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Unidade I
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Prof. Luiz Felix
Matemática financeiraMatemática financeira
 A Matemática Financeira estuda o comportamento do 
dinheiro ao longo do tempo.
 Capital é o valor principal de uma operação, ou seja, 
do dinheiro em um momento inicial. 
JurosJuros 
 Juros são a correção monetária em espécie ou o valor 
acrescido pela taxa de juros.
 A soma do capital com os juros é chamada de montante.
AbreviaturasAbreviaturas 
Taxa de jurosTaxa de juros 
 A taxa de juros, simbolizada pela letra i, pode se apresentar 
na forma percentual (exemplo: 11%) ou na forma unitária 
(exemplo: 0 11)(exemplo: 0,11).
Taxa 
Percentual Transformação Taxa unitáriaPercentual ç
40% a.m.
40
100
0,40 a.m.
100
4% a.a.
4
100
0,04 a.a.
24,5% a.d.
24,5
100
0,245 a.d.
Taxas de juros: exercíciosTaxas de juros: exercícios
Passe para a forma unitária os seguintes valores:
 0,5% a.a.  0,005 a.a.
 2% a.s.  0,02 a.s.
 17,5% a.d.  0,175 a.d.
Passe para a forma percentual os seguintes valores:
 0,003 a.b.  0,3% a.b.
 0,04 a.m.  4% a.m.
 0,18 a.d.  18% a.d.
Taxas de juros: exercíciosTaxas de juros: exercícios
Um gerente de um banco emprestou R$ 5.000,00 pelo prazo de 
50 dias. Ao assinar o contrato, o devedor se comprometeu a 
devolver R$ 5 250 00devolver R$ 5.250,00.
a) Qual o juro?
Montante = Capital + Juro ou M = C + JMontante Capital Juro ou M C J 
5250 = 5000 + J  5250 – 5000 = J
J = 250 
b) Qual a taxa unitária de juro?
i = J i = 250 i = 0,05 em 50 dias
C 5000C 5000
c) Qual a taxa percentual de juro?
i = 0 05 x 100 = 5% em 50 diasi 0,05 x 100 5% em 50 dias
Taxas de juros: exercíciosTaxas de juros: exercícios
Um bolo é vendido por R$ 35,00. Se seu preço fosse acrescido 
de 15%, quanto o bolo passaria a custar? 
Calculando 15% de R$ 35,00; temos:
15 . 35 = 0,15 . 35 = 5,25
100 
Somando R$ 5,25 ao preço original do bolo, temos:
Novo preço: R$ 35,00 + R$ 5,25 = R$ 40,25
Juros simplesJuros simples
 Os juros de cada período incidem sobre o capital inicial 
aplicado: juros não rendem juros.
 Crescimento linear ou em progressão aritmética.
 Poucas são as operações financeiras e comerciais. 
Juros simplesJuros simples
 Para um entendimento do sistema de capitalização simples, 
vamos supor uma aplicação no valor de R$ 1.000,00 por
cinco anos com taxa de juros no valor de 10% ao anocinco anos, com taxa de juros no valor de 10% ao ano.
Juros simples: taxas equivalentesJuros simples: taxas equivalentes
 Resumidamente, é a forma de igualarmos taxas em períodos 
diferentes.
 Exemplos:
 Transformar 2% a.m. em taxa semestral  2 x 6 = 12% a.s.
 Transformar 10% a.s. em taxa trimestral  10 / 2 = 5% a.t.
 Importante: o prazo da capitalização e a taxa de juros 
devem estar expressos necessariamente na mesmadevem estar expressos, necessariamente, na mesma 
unidade de tempo.
Juros simples: exercícios de taxas equivalentesJuros simples: exercícios de taxas equivalentes
 Qual a taxa mensal equivalente a 8% ao bimestre? 
Resposta: 8/2 = 4% ao mês
 Qual a taxa anual equivalente a 3% ao semestre? 
Resposta: 3 * 2 = 6% ao ano
 Qual a taxa bimestral equivalente a 12% ao ano? Qual a taxa bimestral equivalente a 12% ao ano? 
Resposta: 12/6 = 2% ao bimestre
InteratividadeInteratividade 
Em juros simples, qual a taxa anual equivalente a 2% ao mês? 
a) 0,16% ao ano.
b) 0,5% ao ano.
c) 6% ao ano.
d) 12% ao ano.
e) 24% ao ano.
