Vamos aplicar o me´todo de Newton para encontrar uma raiz de f(x). Responda as questo˜es
abaixo:
(a) Existe uma regia˜o de convergeˆncia?
1
(b) Existe uma regia˜o de divergeˆncia?
(c) Existe uma regia˜o onde o me´todo entra em lac¸o infinito?
Obs: As questo˜es 9 a 12 resolva em aplicativo computacional.
9. (Aplicac¸a˜o na Engenharia Civil) Duas escadas, uma de 20 m e outra de 30 m, apoiam-se em
edif´ıcios frontais a uma avenida, conforme ilustrado na figura abaixo. Se o ponto no qual as
escadas se cruzam esta´ a 8 m de altura do solo. Determinar a largura da avenida?
10. Para que a a´rea sombreada da figura abaixo seja a metade da a´rea do c´ırculo de raio r, basta
determinar o valor do arco x na equac¸a˜o: 2x cos(2x) − sin(2x) + pi
2
= 0. Determine o valor de
R, em func¸a˜o de r para que as a´reas, sombreada e na˜o sombreada, sejam iguais.
11. (Aplicac¸a˜o na Engenharia Mecaˆnica) Para determinar a queda de pressa˜o em escoamentos de
l´ıquidos em tubos cil´ındricos, torna-se necessa´rio obter o chamado factor de atrito f , que e´
determinado pela relaca˜o emp´ırica:
1√
f
=
1
k
ln
(
Re
√
f
)
+
(
14− 5.6
k
)
Onde, k e´ a rugosidade e Re o nu´mero (adimensional) de Reynolds do escoamento. Para um
valor de k = 0, 28 e um nu´mero de Reynolds Re = 3750, determine o valor de f , usando o
Me´todo de Newton.
12. (Aplicac¸a˜o na Engenharia Qu´ımica) Na engenharia qu´ımica, reatores do tipo PFR sa˜o frequente-
mente usados para converter reagentes em produtos. Sabe-se que a eficieˆncia de conversa˜o a`s
vezes pode ser melhorada reciclando uma frac¸a˜o do produto como mostrado a figura a seguir:
2
A taxa de reciclo e´ definida por: R =
Volume do fluido que retorna ao reator
Volume do fluido que sai do reator
Supondo que estamos processando um reagente A a fim de gerar um reagente B, segundo a
expressa˜o autocatal´ıtica: A+B → B +B, pode-se mostrar que a taxa o´tima de reciclo satisfaz
a equac¸a˜o:
ln
[
1 +R(1− xA)
R(1− xA)
]
=
R+ 1
R[1 +R(1− xA)]
Onde xA e´ a frac¸a˜o de reagente A que e´ convertido no produto B. A taxa o´tima de reciclo
corresponde ao reator de menor tamanho poss´ıvel necessa´rio para se atingir o n´ıvel de conversa˜o
desejado. Determine as razo˜es de reciclo necessa´rias para se minimizar o tamanho do reator,
resolvendo a equac¸a˜o acima para as seguintes frac¸o˜es de conversa˜o (xA), do reagente A no
produto B:
(i) xA = 0.99 (ii) xA = 0.995 (iii) xA = 0.999 (iv) xA = 0.9999 (v) xA = 0.99999
3
Respostas
1. (a) 4.46895 (b) 0.58096
2. (a) −2.3542
(b) 1.3063
(c) −1.2711
(d) −3
3. −0.2576
4. 1.5827271
5. (a)
(b)
6. Discordo. Ha´ casos onde o me´todo de Newton na˜o converge para a soluc¸a˜o entrando em lac¸os
infinitos ou divergindo.
7. (a)
(b)
8.
xn+1 = xn − f(xn)
f ′(xn)
= xn −
√
xn
1
2
√
xn
= xn − 2xn = −xn, ∀ x > 0
xn+1 = xn − f(xn)
f ′(xn)
= xn +
√−xn
1
2
√−xn
= xn + 2xn = 3xn, ∀ x < 0
(a) Sim. x = {0} (b) Na˜o (c) Sim. x = R− {0}
9.
10. x = 0.952847 e R = 1.28395r
11. 0.0051218
12.
4