Regra da cadeia

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Regra da cadeia
Danilo Sande
December 9, 2013
Danilo Sande Regra da cadeia
Regra da cadeia
Regra da cadeia
A regra da cadeia para func¸o˜es de uma varia´vel e´ uma regra para
derivac¸a˜o de func¸o˜es compostas.
Se y = f (x) e x = g(t), onde f e g sa˜o deriva´veis, enta˜o y e´
indiretamente uma func¸a˜o deriva´vel de t:
dy
dt
=
dy
dx
dx
dt
.
Para o caso de func¸o˜es de duas varia´veis, ha´ mais de uma versa˜o
da regra da cadeia.
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Caso 1
Suponha que z = f (x , y) e´ uma func¸a˜o diferencia´vel de x e y, onde
x = g(t) e y = h(t) sa˜o ambas func¸o˜es diferencia´veis de t. Enta˜o,
z e´ uma func¸a˜o diferencia´vel de t, e :
dz
dt
=
∂z
∂x
dx
dt
+
∂z
∂y
dy
dt
, ou
dz
dt
= [∂z∂x
∂z
∂y ]
[ dx
dt
dy
dt
]
, ou
dz
dt
= ~∇f .d~r
dt
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Exemplo 1
Se z = x2y + 3xy4, onde x = sin(2t) e y = cos(2t), obtenha dzdt
quando t=0.
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Exemplo 2
A pressa˜o P (em KPa), volume V (em litros) e a temperatura T
(em K) de um mol de ga´s ideal, esta˜o relacionadas pela equac¸a˜o
PV = 8, 31T . Encontre a taxa na qual a pressa˜o varia, quando a
temperatura e´ 300 K e cresce a uma taxa de 0,1 K/s e o volume e´
100 L e cresce a uma taxa de 0,1 L/s.
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Caso 2
Suponha que z = f (x , y) e´ uma func¸a˜o diferencia´vel de x e y, onde
x = g(s, t) e y = h(s, t) sa˜o ambas func¸o˜es diferencia´veis de s e t.
Enta˜o:
∂z
∂s
=
∂z
∂x
∂x
∂s
+
∂z
∂y
∂y
∂s
, e
∂z
∂t
=
∂z
∂x
∂x
∂t
+
∂z
∂y
∂y
∂t
, ou
[∂z∂s
∂z
∂t ] = [
∂z
∂x
∂z
∂y ]
[ ∂x
∂s
∂x
∂t
∂y
∂s
∂y
∂t
]
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Caso 2
De um modo geral:
∂z
∂ti
=
∂z
∂x1
∂x1
∂ti
+
∂z
∂x2
∂x2
∂ti
+ ...+
∂z
∂xn
∂xn
∂ti
Para todo ti = 1, 2, ...,m.
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Exemplo 3
Dada a func¸a˜o w = x2 + y2 + z2 e sabendo que
x = r cos θ sin γ
y = r sin θ sin γ
z = r cos γ
. Calcule as derivadas parciais de primeira
ordem da func¸a˜o w em relac¸a˜o a` r , θ e γ.
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Exemplo 3
Soluc¸a˜o:
∂w
∂r
=
∂w
∂x
∂x
∂r
+
∂w
∂y
∂y
∂r
+
∂w
∂z
∂z
∂r
∂w
∂θ
=
∂w
∂x
∂x
∂θ
+
∂w
∂y
∂y
∂θ
+
∂w
∂z
∂z
∂θ
∂w
∂γ
=
∂w
∂x
∂x
∂γ
+
∂w
∂y
∂y
∂γ
+
∂w
∂z
∂z
∂γ
, ou
[∂w∂r
∂w
∂θ
∂w
∂γ ] = [
∂w
∂x
∂w
∂y
∂w
∂z ]

∂x
∂r
∂x
∂θ
∂x
∂γ
∂y
∂r
∂y
∂θ
∂y
∂γ
∂z
∂r
∂z
∂θ
∂z
∂γ

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Exemplo 3
Soluc¸a˜o:
 ∂w∂r∂w
∂θ
∂w
∂γ
 =
 2r0
2r2 cos θ cos2 γ + 2r2 sin θ cos2 γ − 2r2 cos γ sin γ

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Exemplo 4
Se u = x4y + y2z3, onde x = rset , y = rs2e−t e z = r2s sin t.
Encontre o valor de ∂u∂s quando r=2, s=1 e t=0.
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Exemplo 5
Se g(s, t) = f (s2 − t2, t2 − s2) e f e´ diferencia´vel, mostre que g
satisfaz a equac¸a˜o t ∂g∂s + s
∂g
∂t = 0.
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Exemplo 6
Se z = f (x , y) possui derivadas parciais cont´ınuas de segunda
ordem e
{
x = r2 + s2
y = 2rs
, obtenha ∂z∂r e
∂2z
∂r2
.
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