Juros simples: fórmulasJuros simples: fórmulas 
 J = C . i . n 
 Em que:
 J = juros
 C = capital
 i = taxa de juros
 n = período
 M = C + J ou M = C.(1 + i.n)
 Em que:
 M = montante
Juros simples: exemploJuros simples: exemplo
 Uma pessoa aplicou R$ 3.000,00 à taxa de 2% ao mês durante 
5 meses. Quanto receberá de juros e qual será o montante ao 
fim dessa aplicação?fim dessa aplicação? 
Resolução incorreta 
C = 3000 i = 2% a m n = 5 meses J = ? M = ?C = 3000 i = 2% a.m. n = 5 meses J = ? M = ?
J = C.i.n M = C + J
J = 3000 2 5 M = 3000 + 30000J = 3000 . 2 . 5 M = 3000 + 30000
J = 30000 M = 33000
J = R$ 30 000 00 M = R$ 33 000 00J = R$ 30.000,00 M = R$ 33.000,00 
Juros simples: exemploJuros simples: exemplo
 Uma pessoa aplicou R$ 3.000,00 à taxa de 2% ao mês durante 
5 meses. Quanto receberá de juros e qual será o montante ao 
fim dessa aplicação?fim dessa aplicação? 
Resolução correta 
C = 3000 i = 2% a m n = 5 meses J = ? M = ?C = 3000 i = 2% a.m. n = 5 meses J = ? M = ?
J = C.i.n M = C + J
J = 3000 0 02 5 M = 3000 + 300J = 3000 . 0,02 . 5 M = 3000 + 300
J = 300 M = 3300
J = R$ 300 00 M = R$ 3 300 00J = R$ 300,00 M = R$ 3.300,00
Juros simples: exemploJuros simples: exemplo
 Um capital de R$ 1.500,00 foi aplicado à taxa de 10% a.b., pelo 
período de 2 meses, no regime de capitalização simples. Qual 
o valor dos juros para o período?o valor dos juros para o período?
Resolução incorreta
C = 1500 n = 2 meses i = 10% a b J = ?C = 1500 n = 2 meses i = 10% a.b. J = ?
J = C.i.n
J = 1500 0 1 2J = 1500 . 0,1 . 2
J = 300
J = R$ 300 00J = R$ 300,00
Juros simples: exemploJuros simples: exemplo
 Um capital de R$ 1.500,00 foi aplicado à taxa de 10% a.b., pelo 
período de 2 meses, no regime de capitalização simples. Qual 
o valor dos juros para o período?o valor dos juros para o período?
Resolução correta
C = 1500 n = 2 mesesC = 1500 n = 2 meses 
i = 10% a.b. 10 / 2 = 5% a.m.
J = ?J = ?
J = C.i.n
J = 1500 0 05 2J = 1500 . 0,05 . 2
J = 150
J = R$ 150 00J = R$ 150,00
Juros simples: exemploJuros simples: exemplo
 Calcule o capital que deve se empregar à taxa de 6% a.m., a 
juros simples, para obter R$ 6.000,00 de juros em 4 meses.
C = ? i = 6% a.m. J = 6000 n = 4 meses
J = C.i.n
6000 = C . 0,06 . 4
6000 = C . 0,24
6000 = C
0,24
C = 25000
C = R$ 25.000,00
Juros simples: exemploJuros simples: exemplo
 Uma empresa tomou R$ 3.500,00 emprestado para pagar 
dentro de 7 meses, a uma taxa de juros simples igual a 
5 5% a m Calcule o valor futuro dessa operação5,5% a.m. Calcule o valor futuro dessa operação. 
C = 3500 n = 7 meses i = 5,5% a.m. M = ?
M = C (1+ i n)M = C (1+ i.n)
M = 3500 (1 + 0,055 . 7)
M = 3500 (1 + 0 385)M = 3500 (1 + 0,385)
M = 3500 (1,385)
M = 4847 50M = 4847,50
M = R$ 4.847,50
Juro exato e juro comercialJuro exato e juro comercial 
 Juro exato: utiliza o calendário do ano civil com 365 dias. 
 Juro comercial: admite o mês com 30 dias e o ano com 
360 dias. 
Exemplo: 30% ao ano (a.a.) equivalem, pelo critério de juros 
simples a taxa diária de:simples, a taxa diária de:
a) Juro exato: 30% = 0,082191% ao dia
365 dias365 dias
b) Juro comercial: 30% = 0,083333% ao dia
360 dias360 dias
Fluxo de caixaFluxo de caixa 
 Linha horizontal é a escala do tempo.
 Demais pontos representam outros períodos de tempo 
(datas).
