Comprimento de arco de uma curva plana

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Comprimento de arco
Comprimento de arco de uma curva plana
Danilo Sande
October 14, 2013
Danilo Sande Comprimento de arco de uma curva plana
Comprimento de arco
Comprimento de arco
Comprimento de arco
A representac¸a˜o gra´fica de uma func¸a˜o cont´ınua y = f (x) em um
intervalo [a,b], pode ser um segmento de reta ou uma curva
qualquer. A porc¸a˜o da curva do ponto A(a, (f (a))) ao ponto
B(b, (f (b))) e´ chamada de arco.
S e´ o comprimento de arco que desejamos calcular.
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Comprimento de arco
Comprimento de arco de uma reta
Quando o gra´fico de y = f (x) no intervalo [a,b] e´ um segmento de
reta, o comprimento de arco e´ dado por:
S =
√
(b − a)2 + (f (b)− f (a))2
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Comprimento de arco
Comprimento de arco
Comprimento de arco de uma curva qualquer
Quando o gra´fico de y = f (x) no intervalo [a,b] e´ uma curva
qualquer, podemos calcular o seu comprimento de arco
aproximadamente, atrave´s da soma do comprimento de va´rios
segmentos de reta:
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Comprimento de arco
Comprimento de arco
Comprimento de arco de uma curva qualquer
O comprimento da poligonal (conjunto de segmentos de reta
consecutivos e na˜o pertencentes a` mesma reta) formada e´ dado
por:
ln =
∑n
i=1
√
(xi − xi−1)2 + (f (xi )− f (xi−1))2
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Comprimento de arco
Comprimento de arco
Relembrando o Teorema do valor me´dio
Se f e´ uma func¸a˜o cont´ınua em [a,b] e deriva´vel em (a,b), enta˜o
existe um nu´mero c no intervalo (a,b) tal que:
f ′(c) = f (b)−f (a)b−a .
Geometricamente, se satisfeitas as condic¸o˜es do teorema, existe
pelo menos um ponto c entre a e b, onde a tangente a` curva e´
paralela a` corda que une os pontos P(a, f (a)) e Q(b, f (b)).
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Comprimento de arco
Comprimento de arco de uma curva qualquer
Se a curva f e´ cont´ınua e deriva´vel em [a.b], podemos usar o
teorema do valor me´dio em cada intervalo [xi−1, xi ], i=1, 2, ...n, e
escrever:
f (xi )− f (xi−1) = f ′(ci )(xi − xi−1), onde ci e´ um ponto no
intervalo (xi−1, xi ).
Substituindo esse resultado no comprimento da poligonal, temos:
ln =
∑n
i=1
√
(xi − xi−1)2 + [f ′(ci )(xi − xi−i )]2
ln =
∑n
i=1
√
1 + [f ′(ci )]2(xi − xi−i )
ln =
∑n
i=1
√
1 + [f ′(ci )]2∆xi
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Comprimento de arco
Comprimento de arco de uma curva qualquer
Quanto maior for o valor de n, menor o valor de ∆xi e mais
pro´ximo de ln fica o arco S, assim:
S = lim
∆xi→0 ou n→∞
n∑
i=1
√
1 + [f ′(ci )]2∆xi
S =
∫ b
a
√
1 + [f ′(x)]2dx , ou analogamente para func¸o˜es de y:
S =
∫ b
a
√
1 + [g ′(y)]2dy
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Exemplo 1
Calcular o comprimento de arco da curva dada por y = x3/2 − 4,
de A(1,-3) ate´ B(4,4).
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Exemplo 2
Calcular o comprimento de arco da curva dada por
x = y
3
2 +
1
6y − 1, 1 ≤ y ≤ 3.
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Exemplo 3
Calcular o comprimento do arco da para´bola y = x
2
2 para x ∈ [0, 1].
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Exemplo 4
Calcular o comprimento de arco da curva dada por
y = −2 ln(−x2 + 4) de x = 12 a x = 1.
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