R$ 700,00 R$ 300,00
Entradas de Caixa ( + )
tempo
0 1 2 3 4 5 6 7
tempo
R$ 500,00 R$ 600,00
Saídas de Caixa ( - )
InteratividadeInteratividade 
Calcular os juros simples de uma aplicação de R$ 1.200,00 a 
uma taxa de 13% a.t. por quatro meses e quinze dias.
a) R$ 150,00
b) R$ 23.400,00 
c) R$ 702,00 
d) R$ 70.200,00
e) R$ 234,00 
Desconto simples racional ou “por dentro”Desconto simples racional ou por dentro
 Assume os conceitos e as relações básicas de juros simples.
 Dr é o valor do desconto racional.
 Vr é o valor descontado racional (ou valor atual).
 N é o valor nominal (ou valor de resgate ou montante).
Dr = N – Vr
N = Vr.(1 + i.n) 
Desconto simples racional ou “por dentro”Desconto simples racional ou por dentro
 Sejaum título de valor de R$ 3.500,00 vencível em um ano, 
que está sendo liquidado 2 meses antes de seu vencimento. 
Sendo 48% a a a taxa nominal de juros corrente pede seSendo 48% a.a. a taxa nominal de juros corrente, pede-se 
calcular o desconto e o valor descontado.
Dr (valor do desconto) Vr (valor descontado)Dr (valor do desconto) Vr (valor descontado)
i = 48% a.a = 4% a.m N valor nominal = 3500 
N = Vr.(1 + i.n) Dr = N – VrN Vr.(1 i.n) Dr N Vr
3500 = Vr.(1 + 0,04.2) Dr = 3500 – 3240,74 
3500 = Vr.(1 + 0,08) Dr = 259,263500 Vr.(1 0,08) Dr 259,26
3500 = Vr.(1,08)
Vr= 3500 / 1,08 = 3240,74Vr 3500 / 1,08 3240,74 
Desconto bancário ou comercial ou “por fora”Desconto bancário ou comercial ou por fora
 A modalidade de “desconto por fora” é amplamente adotada 
pelo mercado em operações de crédito bancário e comercial 
em curto prazoem curto prazo.
 DF é o valor do desconto
 V é o valor descontado “por fora” VF é o valor descontado “por fora” 
 N é o valor nominal
 d é a taxa de desconto “por fora” d é a taxa de desconto “por fora”
 n é o prazo definido
D = N d nDF = N . d . n
VF = N.(1 – d.n) 
Desconto bancário ou comercial ou “por fora”Desconto bancário ou comercial ou por fora
 Qual o valor do desconto bancário de uma duplicata de 
R$ 100,00 descontada 60 dias antes do vencimento, à taxa de 
desconto de 0 2% a d ?desconto de 0,2% a.d.? 
d = 0,2% a.d. n = 60 dias N = 100 DF = ? 
D = N d nDF = N . d . n
DF = 100 . 0,002 . 60
D = 12DF = 12
DF = R$ 12,00
Juros compostosJuros compostos
 Juros de cada período incidem sobre o capital do início do 
período (saldo): juros rendem juros.
 Crescimento exponencial ou em progressão geométrica.
 É o mais comum no sistema financeiro. 
Juros compostosJuros compostos
 Para um entendimento do sistema de capitalização composto, 
vamos supor uma aplicação no valor de R$ 1.000,00 por cinco 
anos com taxa de juros no valor de 10% ao anoanos, com taxa de juros no valor de 10% ao ano.
Juros compostos: fórmulaJuros compostos: fórmula
M = C.(1 + i)n 
Em que:
 M = montante
 C = capital
 i = taxa de juros
 n = número de períodos
Juros compostos: exemploJuros compostos: exemplo
 Um capital de R$ 6.000,00 foi aplicado a juros compostos 
durante 3 meses, à taxa de 2% a.m. Qual o montante e qual o 
total de juros efetuados?total de juros efetuados?
C = 6000 i = 2% a.m. n = 3 meses 
M = C (1 + i)nM = C.(1 + i)n 
M = 6000.(1+0,02)3
M = 6000 (1 02)3 = 6000 1 0612 = 6367 20M = 6000.(1,02)3 = 6000.1,0612 = 6367,20
M = C + J 
6367 20 = 6000 + J6367,20 = 6000 + J 
J = 6367,20 – 6000 = 367,20
 O montante foi de R$ 6 367 20 e o juros de R$ 367 20 O montante foi de R$ 6.367,20 e o juros de R$ 367,20
Juros compostos: exemploJuros compostos: exemplo
 Qual o capital que, aplicado a juros compostos à taxa de 2,5% 
a.m., produz um montante de R$ 3.500,00 após um ano?
M = 3.500 i = 2,5% a.m. n = 12 meses
M = C.(1 + i)n 
3500 = C.(1+0,025)12
3500 = C.(1,025)12 
3500 = C.1,3449
C = 3500 = 2.602,42
1,3449
 O capital foi de R$ 2.602,42
InteratividadeInteratividade 
Qual o valor de resgate de uma aplicação de R$ 4.000,00 pelo 
prazo de 4 meses à taxa de juros compostos de 1,5% ao mês? 
a) R$ 4.140,00
b) R$ 5.065,90
c) R$ 16.240,00
d) R$ 4.245,45
e) R$ 5.040,65
Juros compostos: taxas equivalentesJuros compostos: taxas equivalentes
 Importante: o prazo da capitalização e a taxa de juros devem 
estar expressos, necessariamente, na mesma unidade de 
tempotempo.
  iq = (1 + i)q – 1
  i = (1 + i)1/q 1  iq = (1 + i)1/q – 1
q = número de períodos de capitalização
Lembrete: q 1+ i – 1 = (1 + i)1/q – 1
Juros compostos: exercícios
Taxas equivalentes
Em juros compostos, qual a taxa anual equivalente a 2,3% a.m.? 
 Mês  Anual iq = (1 + i)q – 1 
 1 mês  12 meses
iq = (1 + 0,023)12 – 1 
iq = (1,023)12 – 1
iq = 1,3137 – 1 
iq = 0,3137 
Se multiplicarmos por 100, obtemos a taxa percentual
iq = 0,3137 . 100
iq = 31,37% a.a.
Juros compostos: exercícios
Taxas equivalentes
Em juros compostos, qual a taxa para 23 dias equivalente a 
0,14% a.d. ? 
 Dia  Dias iq = (1 + i)q – 1 
 1 dia  23 dias 
iq = (1 + 0,0014)23 – 1 
iq = (1,0014)23 – 1
iq = 1,0327 – 1 
iq = 0,0327
Se multiplicarmos por 100, obtemos a taxa percentual
iq = 0,0327 . 100
iq = 3,27% para 23 dias
Juros compostos: exercícios
Taxas equivalentes
Em juros compostos, qual a taxa anual equivalente a 7,45% a.t.? 
 Trimestre  Anual iq = (1 + i)q – 1 
 1 trimestre  4 trimestres
iq = (1 + 0,0745)4 – 1 
iq = (1,0745)4 – 1
iq = 1,3329 – 1 
iq = 0,3329
Se multiplicarmos por 100, obtemos a taxa percentual
iq = 0,3329 . 100
iq = 33,29% a.a.
Juros compostos: exercícios
Taxas equivalentes
Em juros compostos, qual a taxa mensal equivalente a 34% a.a.? 
 Mês  Anual iq = (1 + i)1/q – 1
 12 meses  1 ano 
iq = (1 + 0,34) 1/12 – 1 
iq = (1,34) 1/12 – 1
iq = 1,0247 – 1 
iq = 0,0247
Se multiplicarmos por 100, obtemos a taxa percentual
iq = 0,0247 . 100 
iq = 2,47% a.m.
Juros compostos: exercícios
Taxas equivalentes
Cálculo de (1,34) 1/12 = 1,0247
Na HP:
Vamos trabalhar com 4 casas decimais: f 4
1,34 ENTER 12 1/x yx 1,0247
Na calculadora do computador:
Chamar a calculadora
Clicar em exibir e selecionar científica
Dividir 1 por 12, resultado: 0,08333
1,34 xy 0,08333 =  1,0247
Em calculadoras científicas com símbolo ^ 
Utilizar o símbolo ^ 
1,34 ^ 0,08333 =  1,0247
Juros compostos: exercícios
Taxas equivalentes
Em juros compostos, qual a taxa diária equivalente a 9,5% a.a.? 
 Dia  Ano iq = (1 + i)1/q – 1
 360 dias  1 ano
iq = (1 + 0,095) 1/360 – 1 
iq = (1,095) 1/360 – 1
iq = 1,000252 – 1 
iq = 0,000252
Se multiplicarmos por 100, obtemos a taxa percentual
iq = 0,000252 . 100
iq = 0,0252% a.d.
InteratividadeInteratividade 
Em juros compostos, qual a taxa mensal equivalente a 50% a.s.? 
a) 10,39% a.m.
b) 5,50% a.m.
c) 7% a.m.
d) 4,43% a.m
e) 15% a.m.
ATÉ A PRÓXIMA!Ó